Динамика файла - File dynamics

Период, термин файловая динамика - это движение множества частиц в узком канале.

В науке: в химия, физика, математика и связанные области, файловая динамика (иногда называют, динамика одного файла) является диффузией N (N → ∞) одинаковые Броуновские твердые сферы в квазиодномерном канале длиной L (L → ∞), так что сферы не прыгают одна на другую, а средняя плотность частиц приблизительно фиксирована. Наиболее известные статистические свойства этого процесса заключаются в том, что среднеквадратичное смещение (MSD) частицы в файле следует, ${\displaystyle \mathrm {MSD} \approx t^{\frac {1}{2}}}$, и это функция плотности вероятности (PDF) является Гауссовский в позиции с дисперсией MSD.^[1][2][3]

Результаты в файлах, которые обобщают основной файл, включают:

• В файлах с законом плотности, который не фиксирован, но затухает по степенному закону с показателем а при удалении от начала координат частица в начале координат имеет MSD это масштабируется как, ${\displaystyle MSD\approx t^{\frac {1+a}{2}}}$, с гауссовой PDF.^[4]
• Когда, кроме того, коэффициенты диффузии частиц распределены по степенному закону с показателем γ (около начала координат), MSD следует, ${\displaystyle MSD\approx t^{\frac {1-\gamma }{2/(1+a)-\gamma }}}$, с гауссовой PDF.^[5]
• В аномальных файлах, которые обновляются, а именно, когда все частицы пытаются совершить прыжок вместе, но время прыжка берется из распределения, которое затухает по степенному закону с показателем степени, −1 -α, MSD масштабируется как MSD соответствующего нормального файла в степени α.^[6]
• В аномальных файлах независимых частиц MSD очень медленный и масштабируется как, ${\displaystyle MSD\approx log^{2}(t)}$. Что еще более интересно, частицы образуют кластеры в таких файлах, определяя динамический фазовый переход. Это зависит от мощности аномалии α: следует процентное содержание частиц в кластерах ξ, ${\displaystyle \xi \approx {\sqrt {1-\alpha ^{3}}}}$.^[7]
• Другие обобщения включают: когда частицы могут обходить друг друга с постоянной вероятностью при встрече, наблюдается усиленная диффузия.^[8] Когда частицы взаимодействуют с каналом, наблюдается более медленная диффузия.^[9] Файлы, встроенные в двухмерный формат, показывают аналогичные характеристики файлов в одном измерении.^[7]

Обобщения базового файла важны, поскольку эти модели представляют реальность гораздо точнее, чем базовый файл. Действительно, файловая динамика используется при моделировании множества микроскопических процессов:^{[10][11][12][13][14][15][16]} диффузия в биологических и синтетических порах и пористом материале, диффузия вдоль одномерных объектов, таких как биологические дороги, динамика мономера в полимере и т. д.

Математическая формулировка

Простые файлы

В простых броуновских файлах ${\displaystyle P(\mathbf {x} ,t\mid \mathbf {x_{0}} )}$, сустав функция плотности вероятности (PDF) для всех частиц в файле подчиняется нормальному уравнению диффузии:

${\displaystyle \partial _{t}P(\mathbf {x} ,t\mid \mathbf {x_{0}} )=D\Sigma _{j=-M}^{M}\partial _{x_{j}}^{2}P(\mathbf {x} ,t\mid \mathbf {x_{0}} ).}$

(1)

В ${\displaystyle P(\mathbf {x} ,t\mid \mathbf {x_{0}} )}$, ${\displaystyle \mathbf {x} =\{x_{-M},x_{-M+1},\ldots ,x_{M}\}}$ - это набор положений частиц в момент времени ${\displaystyle t}$ и ${\displaystyle \mathbf {x_{0}} }$ - набор начальных положений частиц в начальный момент времени ${\displaystyle t_{0}}$ (установить на ноль). Уравнение (1) решается с соответствующими граничными условиями, которые отражают твердый сферический характер файла:

${\displaystyle {\big (}D\partial _{x_{j}}P(\mathbf {x} ,t\mid \mathbf {x_{0}} ){\big )}_{x_{j}=x_{j+1}}={\big (}D\partial _{x_{j+1}}P(\mathbf {x} ,t\mid \mathbf {x_{0}} ){\big )}_{x_{j+1}=x_{j}};\qquad j=-M,\ldots ,M-1,}$

(2)

и с соответствующим начальным условием:

${\displaystyle P(\mathbf {x} ,t\rightarrow \infty \mid x_{0})=\Pi _{j=-M}^{M}\delta (x_{j}-x_{0,j}).}$

(3)

В простом файле начальная плотность фиксирована, а именно:${\displaystyle x_{0,j}=j\Delta }$, куда ${\displaystyle \Delta }$ - параметр, представляющий микроскопическую длину. Координаты PDF-файлов должны соответствовать порядку: ${\displaystyle x_{-M}\leq x_{-M+1}\leq \cdots \leq x_{M}}$.

Гетерогенные файлы

В таких файлах уравнение движения следует:

${\displaystyle \partial _{t}P(\mathbf {x} ,t\mid \mathbf {x_{0}} )=\Sigma _{j=-M}^{M}D_{j}\partial _{x_{j}}^{2}P(\mathbf {x} ,t\mid \mathbf {x_{0}} ).}$

(4)

с граничными условиями:

${\displaystyle {\big (}D_{j}\partial _{x_{j}}P(\mathbf {x} ,t\mid \mathbf {x_{0}} ){\big )}_{x_{j}=x_{j+1}}={\big (}D_{j+1}\partial _{x_{j+1}}P(\mathbf {x} ,t\mid \mathbf {x_{0}} ){\big )}_{x_{j+1}=x_{j}};\qquad j=-M,\ldots ,M-1,}$

(5)

и с начальным условием, уравнение. (3), где начальное положение частиц подчиняется:

${\displaystyle x0,j=sign(j)\Delta \mid j\mid ^{1/(1-a)};\qquad 0\leq {\mathit {a}}\leq 1.}$

(6)

Коэффициенты распространения файла берутся независимо от PDF,

${\displaystyle W(D)={\frac {1-\gamma }{\Lambda }}(D/\Lambda )^{-\gamma },\qquad 0\leq \gamma \leq 1,}$

(7)

где Λ имеет конечное значение, которое представляет собой самый быстрый коэффициент диффузии в файле.

Обновление, аномальные, разнородные файлы

В файлах с аномальным обновлением случайный период берется независимо от функции плотности вероятности времени ожидания (WT-PDF; см. Марковский процесс с непрерывным временем для получения дополнительной информации) формы: ${\displaystyle \psi _{\alpha }(t)\sim k(kt)^{-1-\alpha },0<\alpha \leq 1}$, куда k является параметром. Затем все частицы в файле остаются неподвижными в течение этого случайного периода, после чего все частицы пытаются прыгнуть в соответствии с правилами файла. Эта процедура повторяется снова и снова. Уравнение движения для PDF частиц в файле с аномальным восстановлением получается при свертывании уравнения движения для броуновского файла с ядром ${\displaystyle k_{\alpha }(t)}$:

${\displaystyle \partial _{t}P(\mathbf {x} ,t\mid \mathbf {x_{0}} )=\Sigma _{j=-M}^{M}D_{j}\partial _{x_{j}}^{2}\int _{0}^{t}k_{\alpha }(t-u)P(\mathbf {x} ,u\mid \mathbf {x_{0}} )\,du.}$

(8)

Здесь ядро ${\displaystyle k_{\alpha }(t)}$и WT-PDF ${\displaystyle \psi _{\alpha }(t)}$ связаны в пространстве Лапласа, ${\displaystyle {\bar {k}}_{\alpha }(s)={\frac {s{\bar {\psi }}_{\alpha }(s)}{1-{\bar {\psi }}_{\alpha }(s)}}}$. (Преобразование Лапласа функции ${\displaystyle f(t)}$ читает, ${\displaystyle {\bar {f}}(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt}$.) Отражающие граничные условия сопровождались уравнением. (8) получаются при свертке граничных условий броуновского файла с ядром ${\displaystyle k_{\alpha }(t)}$, где здесь и в броуновском файле начальные условия идентичны.

