График удельного расстояния - Unit distance graph - Wikipedia

В Граф Петерсена граф единичных расстояний: каждая внутренняя вершина вращается ${\displaystyle 90^{\circ }}$ от соседней с ней внешней вершины относительно центра чертежа.^[1]

В математика, и особенно геометрическая теория графов, а график единичного расстояния представляет собой граф, сформированный из набора точек в Евклидова плоскость соединяя две точки ребром, если расстояние между двумя точками равно единице. Края графиков единичных расстояний иногда пересекаются, поэтому они не всегда планарный; граф единичных расстояний без пересечений называется график спички.

В Проблема Хадвигера – Нельсона касается хроматическое число графов единичных расстояний. Известно, что существуют графы единичных расстояний, требующие пяти цветов в любой правильной раскраске,^[2] и что все такие графики можно раскрасить не более чем в семь цветов. Еще одна важная открытая проблема, связанная с графами единичных расстояний, заключается в том, сколько ребер они могут иметь относительно количества вершины.

Примеры

В граф гиперкуба Q₄ как график единичных расстояний.

Следующие графики представляют собой графики единичных расстояний:

• Любой график цикла
• Любой сетка графика
• Любой граф гиперкуба
• Любой звездный график
• Любой график спички или же пенни граф
• В Граф Петерсена^[3]
• В График Хивуда^[4]
• В колесо графа W₇
• В Шпиндель Мозера, наименьший 4-хроматический граф единичных расстояний

Любой Декартово произведение графиков единичных расстояний дает другой график единичных расстояний. Однако это не относится к другим широко используемым графическим продуктам.^[5]

Подграфы графов единичных расстояний

Чертеж единичного расстояния Граф Мебиуса-Кантора в котором некоторые несмежные пары также находятся на единичном расстоянии друг от друга.

Некоторые источники определяют граф как граф единичных расстояний, если его вершины могут быть отображены в различные места на плоскости, так что соседние пары находятся на единичном расстоянии друг от друга, не принимая во внимание возможность того, что некоторые несмежные пары также могут находиться на единичном расстоянии друг от друга. Например, Граф Мебиуса-Кантора есть рисунок этого типа.

Согласно этому более свободному определению графа единичных расстояний, все обобщенные графы Петерсена являются графами единичных расстояний.^[6] Чтобы различать два определения, графы, в которых требуется, чтобы не ребра находились на расстоянии, отличном от единицы, могут быть названы графики строгих единичных расстояний.^[7].

График, образованный удалением одной из спиц из колесо графа W₇ является подграфом графа единичных расстояний, но не является строгим графом единичных расстояний: существует только один способ (вплоть до соответствие ), чтобы разместить вершины в разных местах, так чтобы соседние вершины находились на расстоянии единицы друг от друга, и это размещение также помещает две конечные точки отсутствующей спицы на единицу расстояния.^[8]

Подсчет единиц расстояния

Нерешенная проблема в математике: Сколько единичных расстояний можно определить с помощью набора ${\displaystyle n}$ точки? (больше нерешенных задач по математике)

В Граф Хэмминга (3,3) имеет 27 вершин и 81 единичное расстояние

Пол Эрдёш  (1946 ) поставила задачу оценить, сколько пар точек в наборе п точки могут находиться на единичном расстоянии друг от друга. С точки зрения теории графов, насколько плотным может быть граф единичных расстояний?

В граф гиперкуба обеспечивает нижнюю границу количества единичных расстояний, пропорциональную ${\displaystyle n\log n.}$ Рассматривая точки в квадратной сетке с тщательно подобранным интервалом, Эрдеш нашел улучшенную нижнюю границу вида

${\displaystyle n^{1+c/\log \log n},}$

и предложил приз в размере 500 долларов за определение того, может ли максимальное количество единичных расстояний также быть ограничено сверху функцией этой формы.^[9] Самая известная верхняя граница этой проблемы из-за Джоэл Спенсер, Эндре Семереди, и Уильям Троттер  (1984 ), пропорциональна

${\displaystyle n^{4/3};}$

эту границу также можно рассматривать как подсчет инцидентов между точками и единичными окружностями, и она тесно связана с Теорема Семереди – Троттера. на падениях между точками и линиями.

