Роковая лемма - Fatous lemma - Wikipedia

Не путать с Теорема Фату.

В математика, Лемма Фату устанавливает неравенство относящийся к Интеграл Лебега из ограничивать низший из последовательность из функции к пределу ниже интегралов этих функций. В лемма назван в честь Пьер Фату.

Лемму Фату можно использовать для доказательства Теорема Фату – Лебега и Лебега теорема о доминируемой сходимости.

Стандартная формулировка леммы Фату

В дальнейшем ${\displaystyle \operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}}}$ обозначает ${\displaystyle \sigma }$-алгебра Наборы Бореля на ${\displaystyle [0,+\infty ]}$.

Лемма Фату. Учитывая измерить пространство ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mu )}$ и набор ${\displaystyle X\in {\mathcal {F}},}$ позволять ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ быть последовательностью ${\displaystyle ({\mathcal {F}},\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$-измеримые неотрицательные функции ${\displaystyle f_{n}:X\to [0,+\infty ]}$. Определите функцию ${\displaystyle f:X\to [0,+\infty ]}$ установив ${\displaystyle f(x)=\liminf _{n\to \infty }f_{n}(x),}$ для каждого ${\displaystyle x\in X}$.

потом ${\displaystyle f}$ является ${\displaystyle ({\mathcal {F}},\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$-измеримые, а также ${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{X}f_{n}\,d\mu }$ .

Замечание 1. Интегралы могут быть конечными или бесконечными.

Замечание 2. Лемма Фату остается верной, если выполнены ее предположения. ${\displaystyle \mu }$-почти всюду. Другими словами, достаточно наличия нулевой набор ${\displaystyle N}$ такая, что последовательность ${\displaystyle \{f_{n}(x)\}}$ без снижения за каждый ${\displaystyle {x\in X\setminus N}.}$ Чтобы понять, почему это так, мы начнем с наблюдения, которое допускает последовательность ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ к поточечному неубыванию почти всюду приводит к поточечному ${\displaystyle f}$ быть неопределенным на некотором нулевом наборе ${\displaystyle N}$. На этом нулевом наборе ${\displaystyle f}$ затем можно определить произвольно, например как ноль или любым другим способом, сохраняющим измеримость. Чтобы понять, почему это не повлияет на результат, обратите внимание, что, поскольку ${\displaystyle {\mu (N)=0},}$ у нас на каждый ${\displaystyle k,}$

${\displaystyle \int _{X}f_{k}\,d\mu =\int _{X\setminus N}f_{k}\,d\mu }$ и ${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu =\int _{X\setminus N}f\,d\mu ,}$

при условии, что ${\displaystyle f}$ является ${\displaystyle ({\mathcal {F}},\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$-измеримый. (Эти равенства непосредственно следуют из определения интеграла Лебега для неотрицательной функции).

Для использования в доказательстве определим последовательность функций как ${\displaystyle \textstyle g_{n}(x):=\inf _{k\geq n}f_{k}(x)}$ .

Замечание 3. Для каждого ${\displaystyle x\in X}$,

1. Неотрицательная последовательность ${\displaystyle \{g_{n}(x)\}_{n}}$ не убывает, т.е.${\displaystyle g_{n}(x)\leq g_{n+1}(x)}$, для каждого ${\displaystyle n\geq 1}$;
2. По определению ограничивать низший, ${\displaystyle f(x)=\liminf _{n\to \infty }f_{n}(x):=\lim _{n\to \infty }\inf _{k\geq n}f_{k}(x)=\lim _{n\to \infty }g_{n}(x)}$

Замечание 4. В приведенном ниже доказательстве не используются никакие свойства интеграла Лебега, кроме установленных здесь.

Замечание 5 (монотонность интеграла Лебега). В следующем доказательстве мы применяем монотонное свойство интеграла Лебега только к неотрицательным функциям. В частности (см. Замечание 4), пусть функции ${\displaystyle f,g:X\to [0,+\infty ]}$ быть ${\displaystyle ({\mathcal {F}},\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$-измеримый.