Аномальные файлы с независимыми частицами

Когда каждой частице в аномальном файле назначается собственная форма отображения времени перехода ${\displaystyle \psi _{\alpha }(t)}$ (${\displaystyle \psi _{\alpha }(t)}$ одинаков для всех частиц) аномальный файл не является файлом обновления. Базовый динамический цикл в таком файле состоит из следующих шагов: частица с самым быстрым временем прыжка в файле, скажем, ${\displaystyle t_{i}}$ для частицы я, пытается совершить прыжок. Затем время ожидания для всех остальных частиц корректируется: мы вычитаем ${\displaystyle t_{i}}$ от каждого из них. Наконец, для частицы отображается новое время ожидания. я. Наиболее существенное различие между аномальными файлами обновления и аномальными файлами, которые не являются обновлением, заключается в том, что, когда каждая частица имеет свои собственные часы, частицы фактически связаны также во временной области, и результатом является дальнейшее замедление работы системы (доказано в основной текст). Уравнение движения PDF в аномальных файлах независимых частиц гласит:

${\displaystyle \partial _{t_{i}}P(\mathbf {x} ,\mathbf {t} \mid \mathbf {x_{0}} )=D_{i}\partial _{x_{i}}^{2}\int _{0}^{t_{i}}k_{\alpha }(t_{i}-u_{i})P(\mathbf {x} ,\mathbf {t} ^{'(i)},u_{i}\mid \mathbf {x_{0}} )\,du_{i};\qquad -M\leq i\leq M.}$

(9)

Обратите внимание, что аргумент времени в PDF ${\displaystyle P(\mathbf {x} ,\mathbf {t} \mid \mathbf {x_{0}} )}$ вектор времен: ${\displaystyle \mathbf {t} =\{t_{i}\}_{i=-M}^{M}}$, и ${\displaystyle \mathbf {t} ^{'(i)}=\{t_{c}\}_{c=-M,c\neq i}^{M}}$. Сложение всех координат и выполнение интегрирования сначала в порядке меньшего времени (порядок определяется случайным образом из равномерного распределения в пространстве конфигураций) дает полное уравнение движения в аномальных файлах независимых частиц (усреднение уравнения по всем поэтому требуется дальнейшая конфигурация). Действительно, даже уравнение. (9) очень сложно, а усреднение еще больше усложняет ситуацию.

Математический анализ

Простые файлы

Решение уравнений (1)-(2) представляет собой полный набор перестановок всех начальных координат, входящих в гауссианы,^[4]

${\displaystyle P(\mathbf {x} ,\mid \mathbf {x_{0}} )={\frac {1}{c_{N}}}\Sigma _{\{p\}}e^{-1/4Dt\Sigma _{j=-M}^{M}(x_{j}-x_{0,j}(p))^{2}}.}$

(10)

Здесь индекс ${\displaystyle p}$ идет по всем перестановкам начальных координат и содержит ${\displaystyle N!}$ перестановки. Из уравнения. (10), PDF-файл помеченной частицы в файле, ${\displaystyle P(r,t\mid r_{0})}$, рассчитывается ^[4]

${\displaystyle P(r,t\mid r_{0})\sim {\frac {1}{c_{N}}}e^{-R_{d}^{2}/{\sqrt {2\tau }}},}$

(11)

В формуле. (11), ${\displaystyle R_{d}=r_{d}\Delta }$, ${\displaystyle r_{d}=r-r_{0}}$ (${\displaystyle r_{0}}$ - начальное состояние помеченной частицы), а ${\displaystyle \tau =\Delta ^{-2}Dt}$. MSD для меченой частицы получается непосредственно из уравнения. (11):

${\displaystyle \langle R_{d}^{2}\rangle \sim {\sqrt {\tau }}.}$

(12)

Гетерогенные файлы

Решение уравнений (4)-(7) аппроксимируется выражением,^[5]

