Роковая лемма - Fatous lemma - Wikipedia

В математика, Лемма Фату устанавливает неравенство относящийся к Интеграл Лебега из ограничивать низший из последовательность из функции к пределу ниже интегралов этих функций. В лемма назван в честь Пьер Фату.

Лемму Фату можно использовать для доказательства Теорема Фату – Лебега и Лебега теорема о доминируемой сходимости.

Стандартная формулировка леммы Фату

В дальнейшем обозначает -алгебра Наборы Бореля на .

Лемма Фату. Учитывая измерить пространство и набор позволять быть последовательностью -измеримые неотрицательные функции . Определите функцию установив для каждого .

потом является -измеримые, а также .

Замечание 1. Интегралы могут быть конечными или бесконечными.

Замечание 2. Лемма Фату остается верной, если выполнены ее предположения. -почти всюду. Другими словами, достаточно наличия нулевой набор такая, что последовательность без снижения за каждый Чтобы понять, почему это так, мы начнем с наблюдения, которое допускает последовательность к поточечному неубыванию почти всюду приводит к поточечному быть неопределенным на некотором нулевом наборе . На этом нулевом наборе затем можно определить произвольно, например как ноль или любым другим способом, сохраняющим измеримость. Чтобы понять, почему это не повлияет на результат, обратите внимание, что, поскольку у нас на каждый

и

при условии, что является -измеримый. (Эти равенства непосредственно следуют из определения интеграла Лебега для неотрицательной функции).

Для использования в доказательстве определим последовательность функций как .

Замечание 3. Для каждого ,

  1. Неотрицательная последовательность не убывает, т.е., для каждого ;
  2. По определению ограничивать низший,

Замечание 4. В приведенном ниже доказательстве не используются никакие свойства интеграла Лебега, кроме установленных здесь.

Замечание 5 (монотонность интеграла Лебега). В следующем доказательстве мы применяем монотонное свойство интеграла Лебега только к неотрицательным функциям. В частности (см. Замечание 4), пусть функции быть -измеримый.

  • Если везде на тогда
  • Если и тогда

Доказательство. Обозначить набор простых -измеримые функции такой, что везде на

1. С у нас есть

По определению интеграла Лебега и свойствам супремума

2. Позволять быть индикаторной функцией множества Из определения интеграла Лебега можно вывести, что

если мы это заметим, для каждого вне В сочетании с предыдущим свойством неравенство подразумевает

Доказательство

Это доказательство нет полагаться на теорема о монотонной сходимости. Однако мы объясняем, как можно применить эту теорему.

Для тех, кто не заинтересован в независимом доказательстве, промежуточные результаты, приведенные ниже, можно пропустить.

Промежуточные результаты

Интеграл Лебега как мера

Лемма 1. Позволять быть измеримым пространством. Рассмотрим простой -измеримая неотрицательная функция . Для подмножества , определять

.

потом это мера на .

Доказательство

Мы докажем только счетную аддитивность, оставив все остальное на усмотрение читателя. Позволять, где все множества попарно не пересекаются. Благодаря простоте,

,

для некоторых конечных неотрицательных констант и попарно непересекающиеся множества такой, что . По определению интеграла Лебега

Поскольку все наборы попарно не пересекаются, счетная аддитивность дает нам

Поскольку все слагаемые неотрицательны, сумма ряда, независимо от того, является ли эта сумма конечной или бесконечной, не может измениться при изменении порядка суммирования, поскольку ряд либо абсолютно сходится, либо расходится к По этой причине,

как требуется.

«Преемственность снизу»

Следующее свойство является прямым следствием определения меры.

Лемма 2. Позволять быть мерой, и , куда

- неубывающая цепь со всеми ее множествами -измеримый. потом

.

Доказательство теоремы

Шаг 1. является -измеримый, для каждого .

Действительно, поскольку Борель -алгебра на порождается отрезками , достаточно показать, что, , для каждого , куда обозначает прообраз под .

Заметьте, что

,

или эквивалентно,

Обратите внимание, что каждый набор справа взят из . Поскольку по определению замкнуто относительно счетных пересечений, заключаем, что левая часть также входит в . В -измеримость следует.

Шаг 2. Теперь мы хотим показать, что функция является-измеримый.