• Если ${\displaystyle f\leq g}$ везде на ${\displaystyle X,}$ тогда

${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu \leq \int _{X}g\,d\mu .}$

• Если ${\displaystyle X_{1},X_{2}\in {\mathcal {F}}}$ и ${\displaystyle X_{1}\subseteq X_{2},}$ тогда

${\displaystyle \int _{X_{1}}f\,d\mu \leq \int _{X_{2}}f\,d\mu .}$

Доказательство. Обозначить ${\displaystyle \operatorname {SF} (h)}$ набор простых ${\displaystyle ({\mathcal {F}},\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$-измеримые функции ${\displaystyle s:X\to [0,\infty )}$ такой, что${\displaystyle 0\leq s\leq h}$ везде на ${\displaystyle X.}$

1. С ${\displaystyle f\leq g,}$ у нас есть

${\displaystyle \operatorname {SF} (f)\subseteq \operatorname {SF} (g).}$

По определению интеграла Лебега и свойствам супремума

${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu =\sup _{s\in {\rm {SF}}(f)}\int _{X}s\,d\mu \leq \sup _{s\in {\rm {SF}}(g)}\int _{X}s\,d\mu =\int _{X}g\,d\mu .}$

2. Позволять ${\displaystyle {\mathbf {1} }_{X_{1}}}$ быть индикаторной функцией множества ${\displaystyle X_{1}.}$ Из определения интеграла Лебега можно вывести, что

${\displaystyle \int _{X_{2}}f\cdot {\mathbf {1} }_{X_{1}}\,d\mu =\int _{X_{1}}f\,d\mu }$

если мы это заметим, для каждого ${\displaystyle s\in {\rm {SF}}(f\cdot {\mathbf {1} }_{X_{1}}),}$ ${\displaystyle s=0}$ вне ${\displaystyle X_{1}.}$ В сочетании с предыдущим свойством неравенство ${\displaystyle f\cdot {\mathbf {1} }_{X_{1}}\leq f}$ подразумевает

${\displaystyle \int _{X_{1}}f\,d\mu =\int _{X_{2}}f\cdot {\mathbf {1} }_{X_{1}}\,d\mu \leq \int _{X_{2}}f\,d\mu .}$

Доказательство

Это доказательство нет полагаться на теорема о монотонной сходимости. Однако мы объясняем, как можно применить эту теорему.

Для тех, кто не заинтересован в независимом доказательстве, промежуточные результаты, приведенные ниже, можно пропустить.

Промежуточные результаты

Интеграл Лебега как мера

Лемма 1. Позволять ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mu )}$ быть измеримым пространством. Рассмотрим простой ${\displaystyle ({\mathcal {F}},\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$-измеримая неотрицательная функция ${\displaystyle s:\Omega \to {\mathbb {R} _{\geq 0}}}$. Для подмножества ${\displaystyle S\subseteq \Omega }$, определять

${\displaystyle \nu (S)=\int _{S}s\,d\mu }$.

потом ${\displaystyle \nu }$ это мера на ${\displaystyle \Omega }$.

Доказательство

Мы докажем только счетную аддитивность, оставив все остальное на усмотрение читателя. Позволять${\displaystyle S=\cup _{i=1}^{\infty }S_{i}}$, где все множества ${\displaystyle S_{i}}$ попарно не пересекаются. Благодаря простоте,

${\displaystyle s=\sum _{i=1}^{n}c_{i}\cdot {\mathbf {1} }_{A_{i}}}$,

для некоторых конечных неотрицательных констант ${\displaystyle c_{i}\in {\mathbb {R} }_{\geq 0}}$ и попарно непересекающиеся множества ${\displaystyle A_{i}\in {\mathcal {F}}}$ такой, что ${\displaystyle \cup _{i=1}^{n}A_{i}=\Omega }$. По определению интеграла Лебега

${\displaystyle {\begin{aligned}\nu (S)&=\\&=\sum _{i=1}^{n}c_{i}\cdot \mu (S\cap A_{i})\\&=\sum _{i=1}^{n}c_{i}\cdot \mu {\bigl (}(\cup _{j=1}^{\infty }S_{j})\cap A_{i}{\bigr )}\\&=\sum _{i=1}^{n}c_{i}\cdot \mu {\bigl (}\cup _{j=1}^{\infty }(S_{j}\cap A_{i}){\bigr )}\end{aligned}}}$

Поскольку все наборы ${\displaystyle S_{j}\cap A_{i}}$ попарно не пересекаются, счетная аддитивность ${\displaystyle \mu }$дает нам

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c_{i}\cdot \mu {\bigl (}\cup _{j=1}^{\infty }(S_{j}\cap A_{i}){\bigr )}=\sum _{i=1}^{n}c_{i}\cdot \sum _{j=1}^{\infty }\mu (S_{j}\cap A_{i}).}$

Поскольку все слагаемые неотрицательны, сумма ряда, независимо от того, является ли эта сумма конечной или бесконечной, не может измениться при изменении порядка суммирования, поскольку ряд либо абсолютно сходится, либо расходится к ${\displaystyle +\infty .}$ По этой причине,

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}c_{i}\cdot \sum _{j=1}^{\infty }\mu (S_{j}\cap A_{i})&=\sum _{j=1}^{\infty }\sum _{i=1}^{n}c_{i}\cdot \mu (S_{j}\cap A_{i})\\&=\sum _{j=1}^{\infty }\int _{S_{j}}s\,d\mu \\&=\sum _{j=1}^{\infty }\nu (S_{j}),\end{aligned}}}$

как требуется.