${\displaystyle P(x,t\mid x_{0})\approx {\frac {1}{c_{N}}}\Sigma _{\{p\}}e^{-\Sigma _{j=-M}^{M}(x_{j}-x_{0,j}(p))^{2}/4tD_{j}}.}$

(13)

Начиная с уравнения. (13), PDF-файл помеченной частицы в гетерогенном файле следует,^[5]

${\displaystyle P(r,t\mid r_{0})\sim {\frac {1}{c_{N}}}e^{-R_{d}^{2}/4\tau \tau ^{(1-a))/(2-\gamma (1+a))}};\qquad \tau =\Delta ^{-2}\Lambda t.}$

(14)

MSD помеченной частицы в гетерогенном файле берется из уравнения. (14):

${\displaystyle \langle R_{d}^{2}\rangle =2\tau ^{(1-\gamma )/(2c-\gamma )},\qquad c=1/((1+a)).}$

(15)

Обновление аномальных разнородных файлов

Результаты аномальных файлов обновления просто выводятся из результатов броуновских файлов. Во-первых, PDF в уравнении. (8) записывается в терминах PDF который решает несвернутое уравнение, то есть уравнение броуновского файла; это отношение осуществляется в пространстве Лапласа:

${\displaystyle {\bar {P}}(x,s\mid x_{0})={\frac {1}{{\bar {k}}_{\alpha }(s)}}{\bar {P}}_{\text{nrml}}(x,s/{\bar {k}}_{\alpha }(s)\mid x_{0}).}$

(16)

(Нижний индекс nrml обозначает нормальную динамику.) Из уравнения. (16), легко связать MSD броуновских разнородных файлов и аномальных неоднородных файлов,^[6]

${\displaystyle \langle {\bar {r}}^{2}(s)\rangle ={\frac {1}{{\bar {k}}_{\alpha }(s)}}\langle {\bar {r}}^{2}(s/{\bar {k}}_{\alpha }(s))\rangle _{\text{nrml}}.}$

(17)

Из уравнения. (18), оказывается, что MSD файла с нормальной динамикой в ​​силе ${\displaystyle \alpha }$ это MSD соответствующего файла восстановления-аномалии,^[6]

${\displaystyle \langle r^{2}(t)\rangle \sim \langle r^{2}(t)\rangle _{\text{nrml}}^{\alpha }.}$

(19)

Аномальные файлы с независимыми частицами

Уравнение движения для аномальных файлов с независимыми частицами, (9), очень сложно. Решения для таких файлов достигаются при выводе законов масштабирования и с помощью численного моделирования.

Законы масштабирования для аномальных файлов независимых частиц

Сначала запишем масштабный закон для среднего абсолютного смещения (СУМАСШЕДШИЙ) в файле обновления с постоянной плотностью:^[4][5][7]

${\displaystyle \langle \mid r\mid \rangle \sim \langle \mid r\mid \rangle _{\text{free}}/n.}$

(20)

Здесь, ${\displaystyle n}$ количество частиц в покрытой длине ${\displaystyle \langle \mid r\mid \rangle }$, и ${\displaystyle \langle \mid r\mid \rangle _{\text{free}}}$ это СУМАСШЕДШИЙ свободной аномальной частицы, ${\displaystyle \langle \mid r\mid \rangle _{\text{free}}\sim t^{\alpha /2})}$. В формуле. (20), ${\displaystyle n}$ входит в вычисления, так как все частицы на расстоянии ${\displaystyle \langle \mid r\mid \rangle }$ от помеченной частицы должна двигаться в том же направлении, чтобы помеченная частица достигла расстояния ${\displaystyle \langle \mid r\mid \rangle }$ из исходного положения. На основании уравнения. (20), запишем обобщенный закон масштабирования для аномальных файлов независимых частиц:

${\displaystyle \langle |r|\rangle \sim {\frac {\langle \mid r\mid \rangle _{\text{free}}}{n}}f(n);\qquad 0<f(n)<1.}$

(21)