Если бы мы использовали теорему о монотонной сходимости, измеримость легко следует из замечания 3.

В качестве альтернативы, используя технику шага 1, достаточно проверить, что , для каждого . Поскольку последовательность поточечное неубывающее (см. замечание 3), рассуждая, как указано выше, получаем

.

Из-за измеримости , из указанной эквивалентности следует, что

.

Конец шага 2.

Доказательство можно провести двумя способами.

Доказательство с помощью теоремы о монотонной сходимости. По определению, , так что у нас есть , , и, кроме того, последовательность не убывает . Напомним, что , и поэтому:

как требуется.

Независимое доказательство. Чтобы доказать неравенство без используя теорему о монотонной сходимости, нам понадобится дополнительный механизм. Обозначить набор простых -измеримые функции такой, что на .

Шаг 3. Учитывая простую функцию и реальное число , определять

потом , , и .

Шаг 3а. Чтобы доказать первое утверждение, пусть

для некоторого конечного набора попарно непересекающихся измеримых множеств такой, что , некоторые (конечные) действительные значения , и обозначающие индикаторную функцию набора . потом

.

Поскольку прообраз множества Бореля под измеримой функцией измеримо, и -алгебры, по определению, замкнуты относительно конечных пересечений и объединений, следует первое утверждение.

Шаг 3б. Чтобы доказать второе утверждение, отметим, что для каждого и каждый ,

Шаг 3c. Для доказательства третьего утверждения покажем, что .

Действительно, если, наоборот, , то элемент

существует такое, что , для каждого . Принимая предел как , получать

Но по первоначальному предположению . Получили противоречие.

Шаг 4. Для каждого простого -измеримая неотрицательная функция ,

Чтобы доказать это, определим . По лемме 1 это мера на . По «непрерывности снизу» (лемма 2)

,

как требуется.

Шаг 5. Теперь докажем, что для каждого ,

.

Действительно, используя определение , неотрицательность , и монотонность интеграла Лебега, имеем

.

В соответствии с шагом 4, поскольку неравенство становится

.

Принимая предел как дает

,

как требуется.

Шаг 6. Для завершения доказательства применим определение интеграла Лебега к неравенству, установленному на шаге 5, и учтем, что :

Доказательство окончено.

Примеры строгого неравенства

Обустраиваем пространство с Борелевская σ-алгебра и Мера Лебега.

Эти последовательности сходиться на поточечно (соответственно равномерно) к нулевая функция (с нулевым интегралом), но каждый имеет цельный.

Роль неотрицательности

Подходящее предположение относительно отрицательных частей последовательности ж1, ж2,. . . функций необходимо для леммы Фату, как показывает следующий пример. Позволять S обозначим полупрямую [0, ∞) с борелевской σ-алгеброй и мерой Лебега. Для каждого натурального числа п определять

Эта последовательность сходится равномерно на S нулевой функции (с нулевым интегралом) и для любого Икс ≥ 0 имеем даже жп(Икс) = 0 для всех п > Икс (так что за каждую точку Икс предел 0 достигается за конечное число шагов). Однако каждая функция жп имеет интеграл −1, следовательно, неравенство в лемме Фату неверно. Как показано ниже, проблема состоит в том, что не существует равномерной интегрируемой оценки последовательности снизу, а 0 - равномерная оценка сверху.

Обратная лемма Фату

Позволять ж1, ж2,. . . быть последовательностью расширенный реальный -значные измеримые функции, определенные на пространстве с мерой (S,Σ,μ). Если существует неотрицательная интегрируемая функция грамм на S такой, что жп ≤ грамм для всех п, тогда

Примечание: Здесь g интегрируемый Значит это грамм измеримо и что .

Эскиз доказательства

Применим линейность интеграла Лебега и леммы Фату к последовательности С эта последовательность определена -почти везде и неотрицательно.

Расширения и вариации леммы Фату

Интегрируемая нижняя граница

Позволять ж1, ж2,. . . - последовательность расширенных действительных измеримых функций, определенных на пространстве с мерой (S,Σ,μ). Если существует интегрируемая функция грамм на S такой, что жп ≥ −грамм для всех п, тогда

Доказательство

Примените лемму Фату к неотрицательной последовательности, заданной формулой жп + грамм.

