Факториальная производящая функция момента - Factorial moment generating function

В теория вероятности и статистика, то производящая функция факториального момента из распределение вероятностей из ценный случайная переменная Икс определяется как

${\displaystyle M_{X}(t)=\operatorname {E} {\bigl [}t^{X}{\bigr ]}}$

для всех сложные числа т для чего это ожидаемое значение существуют. Так по крайней мере для всех т на единичный круг ${\displaystyle |t|=1}$, видеть характеристическая функция. ЕслиИкс дискретная случайная величина, принимающая значения только в множестве {0,1, ...} неотрицательных целые числа, тогда ${\displaystyle M_{X}}$ также называется функция, генерирующая вероятность из Икс и ${\displaystyle M_{X}(t)}$ хорошо определен по крайней мере для всех т на закрыто единичный диск ${\displaystyle |t|\leq 1}$.

Факториальная функция, производящая момент, порождает факториальные моменты из распределение вероятностей.При условии ${\displaystyle M_{X}}$ существует в район из т = 1, п-й факторный момент определяется выражением ^[1]

${\displaystyle \operatorname {E} [(X)_{n}]=M_{X}^{(n)}(1)=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} t^{n}}}\right|_{t=1}M_{X}(t),}$

где Символ Поххаммера (Икс)_п это падающий факториал

${\displaystyle (x)_{n}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1).\,}$

(Многие математики, особенно в области специальные функции, используйте те же обозначения для представления возрастающий факториал.)

Пример

Предполагать Икс имеет распределение Пуассона с ожидаемое значение λ, то его производящая функция факториального момента равна

${\displaystyle M_{X}(t)=\sum _{k=0}^{\infty }t^{k}\underbrace {\operatorname {P} (X=k)} _{=\,\lambda ^{k}e^{-\lambda }/k!}=e^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(t\lambda )^{k}}{k!}}=e^{\lambda (t-1)},\qquad t\in \mathbb {C} ,}$

(использовать определение экспоненциальной функции ) и, таким образом, имеем

${\displaystyle \operatorname {E} [(X)_{n}]=\lambda ^{n}.}$

Смотрите также

• Момент (математика)
• Функция создания моментов
• Кумулянт-производящая функция

1. http://homepages.nyu.edu/~bpn207/Teaching/2005/Stat/Generating_Functions.pdf