«Преемственность снизу»

Следующее свойство является прямым следствием определения меры.

Лемма 2. Позволять ${\displaystyle \mu }$ быть мерой, и ${\displaystyle S=\cup _{i=1}^{\infty }S_{i}}$, куда

${\displaystyle S_{1}\subseteq \ldots \subseteq S_{i}\subseteq S_{i+1}\subseteq \ldots \subseteq S}$

- неубывающая цепь со всеми ее множествами ${\displaystyle \mu }$-измеримый. потом

${\displaystyle \mu (S)=\lim _{i}\mu (S_{i})}$.

Доказательство теоремы

Шаг 1. ${\displaystyle g_{n}=g_{n}(x)}$ является ${\displaystyle ({\mathcal {F}},\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$-измеримый, для каждого ${\displaystyle n\geq 1}$.

Действительно, поскольку Борель ${\displaystyle \sigma }$-алгебра на ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$ порождается отрезками ${\displaystyle \{[t,+\infty ]\}_{-\infty \leq t\leq +\infty }}$, достаточно показать, что, ${\displaystyle g_{n}^{-1}([t,+\infty ])\in {\mathcal {F}}}$, для каждого ${\displaystyle t\in [-\infty ,+\infty ]}$, куда ${\displaystyle g_{n}^{-1}([t,+\infty ])}$ обозначает прообраз ${\displaystyle [t,+\infty ]}$ под ${\displaystyle g_{n}}$.

Заметьте, что

${\displaystyle g_{n}(x)\geq t\quad \Leftrightarrow \quad {\Bigl (}\forall k\geq n\quad f_{k}(x)\geq t{\Bigr )}}$,

или эквивалентно,

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{n}^{-1}([t,+\infty ])&=\left\{x\in X\mid g_{n}(x)\geq t\right\}\\[3pt]&=\bigcap _{k}\left\{x\in X\mid f_{k}(x)\geq t\right\}\\[3pt]&=\bigcap _{k}f_{k}^{-1}([t,+\infty ])\end{aligned}}}$

Обратите внимание, что каждый набор справа взят из ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$. Поскольку по определению ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ замкнуто относительно счетных пересечений, заключаем, что левая часть также входит в ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$. В ${\displaystyle ({\mathcal {F}},\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$-измеримость ${\displaystyle g_{n}}$ следует.

Шаг 2. Теперь мы хотим показать, что функция ${\displaystyle f}$ является${\displaystyle ({\mathcal {F}},\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$-измеримый.

Если бы мы использовали теорему о монотонной сходимости, измеримость ${\displaystyle f}$ легко следует из замечания 3.

В качестве альтернативы, используя технику шага 1, достаточно проверить, что ${\displaystyle f^{-1}([0,t])\in {\mathcal {F}}}$, для каждого ${\displaystyle t\in [-\infty ,+\infty ]}$. Поскольку последовательность ${\displaystyle \{g_{n}(x)\}}$ поточечное неубывающее (см. замечание 3), рассуждая, как указано выше, получаем

${\displaystyle 0\leq f(x)\leq t\quad \Leftrightarrow \quad {\Bigl (}\forall n\quad 0\leq g_{n}(x)\leq t{\Bigr )}}$.

Из-за измеримости ${\displaystyle g_{n}}$, из указанной эквивалентности следует, что

${\displaystyle f^{-1}([0,t])=\bigcap _{n}g_{n}^{-1}([0,t])\in {\mathcal {F}}}$.

Конец шага 2.

Доказательство можно провести двумя способами.

Доказательство с помощью теоремы о монотонной сходимости. По определению, ${\displaystyle \textstyle g_{n}(x)=\inf _{k\geq n}f_{k}(x)}$, так что у нас есть ${\displaystyle g_{n}\leq f_{n}}$, ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} }$, и, кроме того, последовательность ${\displaystyle \{g_{n}(x)\}_{n}}$не убывает ${\displaystyle \forall x\in X}$. Напомним, что ${\displaystyle f(x)=\liminf _{n\to \infty }f_{n}(x)=\lim _{n\to \infty }\inf _{k\geq n}f_{k}(x)}$, и поэтому:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{X}f\,d\mu &=\int _{X}\lim _{n}g_{n}\,d\mu \\&=\lim _{n}\int _{X}g_{n}\,d\mu \\&=\liminf _{n}\int _{X}g_{n}\,d\mu \\&\leq \liminf _{n}\int _{X}f_{n}\,d\mu ,\end{aligned}}}$

как требуется.

