Эннепер поверхность - Enneper surface

Часть поверхности Эннепер

В дифференциальная геометрия и алгебраическая геометрия, то Эннепер поверхность самопересекающаяся поверхность, которую можно описать параметрически к:

${displaystyle x=u(1-u^{2}/3+v^{2})/3, }$

${displaystyle y=v(1-v^{2}/3+u^{2})/3, }$

${displaystyle z=(u^{2}-v^{2})/3. }$

Он был представлен Альфред Эннепер в 1864 г. в связи с минимальная поверхность теория.^[1][2][3][4]

В Параметризация Вейерштрасса – Эннепера очень просто, ${displaystyle f(z)=1,g(z)=z}$, и по нему легко вычислить реальную параметрическую форму. Поверхность сопрягать себе.

Методы неявной реализации алгебраическая геометрия можно использовать, чтобы узнать, что точки на поверхности Эннепера, указанные выше, удовлетворяют степени-9 многочлен уравнение^{[нужна цитата ]}

${displaystyle 64z^{9}-128z^{7}+64z^{5}-702x^{2}y^{2}z^{3}-18x^{2}y^{2}z+144(y^{2}z^{6}-x^{2}z^{6}) }$

${displaystyle {}+162(y^{4}z^{2}-x^{4}z^{2})+27(y^{6}-x^{6})+9(x^{4}z+y^{4}z)+48(x^{2}z^{3}+y^{2}z^{3}) }$

${displaystyle {}-432(x^{2}z^{5}+y^{2}z^{5})+81(x^{4}y^{2}-x^{2}y^{4})+240(y^{2}z^{4}-x^{2}z^{4})-135(x^{4}z^{3}+y^{4}z^{3})=0. }$

Вдвойне касательная плоскость в точке с заданными параметрами ${displaystyle a+bx+cy+dz=0, }$ куда

${displaystyle a=-(u^{2}-v^{2})(1+u^{2}/3+v^{2}/3), }$

${displaystyle b=6u, }$

${displaystyle c=6v, }$

${displaystyle d=-3(1-u^{2}-v^{2}). }$

Его коэффициенты удовлетворяют неявному полиномиальному уравнению шестой степени

${displaystyle 162a^{2}b^{2}c^{2}+6b^{2}c^{2}d^{2}-4(b^{6}+c^{6})+54(ab^{4}d-ac^{4}d)+81(a^{2}b^{4}+a^{2}c^{4}) }$

${displaystyle {}+4(b^{4}c^{2}+b^{2}c^{4})-3(b^{4}d^{2}+c^{4}d^{2})+36(ab^{2}d^{3}-ac^{2}d^{3})=0. }$

В Якобиан, Гауссова кривизна и средняя кривизна находятся

${displaystyle J=(1+u^{2}+v^{2})^{4}/81, }$

${displaystyle K=-(4/9)/J, }$

${displaystyle H=0. }$

В полная кривизна является ${displaystyle -4pi }$. Оссерман доказал, что полная минимальная поверхность в ${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$ с полной кривизной ${displaystyle -4pi }$ либо катеноид или поверхность Эннепера.^[5]

Другое свойство состоит в том, что все бикубические минимальные Поверхности Безье до аффинное преобразование, кусочки поверхности.^[6]

Его можно обобщить на вращательную симметрию более высокого порядка с помощью параметризации Вейерштрасса – Эннепера ${displaystyle f(z)=1,g(z)=z^{k}}$ для целого k> 1.^[3] Его также можно обобщить на более высокие измерения; Известно, что эннепероподобные поверхности существуют в ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ для n до 7.^[7]

Рекомендации

1. J.C.C. Nitsche, "Vorlesungen über Minimalflächen", Springer (1975)
2. Франсиско Х. Лопес, Франсиско Мартин, Полные минимальные поверхности в R3
3. Ульрих Диркес, Стефан Хильдебрандт, Фридрих Совиньи (2010). Минимальные поверхности. Берлин Гейдельберг: Springer. ISBN  978-3-642-11697-1.
4. Вайсштейн, Эрик В. «Минимальная поверхность Эннепера». MathWorld.
5. Р. Оссерман, Обзор минимальных поверхностей. Vol. 1, Кембриджский унив. Press, Нью-Йорк (1989).
6. Косин, К., Монтерде, Поверхности Безье минимальной площади. В области вычислительной науки - ICCS 2002, ред. Дж., Слоут, Питер, Хекстра, Альфонс, Тан, К., Донгарра, Джек. Конспект лекций по информатике 2330, Springer Berlin / Heidelberg, 2002. стр. 72-81. ISBN  978-3-540-43593-8
7. Jaigyoung Choe, О существовании многомерной поверхности Эннепера, Commentarii Mathematici Helvetici 1996, Volume 71, Issue 1, pp 556-569

внешняя ссылка

• «Поверхность Эннепера», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• https://web.archive.org/web/20130501084413/http://www.math.hmc.edu/~gu/curves_and_surfaces/surfaces/enneper.html
• https://web.archive.org/web/20160919231223/https://secure.msri.org/about/sgp/jim/geom/minimal/library/ennepern/index.html