Эпигруппа - Epigroup

В абстрактная алгебра, эпигруппа это полугруппа в котором каждый элемент имеет силу, принадлежащую подгруппа. Формально для всех Икс в полугруппе S, существует положительное число п и подгруппа грамм из S такой, что Икс^п принадлежитграмм.

Эпигруппы известны под множеством других имен, в том числе квазипериодическая полугруппа, полугруппа, связанная с группой, вполне π-регулярная полугруппа, сильно π-регулярная полугруппа (sπr^[1]),^[2] или просто π-регулярная полугруппа^[3] (хотя последнее неоднозначно).

В более общем смысле, в произвольной полугруппе элемент называется связанный с группой если у него есть сила, принадлежащая какой-либо подгруппе.

Эпигруппы имеют приложения для теория колец. В этом контексте изучаются многие их свойства.^[4]

Эпигруппы впервые были изучены Дуглас Манн в 1961 году, который назвал их псевдообратимый.^[5]

Характеристики

• Эпигруппы являются обобщением периодические полугруппы,^[6] таким образом, все конечные полугруппы также являются эпигруппами.
• Класс эпигрупп также содержит все вполне регулярные полугруппы и все вполне 0-простые полугруппы.^[5]
• Все эпигруппы тоже в конечном итоге регулярные полугруппы.^[7] (также известные как π-регулярные полугруппы)
• А отменяющий эпигруппа - это группа.^[8]
• Отношения Грина D и J совпадают для любой эпигруппы.^[9]
• Если S является эпигруппой, любая обычный подполугруппа S тоже эпигруппа.^[1]
• В эпигруппе Nambooripad порядок (в расширении П.Р. Джонса) и естественный частичный порядок (Митча) совпадают.^[10]

Примеры

• Полугруппа всех матриц над делительное кольцо это эпигруппа.^[5]
• Мультипликативная полугруппа каждого полупростое артиново кольцо это эпигруппа.^[4]:5
• Любой алгебраическая полугруппа это эпигруппа.

Структура

По аналогии с периодическими полугруппами эпигруппа S является разделенный в классах, проводимых его идемпотенты, которые действуют как тождества для каждой подгруппы. Для каждого идемпотента е из S, набор: ${\displaystyle K_{e}=\{x\in S\;|\;\exists n>0:\;x^{n}\in G_{e}\}}$ называется класс унипотентности (в то время как периодические полугруппы обычно называются классом кручения.)^[5]

Подполугруппы эпигруппы не обязательно должны быть эпигруппами, но если они есть, то они называются подэпигруппами. Если эпигруппа S имеет разбиение на унипотентные подэпигруппы (т.е. каждая содержит один идемпотент), тогда это разбиение уникально, и его компоненты являются в точности классами унипотентности, определенными выше; такая эпигруппа называется унифицированный. Однако не каждая эпигруппа обладает этим свойством. Простой контрпример - Полугруппа Брандта с пятью элементами B₂ потому что класс унипотентности его нулевого элемента не является подполугруппой. B₂ на самом деле является квинтэссенцией эпигруппы, которая не может быть однопотенциально разделена. Эпигруппа унипотентно разделяема если и только если он не содержит подполугруппы, которая идеальное расширение унипотентной эпигруппы B₂.^[5]

Смотрите также

Специальные классы полугрупп

Рекомендации

1. Лекс Э. Реннер (2005). Линейные алгебраические моноиды. Springer. С. 27–28. ISBN  978-3-540-24241-3.
2. Келарев А.В., Приложения эпигрупп к теории градуированных колец, Полугруппа Форум, Volume 50, Number 1 (1995), 327–350 Дои:10.1007 / BF02573530
3. Эрик Джесперс; Ян Окнински (2007). Нётеровы полугрупповые алгебры. Springer. п. 16. ISBN  978-1-4020-5809-7.
4. Андрей В. Келарев (2002). Конструкции и приложения колец. World Scientific. ISBN  978-981-02-4745-4.
5. Лев Николаевич Шеврин (2002). «Эпигруппы». В книге Александра Васильевича Михалева и Гюнтера Пильца (ред.). Краткий справочник по алгебре. Springer. С. 23–26. ISBN  978-0-7923-7072-7.
6. Питер М. Хиггинс (1992). Методы теории полугрупп. Издательство Оксфордского университета. п. 4. ISBN  978-0-19-853577-5.
7. Питер М. Хиггинс (1992). Методы теории полугрупп. Издательство Оксфордского университета. п. 50. ISBN  978-0-19-853577-5.
8. Питер М. Хиггинс (1992). Методы теории полугрупп. Издательство Оксфордского университета. п. 12. ISBN  978-0-19-853577-5.
9. Питер М. Хиггинс (1992). Методы теории полугрупп. Издательство Оксфордского университета. п. 28. ISBN  978-0-19-853577-5.
10. Питер М. Хиггинс (1992). Методы теории полугрупп. Издательство Оксфордского университета. п. 48. ISBN  978-0-19-853577-5.