Отрицательная вероятность - Negative probability

В вероятность результата эксперимента никогда не бывает отрицательным, хотя распределение квазивероятностей позволяет отрицательная вероятность, или же квазивероятность для некоторых мероприятий. Эти распределения могут применяться к ненаблюдаемым событиям или условным вероятностям.

Физико-математические науки

В 1942 г. Поль Дирак написал статью «Физическая интерпретация квантовой механики»[1] где он представил концепцию отрицательные энергии и отрицательный вероятности:

«Отрицательные энергии и вероятности не следует рассматривать как ерунду. Это хорошо определенные понятия математически, как отрицание денег».

Позже идея отрицательных вероятностей привлекла повышенное внимание в физике и особенно в квантовая механика. Ричард Фейнман утверждал[2] что никто не возражает против использования отрицательных чисел в расчетах: хотя «минус три яблока» не является правильным понятием в реальной жизни, отрицательные деньги действительно. Точно так же он утверждал, что отрицательные вероятности, а также вероятности выше единство возможно может быть полезным в вероятности расчеты.

Позже были предложены отрицательные вероятности для решения нескольких проблем и парадоксы.[3] Половина монет приведите простые примеры отрицательных вероятностей. Эти странные монеты были представлены в 2005 году компанией Габор Дж. Секели.[4] Половинные монеты имеют бесконечное количество сторон, пронумерованных 0,1,2, ..., а положительные четные числа берутся с отрицательными вероятностями. Две половинки монеты составляют полную монету в том смысле, что если мы подбрасываем две половинки монеты, то сумма результатов равна 0 или 1 с вероятностью 1/2, как если бы мы просто подбросили честную монету.

В Факторы свертки неотрицательно определенных функций[5] и Алгебраическая теория вероятностей [6] Имре З. Ружа и Габор Дж. Секели доказал, что если случайная переменная X имеет знаковое или квазираспределение, где некоторые из вероятностей отрицательны, тогда всегда можно найти две случайные величины, Y и Z, с обычными (без знака / не квази) распределениями, такими, что X, Y независимы и X + Y = Z в раздаче. Таким образом, X всегда можно интерпретировать как «разность» двух обычных случайных величин, Z и Y. Если Y интерпретируется как ошибка измерения X, а наблюдаемое значение - Z, тогда отрицательные области распределения X маскируются / экранируются. по ошибке Y.

Другой пример, известный как распределение Вигнера в фазовое пространство, представлен Юджин Вигнер в 1932 г. для изучения квантовых поправок, часто приводящих к отрицательным вероятностям.[7] По этой причине позже он был более известен как Распределение квазивероятностей Вигнера. В 1945 г. М. С. Бартлетт выяснили математическую и логическую непротиворечивость такой отрицательной ценности.[8] Функция распределения Вигнера обычно используется в физика сегодня и является краеугольным камнем квантование в фазовом пространстве. Его отрицательные особенности являются достоинством формализма и часто указывают на квантовую интерференцию. Отрицательные области распределения защищены от прямого наблюдения квантовой принцип неопределенности: как правило, моменты такого неположительно-полуопределенного распределения квазивероятностей сильно ограничены и не позволяют прямая измеримость отрицательных регионов распределения. Тем не менее, эти регионы вносят отрицательный и решающий вклад в ожидаемые значения наблюдаемых величин, вычисленных с помощью таких распределений.

Пример: эксперимент с двойной щелью

Рассмотрим эксперимент с двумя щелями с фотонами. Две волны, выходящие из каждой щели, можно записать как:

и

куда d расстояние до экрана обнаружения, а расстояние между двумя щелями, Икс расстояние до центра экрана, λ длина волны и дН / дт - количество фотонов, излучаемых источником в единицу времени. Амплитуда измерения фотона на расстоянии Икс от центра экрана - это сумма этих двух амплитуд, выходящих из каждого отверстия, и, следовательно, вероятность того, что фотон будет обнаружен в положении Икс будет дано квадратом этой суммы:

,

Это должно показаться вам хорошо известным правилом вероятности:

Синим цветом обозначена сумма вероятностей прохождения отверстий 1 и 2; красным, за вычетом совместной вероятности пройти "обе дыры". Интерференционная картина получается сложением двух кривых.

что бы ни означал последний термин. В самом деле, если закрыть одно из отверстий, заставляя фотон пройти через другую щель, две соответствующие интенсивности равны

и .

Но теперь, если интерпретировать каждый из этих терминов таким образом, совместная вероятность принимает отрицательные значения примерно каждые  !

Однако эти отрицательные вероятности никогда не наблюдаются, поскольку нельзя выделить случаи, когда фотон «проходит через обе щели», но можно намекнуть на существование античастиц.

Финансы

Отрицательные вероятности недавно стали применяться к математические финансы. В количественных финансах большинство вероятностей - это не реальные вероятности, а псевдовероятности, часто так называемые нейтральный к риску вероятности.[требуется разъяснение ] Это не реальные вероятности, а теоретические «вероятности» при ряде предположений, которые помогают упростить вычисления, позволяя таким псевдовероятностям быть отрицательными в определенных случаях, как впервые указал Эспен Гаардер Хауг в 2004 году.[9]

Строгое математическое определение отрицательных вероятностей и их свойств было недавно получено Марком Бургином и Гюнтером Мейснером (2011). Авторы также показывают, как отрицательные вероятности могут быть применены к финансовым опционная цена.[10]

Инженерное дело

Концепция отрицательных вероятностей также была предложена для моделей надежного расположения объектов, где объекты подвержены отрицательно коррелированным рискам сбоев, когда расположение объектов, распределение клиентов и планы резервного обслуживания определяются одновременно.[11][12] Ли и др.[13] предложили структуру виртуальной станции, которая преобразует сеть объектов с положительно коррелированными сбоями в эквивалентную с добавленными виртуальными вспомогательными станциями, и эти виртуальные станции подвержены независимым сбоям. Такой подход снижает проблему с проблемы с коррелированными сбоями до проблемы без них. Xie et al.[14] позже показал, как отрицательно коррелированные сбои также могут быть устранены с помощью той же структуры моделирования, за исключением того, что виртуальная вспомогательная станция теперь может быть нарушена с «склонностью к отказу», которая

... наследует все математические характеристики и свойства вероятности отказа, за исключением того, что мы позволяем ей быть больше 1 ...

