Элементарные делители - Elementary divisors

В алгебра, то элементарные делители из модуль через главная идеальная область (PID) встречаются в одной форме структурная теорема для конечно порожденных модулей над областью главных идеалов.

Если ${displaystyle R}$ это PID и ${displaystyle M}$ конечно порожденный ${displaystyle R}$-модуль, затем M изоморфна конечной сумме вида

${displaystyle Mcong R^{r}oplus igoplus _{i=1}^{l}R/(q_{i})qquad { ext{with }}r,lgeq 0}$

где ${displaystyle (q_{i})}$ ненулевые основные идеалы.

Список первичных идеалов уникален до определенного порядка (но данный идеал может присутствовать более одного раза, поэтому список представляет собой мультимножество первичных идеалов); элементы ${displaystyle q_{i}}$ уникальны только до ассоциативность, и называются элементарные делители. Обратите внимание, что в PID ненулевые первичные идеалы являются степенями простых идеалов, поэтому элементарные делители могут быть записаны как степени ${displaystyle q_{i}=p_{i}^{r_{i}}}$ неприводимых элементов. Неотрицательное целое число ${displaystyle r}$ называется свободный ранг или Бетти число модуля ${displaystyle M}$.

Модуль определяется с точностью до изоморфизма указанием его свободного ранга р, а для класса присоединенных неприводимых элементов п и каждое положительное целое число k сколько раз п^k входит в число элементарных делителей. Элементарные делители можно получить из списка инвариантные факторы модуля, разложив каждый из них, насколько это возможно, на попарные относительно простые (неединичные) множители, которые будут степенями неприводимых элементов. Это разложение соответствует максимальному разложению каждого подмодуля, соответствующего инвариантному фактору, с помощью Китайская теорема об остатках за р. И наоборот, зная мультимножество M Из элементарных делителей инвариантные множители могут быть найдены, начиная с последнего (кратного всем остальным) следующим образом. Для каждого неприводимого элемента п такая, что некоторая сила п^k происходит в M, возьмите наивысшую такую ​​мощность, сняв ее с M, и умножим эти степени вместе для всех (классов связанных) п дать окончательный инвариантный множитель; так долго как M непусто, повторите, чтобы найти инвариантные множители перед ним.

Смотрите также

• Инвариантные факторы

Рекомендации

• Б. Хартли; T.O. Хоукс (1970). Кольца, модули и линейная алгебра. Чепмен и Холл. ISBN  0-412-09810-5. Глава 11, с.182.
• Глава. III.7, стр. 153 из Ланг, Серж (1993), Алгебра (Третье изд.), Ридинг, Массачусетс: Addison-Wesley, ISBN  978-0-201-55540-0, Zbl  0848.13001