Первый член в правой части уравнения. (21) также появляется в файлах обновления; тем не менее, член f (n) единственен. f (n) - это вероятность, которая объясняет тот факт, что для перемещения n аномальных независимых частиц в одном направлении, когда эти частицы действительно пытаются прыгнуть в одном направлении (выражается с помощью члена, (${\displaystyle \langle \mid r\mid \rangle _{\text{free}}/n)}$), частицы на периферии должны двигаться первыми, чтобы частицы в середине файла имели свободное пространство для перемещения, что требовало более быстрого времени перехода для частиц на периферии. f (n) появляется, потому что нет типичной шкалы времени для скачка в аномальных файлах, а частицы независимы, и поэтому конкретная частица может стоять на месте в течение очень долгого времени, существенно ограничивая возможности прогресса для частиц вокруг него. , в течение этого времени. Четко,${\displaystyle 0<f(n)<1}$, куда ж(п) = 1 для файлов обновления, поскольку частицы прыгают вместе, но также и в файлах независимых частиц с ${\displaystyle \alpha >1}$, поскольку в таких файлах есть типичная шкала времени для прыжка, считающаяся временем для синхронизированного прыжка. Мы вычисляем f (n) из числа конфигураций, в которых порядок времени прыжка частиц позволяет двигаться; то есть порядок, при котором более быстрые частицы всегда располагаются ближе к периферии. Для n частиц их n! разные конфигурации, где одна конфигурация является оптимальной; так, ${\displaystyle (1/n!)\leq f(n)}$. Тем не менее, хотя и не оптимально, распространение также возможно во многих других конфигурациях; когда m - количество движущихся частиц, тогда

${\displaystyle f(n)\sim {\dbinom {n}{m}}(n-m)!1/n!,}$

(22)

куда ${\displaystyle {\dbinom {n}{m}}(n-m)!}$ подсчитывает количество конфигураций, в которых m частиц вокруг помеченной частицы имеют оптимальный порядок перехода. Теперь, даже когда m ~ n / 2, ${\displaystyle f(n)\sim e^{-n/2}}$. Использование в формуле. (21), ${\displaystyle f(n)\sim e^{-n/n_{0}}}$ (${\displaystyle n_{0}}$ небольшое число больше 1), мы видим,

${\displaystyle \mathrm {MSD} \sim \left({\frac {\alpha }{n_{0}}}\right)^{2}\ln ^{2}(t).}$

(23)

(В уравнении (23), мы используем, ${\displaystyle MSD\sim \mid MAD\mid ^{2}}$.) Уравнение (23) показывает, что асимптотически частицы чрезвычайно медленны в аномальных массивах независимых частиц.

Численные исследования аномальных массивов независимых частиц

Рисунок 1 Траектории моделирования 501 аномальной независимой частицы с ${\displaystyle \alpha =0.9,0.1}$ (рекомендуется: открыть файл в новом окне)

При численных исследованиях видно, что аномальные массивы независимых частиц образуют кластеры. Это явление определяет динамический фазовый переход. В установившемся режиме процент частиц в кластере, ${\displaystyle \xi (\alpha )}$, следует,

${\displaystyle \xi (\alpha )\approx {\sqrt {1-\alpha ^{3}}}}$

(24)

На рисунке 1 мы показываем траектории от 9 частиц в файле из 501 частицы. (Рекомендуется открывать файл в новом окне). На верхних панелях показаны траектории для ${\displaystyle \alpha =0.9}$ а на нижних панелях показаны траектории для ${\displaystyle \alpha =0.1}$. Для каждого значения ${\displaystyle \alpha }$ показаны траектории на ранних этапах моделирования (слева) и на всех этапах моделирования (справа). Панели демонстрируют феномен кластеризации, когда траектории притягиваются друг к другу, а затем перемещаются в значительной степени вместе.

