Координаты действие-угол - Action-angle coordinates

В классическая механика, координаты угла действия представляют собой набор канонические координаты полезно в решении многих интегрируемые системы. Метод углов действия полезен для получения частоты колебательного или вращательного движения без решения уравнения движения. Координаты действие-угол в основном используются, когда Уравнения Гамильтона – Якоби полностью отделимы. (Следовательно Гамильтониан не зависит явно от времени, т.е. энергия сохраняется.) Переменные действие-угол определяют инвариантный тор, так называемый, потому что постоянное действие определяет поверхность тор, а угловые переменные параметризуют координаты на торе.

В Квантование Бора – Зоммерфельда условия, использованные для развития квантовой механики до появления волновая механика, заявляют, что действие должно быть целым кратным Постоянная планка; по аналогии, Эйнштейн понимание EBK квантование а трудность квантования неинтегрируемых систем выражалась в терминах инвариантных торов координат действие-угол.

Координаты действие-угол также полезны в теория возмущений из Гамильтонова механика, особенно при определении адиабатические инварианты. Один из самых ранних результатов теория хаоса, для нелинейных возмущений динамических систем с малым числом степеней свободы КАМ теорема, который утверждает, что инвариантные торы устойчивы относительно малых возмущений.

Использование переменных действие-угол было центральным в решении задачи Решетка Тоды, и к определению Слабые пары или, в более общем смысле, идея изоспектральный эволюция системы.

Вывод

Углы действия являются результатом тип-2 каноническое преобразование где производящая функция Характеристическая функция Гамильтона ${displaystyle W(mathbf {q} )}$ (нет Основная функция Гамильтона ${displaystyle S}$). Поскольку исходный гамильтониан не зависит явно от времени, новый гамильтониан ${displaystyle K(mathbf {w} ,mathbf {J} )}$ это просто старый гамильтониан ${displaystyle H(mathbf {q} ,mathbf {p} )}$ выраженный в терминах нового канонические координаты, который мы обозначим как ${displaystyle mathbf {w} }$ (в углы действия, которые являются обобщенные координаты ) и их новые обобщенные импульсы ${displaystyle mathbf {J} }$. Здесь нам не нужно решать производящую функцию ${displaystyle W}$ сам; вместо этого мы будем использовать его просто как средство связи нового и старого канонические координаты.

Вместо определения углов действия ${displaystyle mathbf {w} }$ непосредственно, вместо этого мы определяем их обобщенные импульсы, которые напоминают классическое действие за каждый оригинал обобщенная координата

${displaystyle J_{k}equiv oint p_{k},mathrm {d} q_{k}}$

где путь интегрирования неявно задается функцией постоянной энергии ${displaystyle E=E(q_{k},p_{k})}$. Поскольку фактическое движение не участвует в этом интегрировании, эти обобщенные импульсы ${displaystyle J_{k}}$ - константы движения, из чего следует, что преобразованный гамильтониан ${displaystyle K}$ не зависит от сопряженного обобщенные координаты ${displaystyle w_{k}}$

${displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} t}}J_{k}=0={frac {partial K}{partial w_{k}}}}$

где ${displaystyle w_{k}}$ даются типичным уравнением для типа 2 каноническое преобразование

${displaystyle w_{k}equiv {frac {partial W}{partial J_{k}}}}$

Следовательно, новый гамильтониан ${displaystyle K=K(mathbf {J} )}$ зависит только от новых обобщенных импульсов ${displaystyle mathbf {J} }$.

Динамика углов действия определяется выражением Уравнения Гамильтона

${displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} t}}w_{k}={frac {partial K}{partial J_{k}}}equiv u _{k}(mathbf {J} )}$

Правая часть - постоянная движения (так как все ${displaystyle J}$х). Следовательно, решение дается формулой

${displaystyle w_{k}=u _{k}(mathbf {J} )t+eta _{k}}$

куда ${displaystyle eta _{k}}$ постоянная интегрирования. В частности, если оригинал обобщенная координата подвергается колебаниям или вращению периода ${displaystyle T}$, соответствующий угол действия ${displaystyle w_{k}}$ изменения на ${displaystyle Delta w_{k}=u _{k}(mathbf {J} )T}$.