Это открытие открывает возможности для использования компактных математических программ со смешанными целыми числами для оптимального проектирования надежного местоположения объектов обслуживания в зависимости от места и положительной / отрицательной / смешанной корреляции сбоев в работе оборудования.[15]

Предлагаемая концепция «склонности» в Xie et al.[14] оказывается, что Фейнман и другие называли «квазивероятностью». Обратите внимание, что когда квазивероятность больше 1, то 1 минус это значение дает отрицательную вероятность. В контексте надежного местоположения объекта действительно физически проверяемым наблюдением являются состояния нарушения работы объекта (вероятность которого гарантированно находится в пределах обычного диапазона [0,1]), но нет прямой информации о состояниях нарушения работы станции или их соответствующих вероятностях. . Следовательно, «вероятности» разрушения станций, интерпретируемые как «вероятности воображаемых промежуточных состояний», могут превышать единицу и, таким образом, называются квазивероятностями.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Дирак, П.А.М. (1942). "Бейкерская лекция. Физическая интерпретация квантовой механики". Труды Королевского общества A: математические, физические и инженерные науки. 180 (980): 1–39. Bibcode:1942РСПСА.180 .... 1Д. Дои:10.1098 / rspa.1942.0023. JSTOR  97777.
  2. ^ Фейнман, Ричард П. (1987). «Отрицательная вероятность» (PDF). В Торфе, Ф. Дэвид; Хили, Бэзил (ред.). Квантовые последствия: очерки в честь Дэвида Бома. Routledge & Kegan Paul Ltd., стр. 235–248. ISBN  978-0415069601.
  3. ^ Хренников, Андрей Юрьевич (7 марта 2013 г.). Неархимедов анализ: квантовые парадоксы, динамические системы и биологические модели. Springer Science & Business Media. ISBN  978-94-009-1483-4.
  4. ^ Секели, Г.Дж. (Июль 2005 г.). «Половина монеты: отрицательные вероятности» (PDF). Журнал Wilmott: 66–68. Архивировано из оригинал (PDF) на 2013-11-08.
  5. ^ Ruzsa, Imre Z .; SzéKely, Gábor J. (1983). «Факторы свертки неотрицательных функций». Monatshefte für Mathematik. 95 (3): 235–239. Дои:10.1007 / BF01352002. S2CID  122858460.
  6. ^ Ruzsa, I.Z .; Секели, Г.Дж. (1988). Алгебраическая теория вероятностей. Нью-Йорк: Вили. ISBN  0-471-91803-2.
  7. ^ Вигнер, Э. (1932). «О квантовой поправке на термодинамическое равновесие». Физический обзор. 40 (5): 749–759. Bibcode:1932PhRv ... 40..749Вт. Дои:10.1103 / PhysRev.40.749. HDL:10338.dmlcz / 141466.
  8. ^ Бартлетт, М. С. (1945). «Отрицательная вероятность». Математические труды Кембриджского философского общества. 41 (1): 71–73. Bibcode:1945PCPS ... 41 ... 71B. Дои:10.1017 / S0305004100022398.
  9. ^ Хауг, Э. Г. (2004). "Почему так отрицательные вероятности?" (PDF). Журнал Wilmott: 34–38.
  10. ^ Meissner, Gunter A .; Бургин, доктор Марк (2011). «Отрицательные вероятности в финансовом моделировании». Электронный журнал ССРН. Elsevier BV. Дои:10.2139 / ssrn.1773077. ISSN  1556-5068.
  11. ^ Снайдер, Л.В .; Даскин, М. (2005). «Модели надежности для местоположения объекта: пример ожидаемой стоимости отказа». Транспортная Наука. 39 (3): 400–416. CiteSeerX  10.1.1.1.7162. Дои:10.1287 / trsc.1040.0107.
  12. ^ Cui, T .; Ouyang, Y .; Шен, З. Дж. М. (2010). «Надежное проектирование месторасположения объекта с учетом риска сбоев». Исследование операций. 58 (4): 998–1011. CiteSeerX  10.1.1.367.3741. Дои:10.1287 / opre.1090.0801.
  13. ^ Li, X .; Ouyang, Y .; Пэн, Ф. (2013). «Модель вспомогательной станции для надежного проектирования местоположения инфраструктуры в условиях взаимозависимых сбоев». Транспортные исследования, часть E. 60: 80–93. Дои:10.1016 / j.tre.2013.06.005.
  14. ^ а б Xie, S .; Li, X .; Оуян, Ю. (2015). «Декомпозиция общих корреляций сбоев в работе оборудования посредством увеличения виртуальных вспомогательных станций». Транспортные исследования, часть B. 80: 64–81. Дои:10.1016 / j.trb.2015.06.006.
  15. ^ Се, провинция Сиян; Ан, Кун; Оуян, Яньфэн (2019). «Планирование размещения объекта при обычно коррелированных сбоях в работе объекта: использование вспомогательных станций и квазивероятностей». Транспортные исследования, часть B: методологические. Elsevier BV. 122: 115–139. Дои:10.1016 / j.trb.2019.02.001. ISSN  0191-2615.