Фатальная теорема - Fatous theorem - Wikipedia

Не путать с Лемма Фату.

В комплексный анализ, Теорема Фату, названный в честь Пьер Фату, это заявление о голоморфные функции на единичном диске и их поточечное продолжение до границы диска.

Мотивация и утверждение теоремы

Если у нас есть голоморфная функция ${\displaystyle f}$ определены на открытом единичном диске ${\displaystyle \mathbb {D} =\{z:|z|<1\}}$резонно спросить, при каких условиях мы можем продолжить эту функцию до границы единичного круга. Для этого мы можем посмотреть, как функция выглядит на каждом круге внутри диска с центром в 0, каждый с некоторым радиусом. ${\displaystyle r}$. Это определяет новую функцию:

${\displaystyle {\begin{cases}f_{r}:S^{1}\to \mathbb {C} \\f_{r}(e^{i\theta })=f(re^{i\theta })\end{cases}}}$

куда

${\displaystyle S^{1}:=\{e^{i\theta }:\theta \in [0,2\pi ]\}=\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\},}$

- единичный круг. Тогда можно было бы ожидать, что значения расширения ${\displaystyle f}$ на круг должен быть предел этих функций, и поэтому вопрос сводится к определению, когда ${\displaystyle f_{r}}$ сходится, и в каком смысле, как ${\displaystyle r\to 1}$, и насколько хорошо определен этот предел. В частности, если ${\displaystyle L^{p}}$ нормы из этих ${\displaystyle f_{r}}$ ведете себя хорошо, у нас есть ответ:

Теорема. Позволять ${\displaystyle f:\mathbb {D} \to \mathbb {C} }$ - голоморфная функция такая, что

${\displaystyle \sup _{0<r<1}\|f_{r}\|_{L^{p}(S^{1})}<\infty ,}$

куда ${\displaystyle f_{r}}$ определены, как указано выше. потом ${\displaystyle f_{r}}$ сходится к некоторой функции ${\displaystyle f_{1}\in L^{p}(S^{1})}$ точечно почти всюду И в ${\displaystyle L^{p}}$ норма. То есть,

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|f_{r}(e^{i\theta })-f_{1}(e^{i\theta })\right|&\to 0&&{\text{for almost every }}\theta \in [0,2\pi ]\\\left\|f_{r}-f_{1}\right\|_{L^{p}(S^{1})}&\to 0\end{aligned}}}$

Теперь обратите внимание, что этот поточечный предел является радиальным. То есть берется предел по прямой от центра диска до границы круга, и, следовательно, в приведенном выше утверждении говорится, что

${\displaystyle f(re^{i\theta })\to f_{1}(e^{i\theta })\qquad {\text{for almost every }}\theta .}$

Возникает естественный вопрос: после определения этой граничной функции, сойдемся ли мы поточечно к этой функции, взяв предел каким-либо другим способом? То есть, предположим, что вместо того, чтобы следовать по прямой к границе, мы следуем произвольной кривой ${\displaystyle \gamma :[0,1)\to \mathbb {D} }$ сходится к какой-то точке ${\displaystyle e^{i\theta }}$ на границе. Будем ${\displaystyle f}$ сходиться к ${\displaystyle f_{1}(e^{i\theta })}$? (Обратите внимание, что приведенная выше теорема является частным случаем ${\displaystyle \gamma (t)=te^{i\theta }}$). Оказывается, кривая ${\displaystyle \gamma }$ должно быть не касательный, что означает, что кривая не приближается к своей цели на границе так, чтобы она касалась границы круга. Другими словами, диапазон ${\displaystyle \gamma }$ должен содержаться в клине, исходящем из предельной точки. Резюмируем следующим образом:

Определение. Позволять ${\displaystyle \gamma :[0,1)\to \mathbb {D} }$ - непрерывный путь такой, что ${\displaystyle \lim \nolimits _{t\to 1}\gamma (t)=e^{i\theta }\in S^{1}}$. Определять

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{\alpha }&=\{z:\arg z\in [\pi -\alpha ,\pi +\alpha ]\}\\\Gamma _{\alpha }(\theta )&=\mathbb {D} \cap e^{i\theta }(\Gamma _{\alpha }+1)\end{aligned}}}$

То есть, ${\displaystyle \Gamma _{\alpha }(\theta )}$ клин внутри диска с углом ${\displaystyle 2\alpha }$ чья ось проходит между ${\displaystyle e^{i\theta }}$ и ноль. Мы говорим что ${\displaystyle \gamma }$ сходится не касательно к ${\displaystyle e^{i\theta }}$, или что это не касательный предел, если существует ${\displaystyle 0<\alpha <{\tfrac {\pi }{2}}}$ такой, что ${\displaystyle \gamma }$ содержится в ${\displaystyle \Gamma _{\alpha }}$ и ${\displaystyle \lim \nolimits _{t\to 1}\gamma (t)=e^{i\theta }}$.

Теорема Фату. Позволять ${\displaystyle f\in H^{p}(\mathbb {D} ).}$ Тогда почти для всех ${\displaystyle \theta \in [0,2\pi ],}$

${\displaystyle \lim _{t\to 1}f(\gamma (t))=f_{1}(e^{i\theta })}$

для любого не касательного предела ${\displaystyle \gamma }$ сходится к ${\displaystyle e^{i\theta },}$ куда ${\displaystyle f_{1}}$ определяется, как указано выше.

Обсуждение

• Доказательство использует симметрию Ядро Пуассона с использованием Максимальная функция Харди – Литтлвуда для круга.
• Аналогичная теорема часто определяется для пространства Харди над верхней полуплоскостью и доказывается почти так же.

Смотрите также

• Харди космос

Рекомендации

• Джон Б. Гарнетт, Ограниченные аналитические функции, (2006) Springer-Verlag, Нью-Йорк
• Вальтер Рудин. Реальный и комплексный анализ (1987), 3-е изд., McGraw Hill, New York.
• Элиас Штайн, Сингулярные интегралы и свойства дифференцируемости функций (1970), Princeton University Press, Принстон.