Независимое доказательство. Чтобы доказать неравенство без используя теорему о монотонной сходимости, нам понадобится дополнительный механизм. Обозначить ${\displaystyle \operatorname {SF} (f)}$ набор простых ${\displaystyle ({\mathcal {F}},\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$-измеримые функции ${\displaystyle s:X\to [0,\infty )}$ такой, что${\displaystyle 0\leq s\leq f}$ на ${\displaystyle X}$.

Шаг 3. Учитывая простую функцию ${\displaystyle s\in \operatorname {SF} (f)}$ и реальное число ${\displaystyle t\in (0,1)}$, определять

${\displaystyle B_{k}^{s,t}=\{x\in X\mid t\cdot s(x)\leq g_{k}(x)\}\subseteq X.}$

потом ${\displaystyle B_{k}^{s,t}\in {\mathcal {F}}}$, ${\displaystyle B_{k}^{s,t}\subseteq B_{k+1}^{s,t}}$, и ${\displaystyle \textstyle X=\bigcup _{k}B_{k}^{s,t}}$.

Шаг 3а. Чтобы доказать первое утверждение, пусть

${\displaystyle s=\sum _{i=1}^{m}c_{i}\cdot \mathbf {1} _{A_{i}},}$

для некоторого конечного набора попарно непересекающихся измеримых множеств ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{m}\in {\mathcal {F}}}$ такой, что ${\displaystyle \textstyle X=\cup _{i=1}^{m}A_{i}}$, некоторые (конечные) действительные значения ${\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{m}}$, и ${\displaystyle \mathbf {1} _{A_{i}}}$ обозначающие индикаторную функцию набора ${\displaystyle A_{i}}$. потом

${\displaystyle B_{k}^{s,t}=\bigcup _{i=1}^{m}{\Bigl (}g_{k}^{-1}{\Bigl (}[t\cdot c_{i},+\infty ]{\Bigr )}\cap A_{i}{\Bigr )}}$.

Поскольку прообраз ${\displaystyle g_{k}^{-1}{\Bigl (}[t\cdot c_{i},+\infty ]{\Bigr )}}$ множества Бореля ${\displaystyle [t\cdot c_{i},+\infty ]}$ под измеримой функцией ${\displaystyle g_{k}}$ измеримо, и ${\displaystyle \sigma }$-алгебры, по определению, замкнуты относительно конечных пересечений и объединений, следует первое утверждение.

Шаг 3б. Чтобы доказать второе утверждение, отметим, что для каждого ${\displaystyle k}$ и каждый ${\displaystyle x\in X}$, ${\displaystyle g_{k}(x)\leq g_{k+1}(x).}$

Шаг 3c. Для доказательства третьего утверждения покажем, что ${\displaystyle \textstyle X\subseteq \bigcup _{k}B_{k}^{s,t}}$.

Действительно, если, наоборот, ${\displaystyle \textstyle X\not \subseteq \bigcup _{k}B_{k}^{s,t}}$, то элемент

${\displaystyle x_{0}\in X\setminus \bigcup _{k}B_{k}^{s,t}=\bigcap _{k}(X\setminus B_{k}^{s,t})}$

существует такое, что ${\displaystyle g_{k}(x_{0})<t\cdot s(x_{0})}$, для каждого ${\displaystyle k}$. Принимая предел как ${\displaystyle k\to \infty }$, получать

${\displaystyle f(x_{0})\leq t\cdot s(x_{0})<s(x_{0}).}$

Но по первоначальному предположению ${\displaystyle s\leq f}$. Получили противоречие.

Шаг 4. Для каждого простого ${\displaystyle ({\mathcal {F}},\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$-измеримая неотрицательная функция ${\displaystyle s_{2}}$,

${\displaystyle \lim _{n}\int _{B_{n}^{s,t}}s_{2}\,d\mu =\int _{X}s_{2}\,d\mu .}$

Чтобы доказать это, определим ${\displaystyle \textstyle \nu (S)=\int _{S}s_{2}\,d\mu }$. По лемме 1 ${\displaystyle \nu (S)}$ это мера на ${\displaystyle \Omega }$. По «непрерывности снизу» (лемма 2)

${\displaystyle \lim _{n}\int _{B_{n}^{s,t}}s_{2}\,d\mu =\lim _{n}\nu (B_{n}^{s,t})=\nu (X)=\int _{X}s_{2}\,d\mu }$,

как требуется.