Смотрите также

• Броуновское движение
• Динамика Ланжевена
• Системная динамика

Рекомендации

1. Харрис Т. Э. (1965) «Диффузия со« столкновениями »между частицами», Журнал прикладной теории вероятностей, 2 (2), 323-338 JSTOR  3212197
2. Джепсен, Д. В. (1965). «Динамика простой многотельной системы жестких стержней». Журнал математической физики. Издательство AIP. 6 (3): 405–413. Дои:10.1063/1.1704288. ISSN  0022-2488.
3. Lebowitz, J. L .; Перкус, Дж. К. (1967-03-05). "Кинетические уравнения и разложения по плотности: точно решаемая одномерная система". Физический обзор. Американское физическое общество (APS). 155 (1): 122–138. Дои:10.1103 / Physrev.155.122. ISSN  0031-899X.
4. Flomenbom, O .; Талони, А. (2008). «По однофайловым и менее плотным процессам». EPL (Еврофизические письма). IOP Publishing. 83 (2): 20004. arXiv:0802.1516. Дои:10.1209/0295-5075/83/20004. ISSN  0295-5075. S2CID  118506867.
5. Фломенбом, Офир (21 сентября 2010 г.). «Динамика неоднородных твердых сфер в массиве». Физический обзор E. 82 (3): 31126. arXiv:1002.1450. Дои:10.1103 / Physreve.82.031126. ISSN  1539-3755. PMID  21230044. S2CID  17103579.
6. Фломенбом, Офир (2010). «Обновление – аномально – неоднородные файлы». Письма о физике A. Elsevier BV. 374 (42): 4331–4335. arXiv:1008.2323. Дои:10.1016 / j.physleta.2010.08.029. ISSN  0375-9601. S2CID  15831408.
7. Фломенбом, О. (18.05.2011). «Кластеризация в аномальных массивах независимых частиц». EPL (Еврофизические письма). IOP Publishing. 94 (5): 58001. arXiv:1103.4082. Дои:10.1209/0295-5075/94/58001. ISSN  0295-5075. S2CID  14362728.
8. Пн, К. К .; Перкус, Дж. К. (2002). «Самодиффузия жидкости в узких цилиндрических порах». Журнал химической физики. Издательство AIP. 117 (5): 2289–2292. Дои:10.1063/1.1490337. ISSN  0021-9606.
9. Талони, Алессандро; Марчесони, Фабио (19 января 2006 г.). «Однофайловая диффузия на периодическом субстрате». Письма с физическими проверками. Американское физическое общество (APS). 96 (2): 020601. Дои:10.1103 / Physrevlett.96.020601. ISSN  0031-9007. PMID  16486555.
10. Кергер Дж. И Рутвен Д. М. (1992) Диффузия в цеолитах и ​​других микроскопических твердых телах (Уайли, штат Нью-Йорк).
11. Wei, Q .; Bechinger, C .; Лейдерер, П. (2000-01-28). «Однофайловая диффузия коллоидов в одномерных каналах». Наука. Американская ассоциация развития науки (AAAS). 287 (5453): 625–627. Дои:10.1126 / science.287.5453.625. ISSN  0036-8075. PMID  10649990.
12. де Женн, П. Г. (1971-07-15). «Рептация полимерной цепи при наличии фиксированных препятствий». Журнал химической физики. Издательство AIP. 55 (2): 572–579. Дои:10.1063/1.1675789. ISSN  0021-9606.
13. Ричардс, Питер М. (1977-08-15). «Теория одномерной прыжковой проводимости и диффузии». Физический обзор B. Американское физическое общество (APS). 16 (4): 1393–1409. Дои:10.1103 / Physrevb.16.1393. ISSN  0556-2805.
14. Максфилд, Фредерик Р. (2002). «Микродомены плазматической мембраны». Текущее мнение в области клеточной биологии. Elsevier BV. 14 (4): 483–487. Дои:10.1016 / s0955-0674 (02) 00351-4. ISSN  0955-0674. PMID  12383800.
15. Каналы биологических мембранных ионов: динамика, структура и приложения, Чанг Ш., Андерсон О. С. и Кришнамурти В. В., редакторы (Springer-verlag) 2006.
16. Ховард Дж., Механика моторных белков и цитоскелета (Sinauer Associates Inc., Сандерленд, Массачусетс) 2001.