Проблема различных расстояний Эрдеша - Erdős distinct distances problem

В дискретная геометрия, то Проблема различных расстояний Эрдеша утверждает, что каждый набор точек на плоскости имеет почти линейное количество различных расстояний. Это было поставлено Пол Эрдёш в 1946 году и почти доказано Гут и Кац (2015).

Гипотеза

В дальнейшем пусть грамм(п) обозначают минимальное количество различных расстояний между п точки на плоскости или, что то же самое, наименьшее возможное мощность от их набор расстояний. В своей статье 1946 года Эрдеш доказал оценки

${\displaystyle {\sqrt {n-3/4}}-1/2\leq g(n)\leq cn/{\sqrt {\log n}}}$

для некоторой постоянной ${\displaystyle c}$. Нижняя оценка была получена с помощью простого аргумента. Верхняя граница дается ${\displaystyle {\sqrt {n}}\times {\sqrt {n}}}$ квадратная сетка. Для такой сетки есть ${\displaystyle O(n/{\sqrt {\log n}})}$ числа ниже п которые представляют собой суммы двух квадратов, выраженные в нотация большой O; видеть Постоянная Ландау – Рамануджана. Эрдеш предположил, что верхняя граница была ближе к истинному значению грамм(п) и, в частности, что (используя большая нотация омега ) ${\displaystyle g(n)=\Omega (n^{c})}$ справедливо для каждого c < 1.

Частичные результаты

Нижняя граница Пола Эрдеша 1946 г. грамм(п) = Ω (п^1/2) был последовательно улучшен до:

• грамм(п) = Ω (п^2/3) (Мозер 1952 )
• грамм(п) = Ω (п^5/7) (Чанг 1984 )
• грамм(п) = Ω (п^4/5/бревно п) (Чанг, Семереди и Троттер, 1992 г. )
• грамм(п) = Ω (п^4/5) (Секели 1993 )
• грамм(п) = Ω (п^6/7) (Солимози и Тот 2001 )
• грамм(п) = Ω (п^{(4е/(5е - 1)) - ɛ}) (Тардос 2003 )
• грамм(п) = Ω (п^{((48 − 14е)/(55 − 16е)) - ɛ}) (Кац и Тардос 2004 )
• грамм(п) = Ω (п/бревно п) (Гут и Кац 2015 )

Высшие измерения

Эрдеш также рассмотрел многомерный вариант задачи: для ${\displaystyle d\geq 3}$ позволять ${\displaystyle g_{d}(n)}$ обозначают минимально возможное количество различных расстояний между ${\displaystyle n}$ указывает в ${\displaystyle d}$-размерный Евклидово пространство. Он доказал, что ${\displaystyle g_{d}(n)=\Omega (n^{1/d})}$ и ${\displaystyle g_{d}(n)=O(n^{2/d})}$ и предположил, что верхняя оценка на самом деле точна, т. е. ${\displaystyle g_{d}(n)=\Theta (n^{2/d})}$. Солимози и Ву (2008) получил нижнюю оценку ${\displaystyle g_{d}(n)=\Omega (n^{2/d-2/d(d+2)})}$.

Смотрите также

• Гипотеза Фальконера
• В Проблема единичного расстояния Эрдеша

Рекомендации

• Чанг, Фань (1984), "Количество различных дистанций определяется п точки в плоскости " (PDF), Журнал комбинаторной теории, серия А, 36 (3): 342–354, Дои:10.1016/0097-3165(84)90041-4, МИСТЕР  0744082.
• Чанг, Фань; Семереди, Эндре; Троттер, Уильям Т. (1992), «Количество различных расстояний, определяемых набором точек на евклидовой плоскости» (PDF), Дискретная и вычислительная геометрия, 7: 342–354, Дои:10.1007 / BF02187820, МИСТЕР  1134448.
• Эрдеш, Пол (1946), "На наборах дистанций п точки" (PDF), Американский математический ежемесячный журнал, 53 (5): 248–250, Дои:10.2307/2305092, JSTOR  2305092.
• Гарибальди, Джулия; Иосевич, Алексей; Сенгер, Стивен (2011), Проблема расстояния Эрдеша, Студенческая математическая библиотека, 56, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-5281-1, МИСТЕР  2721878.
• Гут, Ларри; Кац, Нетс Хок (2015), "О проблеме различных расстояний Эрдеша на плоскости", Анналы математики, 181 (1): 155–190, arXiv:1011.4105, Дои:10.4007 / анналы.2015.181.1.2, МИСТЕР  3272924, Zbl  1310.52019. Смотрите также Граница Гута-Каца в проблеме расстояния Эрдеша к Терри Тао и Гут и Кац: решение проблемы об отличных расстояниях Эрдеша к Янош Пах.
• Кац, Нетс Хок; Тардос, Габор (2004), «Новое энтропийное неравенство для проблемы расстояния Эрдеша», в Pach, János (ed.), К теории геометрических графов, Современная математика, 342, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 119–126, Дои:10.1090 / conm / 342/06136, ISBN  978-0-8218-3484-8, МИСТЕР  2065258
• Мозер, Лев (1952), «На разных расстояниях, определяемых п точки", Американский математический ежемесячный журнал, 59 (2): 85–91, Дои:10.2307/2307105, JSTOR  2307105, МИСТЕР  0046663.
• Солимоши, Йожеф; Тот, Чаба Д. (2001), «Определенные расстояния на плоскости», Дискретная и вычислительная геометрия, 25 (4): 629–634, Дои:10.1007 / s00454-001-0009-z, МИСТЕР  1838423.
• Солимоши, Йожеф; Ву, Ван Х. (2008), "Около оптимальных оценок для проблемы различных расстояний Эрдеша в больших размерностях", Комбинаторика, 28: 113–125, Дои:10.1007 / s00493-008-2099-1, МИСТЕР  2399013.
• Секели, Ласло А. (1993), "Пересечения чисел и сложные задачи Эрдеша в дискретной геометрии", Комбинаторика, теория вероятностей и вычисления, 11 (3): 1–10, Дои:10.1017 / S0963548397002976, МИСТЕР  1464571.
• Тардос, Габор (2003), «О различных суммах и различных расстояниях», Успехи в математике, 180: 275–289, Дои:10.1016 / с0001-8708 (03) 00004-5, МИСТЕР  2019225.

внешняя ссылка

• Уильям Гасарх с страница по проблеме
• Янош Пах с гостевой пост на Гил Калаи блог
• Терри Тао блог Вход по доказательству Гута-Каца дает подробное изложение доказательства.