Шаг 5. Теперь докажем, что для каждого ${\displaystyle s\in \operatorname {SF} (f)}$,

${\displaystyle \int _{X}s\,d\mu \leq \lim _{k}\int _{X}g_{k}\,d\mu }$.

Действительно, используя определение ${\displaystyle B_{k}^{s,t}}$, неотрицательность ${\displaystyle g_{k}}$, и монотонность интеграла Лебега, имеем

${\displaystyle \forall k\geq 1\qquad \int _{B_{k}^{s,t}}t\cdot s\,d\mu \leq \int _{B_{k}^{s,t}}g_{k}\,d\mu \leq \int _{X}g_{k}\,d\mu }$.

В соответствии с шагом 4, поскольку ${\displaystyle k\to \infty }$ неравенство становится

${\displaystyle t\int _{X}s\,d\mu \leq \lim _{k}\int _{X}g_{k}\,d\mu }$.

Принимая предел как ${\displaystyle t\uparrow 1}$ дает

${\displaystyle \int _{X}s\,d\mu \leq \lim _{k}\int _{X}g_{k}\,d\mu }$,

как требуется.

Шаг 6. Для завершения доказательства применим определение интеграла Лебега к неравенству, установленному на шаге 5, и учтем, что ${\displaystyle g_{n}\leq f_{n}}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{X}f\,d\mu &=\sup _{s\in \operatorname {SF} (f)}\int _{X}s\,d\mu \\&\leq \lim _{k}\int _{X}g_{k}\,d\mu \\&=\liminf _{k}\int _{X}g_{k}\,d\mu \\&\leq \liminf _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu \end{aligned}}}$

Доказательство окончено.

Примеры строгого неравенства

Обустраиваем пространство ${\displaystyle S}$ с Борелевская σ-алгебра и Мера Лебега.

• Пример для вероятностное пространство: Позволять ${\displaystyle S=[0,1]}$ обозначить единичный интервал. Для каждого натуральное число ${\displaystyle n}$ определять

${\displaystyle f_{n}(x)={\begin{cases}n&{\text{for }}x\in (0,1/n),\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

• Пример с равномерное схождение: Позволять ${\displaystyle S}$ обозначим множество всех действительные числа. Определять

${\displaystyle f_{n}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{n}}&{\text{for }}x\in [0,n],\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

Эти последовательности ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ сходиться на ${\displaystyle S}$ поточечно (соответственно равномерно) к нулевая функция (с нулевым интегралом), но каждый ${\displaystyle f_{n}}$ имеет цельный.

Роль неотрицательности

Подходящее предположение относительно отрицательных частей последовательности ж₁, ж₂,. . . функций необходимо для леммы Фату, как показывает следующий пример. Позволять S обозначим полупрямую [0, ∞) с борелевской σ-алгеброй и мерой Лебега. Для каждого натурального числа п определять

${\displaystyle f_{n}(x)={\begin{cases}-{\frac {1}{n}}&{\text{for }}x\in [n,2n],\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

Эта последовательность сходится равномерно на S нулевой функции (с нулевым интегралом) и для любого Икс ≥ 0 имеем даже ж_п(Икс) = 0 для всех п > Икс (так что за каждую точку Икс предел 0 достигается за конечное число шагов). Однако каждая функция ж_п имеет интеграл −1, следовательно, неравенство в лемме Фату неверно. Как показано ниже, проблема состоит в том, что не существует равномерной интегрируемой оценки последовательности снизу, а 0 - равномерная оценка сверху.

Обратная лемма Фату

Позволять ж₁, ж₂,. . . быть последовательностью расширенный реальный -значные измеримые функции, определенные на пространстве с мерой (S,Σ,μ). Если существует неотрицательная интегрируемая функция грамм на S такой, что ж_п ≤ грамм для всех п, тогда

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu \leq \int _{S}\limsup _{n\to \infty }f_{n}\,d\mu .}$

Примечание: Здесь g интегрируемый Значит это грамм измеримо и что ${\displaystyle \textstyle \int _{S}g\,d\mu <\infty }$.

Эскиз доказательства

Применим линейность интеграла Лебега и леммы Фату к последовательности ${\displaystyle g-f_{n}.}$ С ${\displaystyle \textstyle \int _{S}g\,d\mu <+\infty ,}$ эта последовательность определена ${\displaystyle \mu }$-почти везде и неотрицательно.

