Справедливое разделение единого однородного ресурса - Fair division of a single homogeneous resource - Wikipedia

Справедливое разделение единого однородного ресурса это одна из самых простых настроек в справедливое разделение проблемы. Есть единый ресурс, который нужно разделить между несколькими людьми. Проблема в том, что каждый человек извлекает разную полезность из каждого количества ресурса. Следовательно, существует несколько противоречивых принципов для принятия решения о том, как следует разделить ресурс. Первичный конфликт - это между эффективностью и равенством. Эффективность представлена утилитарный правило, максимизирующее сумму коммунальных услуг; равенство представлено эгалитарный правило, которое максимизирует минимальную полезность.^{[1]:подраздел.2.5}

Параметр

В определенном обществе есть:

• ${\displaystyle t}$ единиц некоторого делимого ресурса.
• ${\displaystyle n}$ агенты с разными «утилитами».
• Полезность агента ${\displaystyle i}$ представлен функцией ${\displaystyle u_{i}}$; когда агент ${\displaystyle i}$ получает ${\displaystyle y_{i}}$ единиц ресурса, он извлекает из них полезность ${\displaystyle u_{i}(y_{i})}$.

Этот параметр может иметь разные толкования. Например:^[1]:44

• Ресурс - это древесина, агенты - строители, а функции полезности представляют их производительную силу. ${\displaystyle u_{i}(y_{i})}$ это количество зданий, которые агент ${\displaystyle i}$ можно построить, используя ${\displaystyle y_{i}}$ единицы древесины.
• Ресурс - это лекарство, агенты - пациенты, а полезные функции представляют их шанс на выздоровление. ${\displaystyle u_{i}(y_{i})}$ вероятность агента ${\displaystyle i}$ выздороветь, получив ${\displaystyle y_{i}}$ дозы лекарства.

В любом случае общество должно решить, как разделить ресурс между агентами: ему нужно найти вектор. ${\displaystyle y_{1},\dots ,y_{n}}$ такой, что: ${\displaystyle y_{1}+\cdots +y_{n}=t}$

Правила размещения

Без зависти

В Свобода от зависти Правило говорит, что ресурс должен быть выделен таким образом, чтобы ни один агент не завидовал другому агенту. В случае одного однородного ресурса он всегда выбирает распределение, которое дает каждому агенту одинаковое количество ресурса, независимо от их функции полезности:

${\displaystyle \forall i:y_{i}=t/n}$

Утилитарный

В утилитарный Правило гласит, что сумма коммунальных услуг должна быть максимальной. Следовательно, утилитарное распределение:

${\displaystyle y=\arg \max _{y}\sum _{i}u_{i}(y_{i})}$

Эгалитарный

В эгалитарный Правило гласит, что полезности всех агентов должны быть равны. Поэтому мы хотели бы выбрать распределение, которое удовлетворяет:

${\displaystyle \forall i,j:u_{i}(y_{i})=u_{j}(y_{j})}$

Однако такое распределение может не существовать, поскольку диапазоны функций полезности могут не перекрываться (см. Пример ниже). Чтобы гарантировать существование решения, мы разрешаем разные уровни полезности, но требуем, чтобы агенты с уровнями полезности выше минимального не получали ресурсов:

${\displaystyle y_{i}>0\implies u_{i}(y_{i})=\min _{j}u_{j}(y_{j})}$

Точно так же эгалитарное распределение максимизирует минимальную полезность:

${\displaystyle y=\arg \max _{y}\min _{i}u_{i}(y_{i})}$

Утилитарные и эгалитарные правила могут приводить к одинаковому или разному распределению, в зависимости от функций полезности. Некоторые примеры проиллюстрированы ниже.

Примеры

Общая полезность и неравные дары

Предположим, что все агенты имеют одинаковую функцию полезности, ${\displaystyle u}$, но каждый агент ${\displaystyle i}$ имеет другое начальное дарование, ${\displaystyle x_{i}}$. Итак, полезность каждого агента ${\displaystyle i}$ дан кем-то:

${\displaystyle u_{i}(y_{i})=u(x_{i}+y_{i})}$

Если ${\displaystyle u}$ это вогнутая функция, представляющий убывающая отдача, то утилитарное и эгалитарное распределение одинаковы - попытка уравнять возможности агентов. Например, если есть 3 агента с начальными способностями ${\displaystyle x=2,4,9}$ и общая сумма ${\displaystyle t=8}$, то оба правила рекомендуют размещение ${\displaystyle y=5,3,0}$, поскольку он и продвигает к равной полезности (насколько это возможно) и максимизирует сумму полезности.

Напротив, если ${\displaystyle u}$ это выпуклая функция, представляющий возрастающая отдача, то эгалитарное распределение по-прежнему подталкивает к равенству, но утилитарное распределение теперь дает все возможности самому богатому агенту: ${\displaystyle y=0,0,9}$.^[1]:45 Это имеет смысл, например, когда ресурс - дефицитное лекарство: с социальной точки зрения лучше всего давать все лекарства пациенту с наибольшими шансами на выздоровление.

Постоянные коэффициенты полезности

Предположим, есть общая функция полезности ${\displaystyle u}$, но у каждого агента свой коэффициент ${\displaystyle a_{i}}$ представляющий производительность этого агента. Итак, полезность каждого агента ${\displaystyle i}$ дан кем-то:

${\displaystyle u_{i}(y_{i})=a_{i}\cdot u(y_{i})}$

Здесь утилитарный и эгалитарный подходы диаметрально противоположны.^[1]:46–47

• Эгалитарное распределение дает больше ресурсов менее продуктивным агентам, чтобы компенсировать им и позволить им достичь высокого уровня полезности:

  ${\displaystyle a_{i}>a_{j}\implies y_{j}>y_{i}}$

• Утилитарное распределение дает больше ресурсов более продуктивным агентам, поскольку они будут использовать ресурсы лучше:

  ${\displaystyle a_{i}>a_{j}\implies y_{i}>y_{j}}$

Свойства правил распределения

• Ресурс-монотонность: правление без зависти и эгалитарное правление всегда ресурсо-монотонны. Утилитарное правило является ресурсо-монотонным, когда все функции полезности вогнутые функции, представляющий убывающая отдача; но когда некоторые служебные функции выпуклые функции, представляющий возрастающая отдача, утилитарное правление может не быть ресурсо-монотонным.^[1]:47

Смотрите также

• Утилитаризм
• Эгалитаризм

Рекомендации

1. Эрве Мулен (2004). Справедливое разделение и коллективное благосостояние. Кембридж, Массачусетс: MIT Press. ISBN  9780262134231.