Четные и нечетные ординалы - Even and odd ordinals

В математика, четные и нечетные ординалы расширить понятие паритет от натуральные числа к порядковые номера. Они полезны в некоторых трансфинитная индукция доказательства.

В литературе есть несколько эквивалентных определений четности ординала α:

  • Каждый предельный порядковый номер (включая 0) является четным. В преемник четного порядкового номера нечетным, и наоборот.[1][2]
  • Пусть α = λ + п, где λ - предельный ординал, а п натуральное число. Четность α - это четность п.[3]
  • Позволять п быть конечным членом Нормальная форма Кантора из α. Четность α - это четность п.[4]
  • Пусть α = ωβ + п, куда п натуральное число. Четность α - это четность п.[5]
  • Если α = 2β, то α четно. В противном случае α = 2β + 1 и α нечетное.[5][6]

В отличие от случая даже целые числа, нельзя далее характеризовать даже порядковые числа как порядковые числа вида β2 = β + β. Порядковое умножение не коммутативен, поэтому в целом 2β ≠ β2. Фактически, четный порядковый номер ω + 4 нельзя выразить как β + β, а порядковое число

(ω + 3) 2 = (ω + 3) + (ω + 3) = ω + (3 + ω) + 3 = ω + ω + 3 = ω2 + 3

нет даже.

Простое применение порядковой четности - это идемпотентность закон для кардинальное сложение (Учитывая теорема о хорошем порядке ). Для бесконечного кардинала κ или вообще любого предельного ординала κ, κ изоморфен по порядку как своему подмножеству четных ординалов, так и своему подмножеству нечетных ординалов. Следовательно, имеется кардинальная сумма κ + κ = κ.[2][7]

Рекомендации

  1. ^ Брукнер, Эндрю М .; Джудит Б. Брукнер и Брайан С. Томсон (1997). Реальный анализ. стр.37. ISBN  0-13-458886-X.
  2. ^ а б Зальцманн, Х., Т. Грундхёфер, Х. Хал и Р. Лёвен (2007). Классические поля: структурные особенности действительных и рациональных чисел. Издательство Кембриджского университета. стр.168. ISBN  0-521-86516-6.CS1 maint: несколько имен: список авторов (связь)
  3. ^ Форан, Джеймс (1991). Основы реального анализа. CRC Press. стр.110. ISBN  0-8247-8453-7.
  4. ^ Харцхейм, Эгберт (2005). Заказанные наборы. Springer. стр.296. ISBN  0-387-24219-8.
  5. ^ а б Камке, Эрих (1950). Теория множеств. Курьер Дувр. п. 96. ISBN  0-486-60141-2.
  6. ^ Хаусдорф, Феликс (1978). Теория множеств. Американское математическое общество. п. 99. ISBN  0-8284-0119-5.
  7. ^ Ройтман, Джудит (1990). Введение в современную теорию множеств. Wiley-IEEE. стр.88. ISBN  0-471-63519-7.