Расширения и вариации леммы Фату

Интегрируемая нижняя граница

Позволять ж₁, ж₂,. . . - последовательность расширенных действительных измеримых функций, определенных на пространстве с мерой (S,Σ,μ). Если существует интегрируемая функция грамм на S такой, что ж_п ≥ −грамм для всех п, тогда

${\displaystyle \int _{S}\liminf _{n\to \infty }f_{n}\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu .}$

Доказательство

Примените лемму Фату к неотрицательной последовательности, заданной формулой ж_п + грамм.

Поточечная сходимость

Если в предыдущей настройке последовательность ж₁, ж₂, . . . сходится поточечно к функции ж μ-почти всюду на S, тогда

${\displaystyle \int _{S}f\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu \,.}$

Доказательство

Обратите внимание, что ж должен согласиться с пределом подчиненности функций ж_п почти всюду, и что значения подынтегрального выражения на множестве нулевой меры не влияют на значение интеграла.

Сходимость по мере

Последнее утверждение также верно, если последовательность ж₁, ж₂, . . . сходится по мере к функции ж.

Доказательство

Существует подпоследовательность такая, что

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\int _{S}f_{n_{k}}\,d\mu =\liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu .}$

Поскольку эта подпоследовательность также по мере сходится к ж, существует еще одна подпоследовательность, поточечно сходящаяся к ж почти всюду, поэтому к этой подпоследовательности применима предыдущая вариация леммы Фату.

Лемма Фату с различными мерами.

Во всех приведенных выше утверждениях леммы Фату интегрирование проводилось по одной фиксированной мере μ. Предположим, что μ_п - последовательность мер на измеримом пространстве (S,Σ) такой, что (см. Конвергенция мер )

${\displaystyle \mu _{n}(E)\to \mu (E),~\forall E\in {\mathcal {F}}.}$

Затем с ж_п неотрицательные интегрируемые функции и ж поскольку их поточечный предел уступает, мы имеем

${\displaystyle \int _{S}f\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu _{n}.}$

Доказательство

Мы докажем здесь кое-что посильнее. А именно позволим жп сходиться μ-почти всюду на подмножестве E в S. Мы стремимся показать, что ${\displaystyle \int _{E}f\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{E}f_{n}\,d\mu _{n}\,.}$ Позволять ${\displaystyle K=\{x\in E|f_{n}(x)\rightarrow f(x)\}}$. потом μ (E-K) = 0 и ${\displaystyle \int _{E}f\,d\mu =\int _{E-K}f\,d\mu ,~~~\int _{E}f_{n}\,d\mu =\int _{E-K}f_{n}\,d\mu ~\forall n\in \mathbb {N} .}$ Таким образом, заменив E к E-K мы можем предположить, что жп сходиться к ж точечно на E. Далее заметим, что для любой простой функции φ у нас есть ${\displaystyle \int _{E}\phi \,d\mu =\lim _{n\to \infty }\int _{E}\phi \,d\mu _{n}.}$ Следовательно, по определению интеграла Лебега достаточно показать, что если φ любая неотрицательная простая функция, меньшая или равная е, тогда ${\displaystyle \int _{E}\phi \,d\mu \leq \liminf _{n\rightarrow \infty }\int _{E}f_{n}\,d\mu _{n}}$ Позволять а быть минимальным неотрицательным значением φ. Определять ${\displaystyle A=\{x\in E|\phi (x)>a\}}$ Рассмотрим сначала случай, когда ${\displaystyle \int _{E}\phi \,d\mu =\infty }$. Мы должны это иметь μ (А) бесконечно, поскольку ${\displaystyle \int _{E}\phi \,d\mu \leq M\mu (A),}$ куда M - (обязательно конечное) максимальное значение этого φ достигает. Далее мы определяем ${\displaystyle A_{n}=\{x\in E|f_{k}(x)>a~\forall k\geq n\}.}$ У нас есть это ${\displaystyle A\subseteq \bigcup _{n}A_{n}\Rightarrow \mu (\bigcup _{n}A_{n})=\infty .}$ Но Ап является вложенной возрастающей последовательностью функций и, следовательно, по непрерывности снизу μ, ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\mu (A_{n})=\infty .}$. Таким образом, ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu _{n}(A_{n})=\mu (A_{n})=\infty .}$. В то же время, ${\displaystyle \int _{E}f_{n}\,d\mu _{n}\geq a\mu _{n}(A_{n})\Rightarrow \liminf _{n\to \infty }\int _{E}f_{n}\,d\mu _{n}=\infty =\int _{E}\phi \,d\mu ,}$ доказывая иск в этом случае. Остающийся случай - когда ${\displaystyle \int _{E}\phi \,d\mu <\infty }$. Мы должны это иметь μ (А) конечно. Обозначим, как и выше, через M максимальное значение φ и исправить ε> 0. Определять ${\displaystyle A_{n}=\{x\in E|f_{k}(x)>(1-\epsilon )\phi (x)~\forall k\geq n\}.}$ потом Ап - вложенная возрастающая последовательность множеств, объединение которых содержит А. Таким образом, А-Ап - убывающая последовательность множеств с пустым пересечением. С А имеет конечную меру (поэтому нам нужно было рассмотреть два отдельных случая), ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\mu (A-A_{n})=0.}$ Таким образом, существует n такое, что ${\displaystyle \mu (A-A_{k})<\epsilon ,~\forall k\geq n.}$ Следовательно, поскольку ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu _{n}(A-A_{k})=\mu (A-A_{k}),}$ существует такое N, что ${\displaystyle \mu _{k}(A-A_{k})<\epsilon ,~\forall k\geq N.}$ Следовательно, для ${\displaystyle k\geq N}$ ${\displaystyle \int _{E}f_{k}\,d\mu _{k}\geq \int _{A_{k}}f_{k}\,d\mu _{k}\geq (1-\epsilon )\int _{A_{k}}\phi \,d\mu _{k}.}$ В то же время, ${\displaystyle \int _{E}\phi \,d\mu _{k}=\int _{A}\phi \,d\mu _{k}=\int _{A_{k}}\phi \,d\mu _{k}+\int _{A-A_{k}}\phi \,d\mu _{k}.}$ Следовательно, ${\displaystyle (1-\epsilon )\int _{A_{k}}\phi \,d\mu _{k}\geq (1-\epsilon )\int _{E}\phi \,d\mu _{k}-\int _{A-A_{k}}\phi \,d\mu _{k}.}$ Комбинирование этих неравенств дает ${\displaystyle \int _{E}f_{k}\,d\mu _{k}\geq (1-\epsilon )\int _{E}\phi \,d\mu _{k}-\int _{A-A_{k}}\phi \,d\mu _{k}\geq \int _{E}\phi \,d\mu _{k}-\epsilon \left(\int _{E}\phi \,d\mu _{k}+M\right).}$ Следовательно, отправляя ε до 0 и взяв liminf в n, мы получаем, что ${\displaystyle \liminf _{n\rightarrow \infty }\int _{E}f_{n}\,d\mu _{k}\geq \int _{E}\phi \,d\mu ,}$ завершая доказательство.

