Алгебра Кунца - Cuntz algebra - Wikipedia

В математике Алгебра Кунца ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}}$, названный в честь Иоахим Кунц, это универсальная C * -алгебра создано ${\displaystyle n}$ изометрии бесконечное измерение Гильбертово пространство ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ удовлетворение определенных отношений.^[1] Эти алгебры были введены как первые конкретные примеры отделяемый бесконечная простая C * -алгебра, то есть гильбертово пространство, ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}}$ изометрично пространство последовательности

${\displaystyle l^{2}(\mathbb {N} )}$

и в нем нет нетривиальных замкнутых идеалов. Эти алгебры являются фундаментальными для изучения простых бесконечных C * -алгебр, поскольку любая такая алгебра содержит для любого данного п, подалгебра, имеющая ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}}$ как частное.

Определения

Позволять п ≥ 2 и ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ быть отделяемый Гильбертово пространство. Рассмотрим C * -алгебра ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ генерируется набором

${\displaystyle \{S_{i}\}_{i=1}^{n}}$

из изометрии (т.е. ${\displaystyle S_{i}^{*}S_{i}=1}$) действующий на ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ удовлетворение

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}S_{i}S_{i}^{*}=I.}$

Эта универсальная C * -алгебра называется Алгебра Кунца, обозначаемый ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}}$.

А просто C * -алгебра называется чисто бесконечно если каждый наследственная C * -подалгебра его бесконечно. ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}}$ - сепарабельная простая чисто бесконечная C * -алгебра. Любая простая бесконечная C * -алгебра содержит подалгебру, ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}}$ как частное.

Характеристики

Классификация

Алгебры Кунца попарно неизоморфны, т. Е. ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{m}}$ неизоморфны для п ≠ м. В K₀ группа ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}}$ является ${\displaystyle \mathbb {Z} /n}$, то циклическая группа порядка п - 1. Поскольку K₀ это функтор, ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{m}}$ неизоморфны.

Связь между конкретными C * -алгебрами и универсальной C * -алгеброй

Теорема. Конкретная C * -алгебра ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ изоморфна универсальной C * -алгебре ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ создано п генераторы s₁... s_п при условии отношений s_я* с_я = 1 для всех я и ∑ s_яs_я* = 1.

Доказательство теоремы опирается на следующий факт: любая C * -алгебра, порожденная п изометрии s₁... s_п с ортогональными диапазонами содержит копию УВЧ алгебра ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ тип п^∞. А именно ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ охватывает слова вида

${\displaystyle s_{i_{1}}\cdots s_{i_{k}}s_{j_{1}}^{*}\cdots s_{j_{k}}^{*},k\geq 0.}$

* -Подалгебра ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, существование приблизительно конечномерный, имеет единственную C * -норму. Подалгебра ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ играет роль пространства Коэффициенты Фурье для элементов алгебры. Ключевая техническая лемма, принадлежащая Кунцу, состоит в том, что элемент алгебры равен нулю тогда и только тогда, когда все его коэффициенты Фурье равны нулю. Используя это, можно показать, что фактор-карта из ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ к ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ инъективно, что доказывает теорему.

Алгебра УВЧ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ имеет неунитальную подалгебру ${\displaystyle {\mathcal {F}}'}$ который канонически изоморфен ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ Сама: В M_п этап определения прямой системы ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$рассмотрим проекцию ранга 1 е₁₁, матрица, равная 1 в верхнем левом углу и нулю в другом месте. Распространите эту проекцию через прямую систему. На них_п^k стадия прямой системы, имеет ранг п^{k - 1} проекция. в прямой предел, это дает проекцию п в ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$. Угол

${\displaystyle P{\mathcal {F}}P={\mathcal {F'}}}$

изоморфен ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$. * -Эндоморфизм Φ, отображающий ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ на ${\displaystyle {\mathcal {F}}'}$ реализуется изометрией s₁, т.е. Φ (·) = s₁(·)s₁*. ${\displaystyle \;{\mathcal {O}}_{n}}$на самом деле скрещенный продукт из ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ с эндоморфизмом Φ.

Обобщения

Алгебры Кунца получили множество обобщений. Примечательны, среди которых Алгебры Кунца – Кригера, граф C * -алгебры и k-граф C * -алгебры.

Прикладная математика

В обработка сигналов, а поддиапазонный фильтр с точной реконструкцией порождают представления алгебры Кунца. Такой же фильтр также поступает из анализ с несколькими разрешениями строительство в вейвлет теория.^[2]

Смотрите также

• Приближенно конечномерная C * -алгебра
• C * -модуль Гильберта

Рекомендации

1. Кунц, Иоахим (1977). «Простые $ C ^ * $ - алгебры, порожденные изометриями». Коммуникации по математической физике. 57 (2): 173–185. ISSN  0010-3616.
2. Jørgensen, Palle E.T .; Тредуэй, Брайан. Анализ и вероятность: всплески, сигналы, фракталы. Тексты для выпускников по математике. 234. Springer-Verlag. ISBN  0-387-29519-4.