Поточечная сходимость

Если в предыдущей настройке последовательность ж1, ж2, . . . сходится поточечно к функции ж μ-почти всюду на S, тогда

Доказательство

Обратите внимание, что ж должен согласиться с пределом подчиненности функций жп почти всюду, и что значения подынтегрального выражения на множестве нулевой меры не влияют на значение интеграла.

Сходимость по мере

Последнее утверждение также верно, если последовательность ж1, ж2, . . . сходится по мере к функции ж.

Доказательство

Существует подпоследовательность такая, что

Поскольку эта подпоследовательность также по мере сходится к ж, существует еще одна подпоследовательность, поточечно сходящаяся к ж почти всюду, поэтому к этой подпоследовательности применима предыдущая вариация леммы Фату.

Лемма Фату с различными мерами.

Во всех приведенных выше утверждениях леммы Фату интегрирование проводилось по одной фиксированной мере μ. Предположим, что μп - последовательность мер на измеримом пространстве (S,Σ) такой, что (см. Конвергенция мер )

Затем с жп неотрицательные интегрируемые функции и ж поскольку их поточечный предел уступает, мы имеем

Лемма Фату для условных ожиданий

В теория вероятности, заменой обозначений приведенные выше варианты леммы Фату применимы к последовательностям случайные переменные Икс1, Икс2,. . . определено на вероятностное пространство ; интегралы превращаются в ожидания. Кроме того, есть версия для условные ожидания.

Стандартная версия

Позволять Икс1, Икс2,. . . - последовательность неотрицательных случайных величин на вероятностном пространстве и разреши быть суб-σ-алгебра. потом

   почти наверняка.

Примечание: Условное ожидание для неотрицательных случайных величин всегда хорошо определено, конечное ожидание не требуется.

Доказательство

Помимо изменения обозначений, доказательство очень похоже на доказательство стандартной версии леммы Фату выше, однако теорема о монотонной сходимости для условных ожиданий должен применяться.

Позволять Икс обозначают нижний предел Иксп. Для каждого натурального числа k поточечно определить случайную величину

Тогда последовательность Y1, Y2,. . . возрастает и поточечно сходится к Икс.За k ≤ п, у нас есть Yk ≤ Иксп, так что

почти наверняка

посредством монотонность условного ожидания, следовательно

почти наверняка,

потому что счетное объединение исключительных множеств с нулевой вероятностью снова является нулевой набор. Используя определение Икс, его представление как поточечный предел Yk, теорема о монотонной сходимости условных ожиданий, последнее неравенство и определение нижнего предела, то почти наверняка

Распространение на равномерно интегрируемые отрицательные части

Позволять Икс1, Икс2,. . . - последовательность случайных величин на вероятностном пространстве и разреши быть суб-σ-алгебра. Если отрицательные части

равномерно интегрируемы относительно условного математического ожидания в том смысле, что при ε > 0 существует c > 0 такой, что

,

тогда

почти наверняка.

Примечание: На съемочной площадке, где

удовлетворяет

левая часть неравенства считается равной плюс бесконечности. Условное ожидание нижнего предела может быть плохо определено на этом наборе, потому что условное ожидание отрицательной части также может быть плюс бесконечность.

Доказательство

Позволять ε > 0. В силу равномерной интегрируемости относительно условного математического ожидания существует c > 0 такой, что

С

куда Икс+ : = max {Икс, 0} обозначает положительную часть действительного Икс, монотонность условного ожидания (или указанное выше соглашение) и стандартная версия леммы Фату для условных ожиданий влекут

почти наверняка.

С

у нас есть

почти наверняка,

следовательно

почти наверняка.

Отсюда следует утверждение.

Рекомендации

  • Карозерс, Н. Л. (2000). Реальный анализ. Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. стр.321 –22. ISBN  0-521-49756-6.
  • Ройден, Х. Л. (1988). Реальный анализ (3-е изд.). Лондон: Кольер Макмиллан. ISBN  0-02-404151-3.
  • Вейр, Алан Дж. (1973). «Теоремы сходимости». Интеграция и мера Лебега. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. С. 93–118. ISBN  0-521-08728-7.

внешняя ссылка