Лемма Фату для условных ожиданий

В теория вероятности, заменой обозначений приведенные выше варианты леммы Фату применимы к последовательностям случайные переменные Икс₁, Икс₂,. . . определено на вероятностное пространство ${\displaystyle \scriptstyle (\Omega ,\,{\mathcal {F}},\,\mathbb {P} )}$; интегралы превращаются в ожидания. Кроме того, есть версия для условные ожидания.

Стандартная версия

Позволять Икс₁, Икс₂,. . . - последовательность неотрицательных случайных величин на вероятностном пространстве ${\displaystyle \scriptstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ и разреши${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {G}}\,\subset \,{\mathcal {F}}}$ быть суб-σ-алгебра. потом

${\displaystyle \mathbb {E} {\Bigl [}\liminf _{n\to \infty }X_{n}\,{\Big |}\,{\mathcal {G}}{\Bigr ]}\leq \liminf _{n\to \infty }\,\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}]}$   почти наверняка.

Примечание: Условное ожидание для неотрицательных случайных величин всегда хорошо определено, конечное ожидание не требуется.

Доказательство

Помимо изменения обозначений, доказательство очень похоже на доказательство стандартной версии леммы Фату выше, однако теорема о монотонной сходимости для условных ожиданий должен применяться.

Позволять Икс обозначают нижний предел Икс_п. Для каждого натурального числа k поточечно определить случайную величину

${\displaystyle Y_{k}=\inf _{n\geq k}X_{n}.}$

Тогда последовательность Y₁, Y₂,. . . возрастает и поточечно сходится к Икс.За k ≤ п, у нас есть Y_k ≤ Икс_п, так что

${\displaystyle \mathbb {E} [Y_{k}|{\mathcal {G}}]\leq \mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}]}$ почти наверняка

посредством монотонность условного ожидания, следовательно

${\displaystyle \mathbb {E} [Y_{k}|{\mathcal {G}}]\leq \inf _{n\geq k}\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}]}$ почти наверняка,

потому что счетное объединение исключительных множеств с нулевой вероятностью снова является нулевой набор. Используя определение Икс, его представление как поточечный предел Y_k, теорема о монотонной сходимости условных ожиданий, последнее неравенство и определение нижнего предела, то почти наверняка

