Метод Эйнштейна – Бриллюэна – Келлера. - Einstein–Brillouin–Keller method

В Метод Эйнштейна – Бриллюэна – Келлера. (EBK) это полуклассический метод (названный в честь Альберт Эйнштейн, Леон Бриллюэн, и Джозеф Б. Келлер ) используется для вычисления собственные значения в квантово-механических системах. Квантование EBK является улучшением по сравнению с Квантование Бора-Зоммерфельда который не учитывал едкий скачки фазы в классических точках поворота.^[1] Эта процедура способна точно воспроизвести спектр трехмерного изображения. гармонический осциллятор, частица в коробке, и даже релятивистские тонкая структура из водород атом.^[2]

В 1976–1977 гг. ягода и Табор получил расширение Gutzwiller формула следа для плотность состояний из интегрируемая система начиная с квантования EBK.^[3][4]

В последнее время был получен ряд результатов по вычислительным вопросам, связанным с этой темой, например, работа Эрик Дж. Хеллер и Эммануэль Дэвид Танненбаум с использованием метода градиентного спуска уравнения в частных производных.^[5]

Процедура

Учитывая отделяемый классическая система, определяемая координатами ${displaystyle (q_{i},p_{i});iin {1,2,cdots ,d}}$, в котором каждая пара ${displaystyle (q_{i},p_{i})}$ описывает замкнутую функцию или периодическую функцию в ${displaystyle q_{i}}$, процедура EBK включает квантование интегралов по путям ${displaystyle p_{i}}$ по замкнутой орбите ${displaystyle q_{i}}$:

${displaystyle I_{i}={frac {1}{2pi }}oint p_{i}dq_{i}=hbar left(n_{i}+{frac {mu _{i}}{4}}+{frac {b_{i}}{2}}ight)}$

куда ${displaystyle I_{i}}$ это координата угла действия, ${displaystyle n_{i}}$ положительное целое число, и ${displaystyle mu _{i}}$ и ${displaystyle b_{i}}$ находятся Индексы Маслова. ${displaystyle mu _{i}}$ соответствует количеству классических точек поворота на траектории движения ${displaystyle q_{i}}$ (Граничное условие Дирихле ), и ${displaystyle b_{i}}$ соответствует количеству отражений от твердой стенки (Граничное условие Неймана ).^[6]

Пример: 2D атом водорода

Гамильтониан нерелятивистского электрона (электрический заряд ${displaystyle e}$) в атоме водорода:

${displaystyle H={frac {p_{r}^{2}}{2m}}+{frac {p_{varphi }^{2}}{2mr^{2}}}-{frac {e^{2}}{4pi epsilon _{0}r}}}$

куда ${displaystyle p_{r}}$ - канонический импульс к радиальному расстоянию ${displaystyle r}$, и ${displaystyle p_{varphi }}$ - канонический импульс азимутального угла ${displaystyle varphi }$.Возьмите координаты угла действия:

${displaystyle I_{varphi }={ ext{constant}}=L}$

Для радиальной координаты ${displaystyle r}$:

${displaystyle p_{r}={sqrt {2mE-{frac {L^{2}}{r^{2}}}-{frac {e^{2}}{4pi epsilon _{0}r}}}}}$

${displaystyle I_{r}={frac {1}{pi }}int _{r_{1}}^{r_{2}}p_{r}dr={frac {me^{2}}{4pi epsilon _{0}{sqrt {-2mE}}}}-|L|}$

где мы интегрируем между двумя классическими поворотными точками ${displaystyle r_{1},r_{2}}$ (${displaystyle mu _{r}=2}$)

${displaystyle E=-{frac {me^{4}}{32pi ^{2}epsilon _{0}^{2}(I_{r}+L)^{2}}}}$

Использование квантования EBK ${displaystyle b_{r}=mu _{varphi }=b_{varphi }=0,n_{varphi }=m}$ :

${displaystyle L=hbar mquad ;quad m=0,1,2,cdots }$

${displaystyle I_{r}=hbar (n_{r}+1/2)quad ;quad n_{r}=0,1,2,cdots }$

${displaystyle E=-{frac {me^{4}}{32pi ^{2}epsilon _{0}^{2}hbar ^{2}(n_{r}+m+1/2)^{2}}}}$

и делая ${displaystyle n=n_{r}+m+1}$ спектр 2D атома водорода ^[7] восстанавливается:

${displaystyle E_{n}=-{frac {me^{4}}{32pi ^{2}epsilon _{0}^{2}hbar ^{2}(n-1/2)^{2}}}quad ;quad n=1,2,3,cdots }$

Обратите внимание, что в этом случае ${displaystyle L}$ почти совпадает с обычным квантованием оператор углового момента на самолете ${displaystyle L_{z}}$. Для трехмерного случая метод EBK для полного углового момента эквивалентен методу Коррекция Лангера.

Смотрите также

• Физический портал

• Уравнение Гамильтона – Якоби
• Приближение ВКБ
• Квантовый хаос

Рекомендации

1. Стоун, А. Д. (август 2005 г.). «Неизвестное понимание Эйнштейна и проблема квантования хаоса» (PDF). Физика сегодня. 58 (8): 37–43. Bibcode:2005ФТ .... 58х..37С. Дои:10.1063/1.2062917.
2. Curtis, L.G .; Эллис, Д. (2004). «Использование квантования действия Эйнштейна – Бриллюэна – Келлера». Американский журнал физики. 72: 1521–1523. Bibcode:2004AmJPh..72.1521C. Дои:10.1119/1.1768554.
3. Berry, M.V .; Табор, М. (1976). «Замкнутые орбиты и регулярный связанный спектр». Труды Королевского общества А. 349: 101–123. Bibcode:1976RSPSA.349..101B. Дои:10.1098 / RSPA.1976.0062.
4. Berry, M.V .; Табор, М. (1977). «Вычисление связанного спектра путём суммирования в переменных действие-угол». Журнал физики А. 10.
5. Tannenbaum, E.D .; Хеллер, Э. (2001). "Полуклассическое квантование с использованием инвариантных торов: подход градиентного спуска". Журнал физической химии А. 105: 2801–2813.
6. Brack, M .; Бхадури, Р.К. (1997). Полуклассическая физика. Эдисон-Уизли Паблишинг.
7. Басу, П. (1997). Теория оптических процессов в полупроводниках: объем и микроструктуры. Издательство Оксфордского университета.