Евклидово поле - Euclidean field
В математика, а Евклидово поле является упорядоченное поле K для которой каждый неотрицательный элемент представляет собой квадрат: то есть Икс ≥ 0 дюймов K подразумевает, что Икс = у2 для некоторых у в K.
Характеристики
- Каждое евклидово поле является упорядоченным Пифагорейское поле, но обратное неверно.[1]
- Если E/F конечный расширение, и E евклидово, то и F. Эта "теорема о понижении" является следствием Теорема Диллера – Дресса.[2]
Примеры
- В действительные числа р с обычными операциями и порядком образуют евклидово поле.
- Поле реального алгебраические числа - евклидово поле.
- Реальный конструктивные числа, те (подписанные) длины, которые могут быть построены из рационального отрезка с помощью линейка и компас конструкции, образуют евклидово поле.[3]
- Поле гиперреальные числа - евклидово поле.
Контрпримеры
- В рациональное число Q с обычными операциями и порядком не образуют евклидово поле. Например, 2 - это не квадрат в Q так как квадратный корень из 2 является иррациональный.[4] Судя по результату, приведенному выше, нет поле алгебраических чисел может быть евклидовым.[2]
- В сложные числа C не образуют евклидово поле, поскольку им нельзя придать структуру упорядоченного поля.
Евклидово замыкание
В Евклидово замыкание упорядоченного поля K является продолжением K в квадратичное замыкание из K которое является максимальным по отношению к упорядоченному полю с порядком, расширяющим порядок K.[5]
Рекомендации
- Эфрат, Идо (2006). Оценки, заказы и Милнор K-теория. Математические обзоры и монографии. 124. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 0-8218-4041-X. Zbl 1103.12002.
- Лам, Цит-Юэн (2005). Введение в квадратичные формы над полями. Аспирантура по математике. 67. Американское математическое общество. ISBN 0-8218-1095-2. МИСТЕР 2104929. Zbl 1068.11023.
- Мартин, Джордж Э. (1998). Геометрические конструкции. Тексты для бакалавриата по математике. Springer-Verlag. ISBN 0-387-98276-0. Zbl 0890.51015.