Представление алгебраических чисел и теорема Бекмана – Куорлза.

Для каждого алгебраическое число А, можно найти график единичных расстояний грамм в котором некоторые пары вершин находятся на расстоянии А во всех представлениях единичного расстояния грамм.^[10] Из этого результата следует конечная версия Теорема Бекмана – Куорлза: для любых двух точек п и q на расстоянии Асуществует конечная жесткий граф единичных расстояний, содержащий п и q такое, что любое преобразование плоскости, сохраняющее единичные расстояния в этом графике, сохраняет расстояние между п и q.^[11] Полная теорема Бекмана – Куорлза гласит, что любое преобразование евклидовой плоскости (или многомерного пространства), которое сохраняет единичные расстояния, должно быть соответствие; то есть для бесконечного графа единичных расстояний, вершинами которого являются все точки на плоскости, любая автоморфизм графа должен быть изометрия.^[12]

Обобщение на более высокие измерения

Определение графа единичных расстояний может быть естественным образом обобщено на любые многомерные Евклидово пространство.Любой граф может быть вложен как набор точек достаточно высокой размерности; Маэхара и Рёдль (1990) показать, что размерность, необходимая для вложения графа таким образом, может быть ограничена удвоенной максимальной степенью.

Размерность, необходимая для внедрения графа так, чтобы все ребра имели единичное расстояние, и размер, необходимый для внедрения графа так, чтобы ребра были в точности парами единичных расстояний, могут сильно отличаться друг от друга: 2п-вертекс граф короны может быть встроен в четыре измерения так, чтобы все его края имели единичную длину, но требует, по крайней мере, п - 2 измерения должны быть встроены так, чтобы ребра были единственными парами единиц расстояния.^[13]

Вычислительная сложность

это NP-жесткий, а точнее полный для экзистенциальная теория реальности, чтобы проверить, является ли данный граф графом единичных расстояний или строгим графом единичных расстояний.^[14]

Это также НП-полный чтобы определить, имеет ли граф единичных расстояний Гамильтонов цикл, даже если все вершины графа имеют целочисленные координаты.^[15]

Смотрите также

• Граф юнит-диска, граф на плоскости, имеющий ребро, если две точки находятся на расстоянии не более одного

Рекомендации

Примечания

1. Гриффитс (2019).
2. Лангин (2018).
3. Эрдёш, Харари и Тутте (1965); Гриффитс (2019)
4. Гербрахт (2009).
5. Хорват и Писанский (2010).
6. Житник, Хорват и Писанский (2010).
7. Гервасио, Лим и Маэхара (2008).
8. Сойфер (2008), п. 94.
9. Куперберг (1992).
10. Маэхара (1991, 1992 ).
11. Тышка (2000).
12. Бекман и Куорлз (1953).
13. Эрдеш и Симоновиц (1980).
14. Шефер (2013).
15. Итаи, Пападимитриу и Шварцфитер (1982).