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {E} {\Bigl [}\liminf _{n\to \infty }X_{n}\,{\Big |}\,{\mathcal {G}}{\Bigr ]}&=\mathbb {E} [X|{\mathcal {G}}]=\mathbb {E} {\Bigl [}\lim _{k\to \infty }Y_{k}\,{\Big |}\,{\mathcal {G}}{\Bigr ]}=\lim _{k\to \infty }\mathbb {E} [Y_{k}|{\mathcal {G}}]\\&\leq \lim _{k\to \infty }\inf _{n\geq k}\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}]=\liminf _{n\to \infty }\,\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}].\end{aligned}}}$

Распространение на равномерно интегрируемые отрицательные части

Позволять Икс₁, Икс₂,. . . - последовательность случайных величин на вероятностном пространстве ${\displaystyle \scriptstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ и разреши${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {G}}\,\subset \,{\mathcal {F}}}$ быть суб-σ-алгебра. Если отрицательные части

${\displaystyle X_{n}^{-}:=\max\{-X_{n},0\},\qquad n\in {\mathbb {N} },}$

равномерно интегрируемы относительно условного математического ожидания в том смысле, что при ε > 0 существует c > 0 такой, что

${\displaystyle \mathbb {E} {\bigl [}X_{n}^{-}1_{\{X_{n}^{-}>c\}}\,|\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}<\varepsilon ,\qquad {\text{for all }}n\in \mathbb {N} ,\,{\text{almost surely}}}$,

тогда

${\displaystyle \mathbb {E} {\Bigl [}\liminf _{n\to \infty }X_{n}\,{\Big |}\,{\mathcal {G}}{\Bigr ]}\leq \liminf _{n\to \infty }\,\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}]}$ почти наверняка.

Примечание: На съемочной площадке, где

${\displaystyle X:=\liminf _{n\to \infty }X_{n}}$

удовлетворяет

${\displaystyle \mathbb {E} [\max\{X,0\}\,|\,{\mathcal {G}}]=\infty ,}$

левая часть неравенства считается равной плюс бесконечности. Условное ожидание нижнего предела может быть плохо определено на этом наборе, потому что условное ожидание отрицательной части также может быть плюс бесконечность.

Доказательство

Позволять ε > 0. В силу равномерной интегрируемости относительно условного математического ожидания существует c > 0 такой, что

${\displaystyle \mathbb {E} {\bigl [}X_{n}^{-}1_{\{X_{n}^{-}>c\}}\,|\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}<\varepsilon \qquad {\text{for all }}n\in \mathbb {N} ,\,{\text{almost surely}}.}$

С

${\displaystyle X+c\leq \liminf _{n\to \infty }(X_{n}+c)^{+},}$

куда Икс⁺ : = max {Икс, 0} обозначает положительную часть действительного Икс, монотонность условного ожидания (или указанное выше соглашение) и стандартная версия леммы Фату для условных ожиданий влекут

${\displaystyle \mathbb {E} [X\,|\,{\mathcal {G}}]+c\leq \mathbb {E} {\Bigl [}\liminf _{n\to \infty }(X_{n}+c)^{+}\,{\Big |}\,{\mathcal {G}}{\Bigr ]}\leq \liminf _{n\to \infty }\mathbb {E} [(X_{n}+c)^{+}\,|\,{\mathcal {G}}]}$ почти наверняка.

С

${\displaystyle (X_{n}+c)^{+}=(X_{n}+c)+(X_{n}+c)^{-}\leq X_{n}+c+X_{n}^{-}1_{\{X_{n}^{-}>c\}},}$

у нас есть

${\displaystyle \mathbb {E} [(X_{n}+c)^{+}\,|\,{\mathcal {G}}]\leq \mathbb {E} [X_{n}\,|\,{\mathcal {G}}]+c+\varepsilon }$ почти наверняка,

следовательно

${\displaystyle \mathbb {E} [X\,|\,{\mathcal {G}}]\leq \liminf _{n\to \infty }\mathbb {E} [X_{n}\,|\,{\mathcal {G}}]+\varepsilon }$ почти наверняка.

Отсюда следует утверждение.

Рекомендации

• Карозерс, Н. Л. (2000). Реальный анализ. Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. стр.321 –22. ISBN  0-521-49756-6.
• Ройден, Х. Л. (1988). Реальный анализ (3-е изд.). Лондон: Кольер Макмиллан. ISBN  0-02-404151-3.
• Вейр, Алан Дж. (1973). «Теоремы сходимости». Интеграция и мера Лебега. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. С. 93–118. ISBN  0-521-08728-7.

внешняя ссылка

• "Лемма Фату". PlanetMath.