Эти ${displaystyle u _{k}(mathbf {J} )}$ - частоты колебаний / вращения для исходного обобщенные координаты ${displaystyle q_{k}}$. Чтобы показать это, мы интегрируем чистое изменение угла действия ${displaystyle w_{k}}$ ровно за одно полное изменение (т. е. колебание или вращение) его обобщенные координаты ${displaystyle q_{k}}$

${displaystyle Delta w_{k}equiv oint {frac {partial w_{k}}{partial q_{k}}},mathrm {d} q_{k}=oint {frac {partial ^{2}W}{partial J_{k},partial q_{k}}},mathrm {d} q_{k}={frac {mathrm {d} }{mathrm {d} J_{k}}}oint {frac {partial W}{partial q_{k}}},mathrm {d} q_{k}={frac {mathrm {d} }{mathrm {d} J_{k}}}oint p_{k},mathrm {d} q_{k}={frac {mathrm {d} J_{k}}{mathrm {d} J_{k}}}=1}$

Установка двух выражений для ${displaystyle Delta w_{k}}$ равны, получаем искомое уравнение

${displaystyle u _{k}(mathbf {J} )={frac {1}{T}}}$

Углы действия ${displaystyle mathbf {w} }$ являются независимым набором обобщенные координаты. Таким образом, в общем случае каждая исходная обобщенная координата ${displaystyle q_{k}}$ можно выразить как Ряд Фурье в все углы действия

${displaystyle q_{k}=sum _{s_{1}=-infty }^{infty }sum _{s_{2}=-infty }^{infty }cdots sum _{s_{N}=-infty }^{infty }A_{s_{1},s_{2},ldots ,s_{N}}^{k}e^{i2pi s_{1}w_{1}}e^{i2pi s_{2}w_{2}}cdots e^{i2pi s_{N}w_{N}}}$

куда ${displaystyle A_{s_{1},s_{2},ldots ,s_{N}}^{k}}$ - коэффициент ряда Фурье. Однако в большинстве практических случаев исходная обобщенная координата ${displaystyle q_{k}}$ будет выражаться как Ряд Фурье только в собственных углах действия ${displaystyle w_{k}}$

${displaystyle q_{k}=sum _{s_{k}=-infty }^{infty }A_{s_{k}}^{k}e^{i2pi s_{k}w_{k}}}$

Резюме основного протокола

Общая процедура состоит из трех этапов:

1. Вычислить новые обобщенные импульсы ${displaystyle J_{k}}$
2. Выразите исходный гамильтониан целиком через эти переменные.
3. Возьмите производные гамильтониана по этим импульсам, чтобы получить частоты ${displaystyle u _{k}}$

Вырождение

В некоторых случаях частоты двух разных обобщенные координаты идентичны, т.е. ${displaystyle u _{k}=u _{l}}$ за ${displaystyle keq l}$. В таких случаях движение называется выродиться.

Вырожденное движение сигнализирует о наличии дополнительных общих сохраняемых величин; например, частоты Проблема Кеплера вырождены, что соответствует сохранению Вектор Лапласа – Рунге – Ленца..

Вырожденное движение также сигнализирует о том, что Уравнения Гамильтона – Якоби полностью разделимы более чем в одной системе координат; например, проблема Кеплера полностью разделима в обоих сферические координаты и параболические координаты.

Смотрите также

• Интегрируемая система
• Тавтологическая одноформа
• Суперинтегрируемая гамильтонова система
• Метод Эйнштейна-Бриллюэна-Келлера

Рекомендации

• Л. Д. Ландау и Э. М. Лифшиц, (1976) Механика, 3-й. изд., Pergamon Press. ISBN  0-08-021022-8 (твердая обложка) и ISBN  0-08-029141-4 (мягкое покрытие).
• Х. Гольдштейн, (1980) Классическая механика, 2-й. изд., Эддисон-Уэсли. ISBN  0-201-02918-9
• Г. Сарданашвили, (2015) Справочник по интегрируемым гамильтоновым системам, УРСС. ISBN  978-5-396-00687-4
• Превиато, Эмма (2003), Словарь прикладной математики для инженеров и ученых, CRC Press, Bibcode:2003dame.book ..... P, ISBN  978-1-58488-053-0