Источники

• Beckman, F. S .; Куорлз, Д. А., мл. (1953), "Об изометриях евклидовых пространств", Труды Американского математического общества, 4 (5): 810–815, Дои:10.2307/2032415, JSTOR  2032415, МИСТЕР  0058193.
• Эрдеш, Пол (1946), «О наборах расстояний п точки", Американский математический ежемесячный журнал, 53 (5): 248–250, Дои:10.2307/2305092, JSTOR  2305092.
• Эрдеш, Пол; Харари, Фрэнк; Тутте, Уильям Т. (1965), «О размерности графа» (PDF), Математика, 12: 118–122, Дои:10.1112 / S0025579300005222, МИСТЕР  0188096.
• Эрдеш, Пол; Симоновиц, Миклош (1980), "О хроматическом числе геометрических графов", Ars Combinatoria, 9: 229–246. Как цитирует Сойфер (2008 г., п. 97).
• Гербрахт, Эберхард Х.-А. (2009), Одиннадцать вложений на единичные расстояния графа Хивуда, arXiv:0912.5395, Bibcode:2009arXiv0912.5395G.
• Gervacio, Severino V .; Лим, Иветт Ф .; Маэхара, Хироши (2008), «Планарные графы единичных расстояний, имеющие плоское дополнение единичных расстояний», Дискретная математика, 308 (10): 1973–1984, Дои:10.1016 / j.disc.2007.04.050.
• Гриффитс, Мартин (июнь 2019 г.), «103.27 Свойство конкретного графа единичных расстояний», Математический вестник, 103 (557): 353–356, Дои:10.1017 / mag.2019.74.
• Хорват, Борис; Писанский, Томаж (2010), «Произведение графов единичных расстояний», Дискретная математика, 310 (12): 1783–1792, Дои:10.1016 / j.disc.2009.11.035, МИСТЕР  2610282.
• Итаи, Алон; Пападимитриу, Христос Х.; Szwarcfiter, Jayme Luiz (1982), "Пути Гамильтона в сеточных графах", SIAM Журнал по вычислениям, 11 (4): 676–686, CiteSeerX  10.1.1.383.1078, Дои:10.1137/0211056, МИСТЕР  0677661.
• Куперберг, Грег (1992), Котенок Эрдос: призы минимум на $ 9050!, Размещение в группах usenet rec.puzzles и sci.math, заархивировано из оригинал 29 сентября 2006 г..
• Лангин, Кэти (18 апреля 2018 г.), «Математик-любитель решает математическую задачу, которой уже несколько десятилетий», Наука.
• Маэхара, Хироши (1991), "Расстояния в жестком графе единичных расстояний на плоскости", Дискретная прикладная математика, 31 (2): 193–200, Дои:10.1016 / 0166-218X (91) 90070-D.
• Маэхара, Хироши (1992), «Расширение гибкой структуры единичной балки на жесткую», Дискретная математика, 108 (1–3): 167–174, Дои:10.1016 / 0012-365X (92) 90671-2, МИСТЕР  1189840.
• Маэхара, Хироши; Рёдль, Войтех (1990), «О размерности для представления графа графом единичных расстояний», Графы и комбинаторика, 6 (4): 365–367, Дои:10.1007 / BF01787703.
• Шефер, Маркус (2013), «Реализуемость графиков и связей», в Пах, Янош (ред.), Тридцать очерков по теории геометрических графов, Springer, стр. 461–482, CiteSeerX  10.1.1.220.9651, Дои:10.1007/978-1-4614-0110-0_24, ISBN  978-1-4614-0109-4.
• Сойфер Александр (2008), Математическая книжка-раскраска, Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-74640-1.
• Спенсер, Джоэл; Семереди, Эндре; Троттер, Уильям Т. (1984), «Единичные расстояния в евклидовой плоскости», в Bollobás, Béla (ed.), Теория графов и комбинаторика, Лондон: Academic Press, стр. 293–308, ISBN  978-0-12-111760-3, МИСТЕР  0777185.
• Тышка, Аполониуш (2000), "Дискретные версии теоремы Бекмана-Куорлза", Aequationes Mathematicae, 59 (1–2): 124–133, arXiv:математика / 9904047, Дои:10.1007 / PL00000119, МИСТЕР  1741475.
• Читник, Арджана; Хорват, Борис; Писанский, Томаж (2010), Все обобщенные графы Петерсена являются графами единичных расстояний (PDF), Препринты IMFM, 1109.

внешняя ссылка

• Венкатасубраманиан, Суреш, "Задача 39: Расстояния между множествами точек в р² и р³", Проект открытых проблем
• Вайсштейн, Эрик В. «График единичных расстояний». MathWorld.