Точная C * -алгебра - Exact C*-algebra

В математике точная C * -алгебра это C * -алгебра что сохраняет точные последовательности под минимальное тензорное произведение.

Определение

А C * -алгебра E точно, если для любого короткая точная последовательность,

${\displaystyle 0\;{\xrightarrow {}}\;A\;{\xrightarrow {f}}\;B\;{\xrightarrow {g}}\;C\;{\xrightarrow {}}\;0}$

последовательность

${\displaystyle 0\;{\xrightarrow {}}\;A\otimes _{\min }E\;{\xrightarrow {f\otimes \operatorname {id} }}\;B\otimes _{\min }E\;{\xrightarrow {g\otimes \operatorname {id} }}\;C\otimes _{\min }E\;{\xrightarrow {}}\;0,}$

где ⊗_мин обозначает минимум тензорное произведение, тоже точно.

Характеристики

• Каждый ядерная C * -алгебра точно.

• Каждая под-C * -алгебра и каждый фактор точной C * -алгебры точны. Расширение точных C * -алгебр, вообще говоря, не является точным.

• Отсюда следует, что всякая под-C * -алгебра алгебры ядерная C * -алгебра точно.

Характеристики

Точные C * -алгебры имеют следующие эквивалентные характеристики:

• C * -алгебра А точно тогда и только тогда, когда А ядерно встроен в B(ЧАС) C * -алгебра всех ограниченных операторов в гильбертовом пространстве ЧАС.

• C * -алгебра точна тогда и только тогда, когда каждая отделимая суб-C * -алгебра точна.

• Сепарабельная C * -алгебра А точен тогда и только тогда, когда он изоморфен подалгебре Алгебра Кунца ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{2}}$.

Рекомендации

• Brown, Nathanial P .; Одзава, Нарутака (2008). C * -алгебры и конечномерные приближения. Провиденс: AMS. ISBN  978-0-8218-4381-9.