Фильтр (моделирование больших вихрей) - Filter (large eddy simulation) - Wikipedia

Фильтрация в контексте моделирование больших вихрей (LES) - математическая операция, предназначенная для удаления ряда мелких масштабов из решения в Уравнения Навье-Стокса. Поскольку основная трудность моделирования турбулентных потоков связана с широким диапазоном масштабов длины и времени, эта операция удешевляет моделирование турбулентных потоков за счет уменьшения диапазона масштабов, которые необходимо разрешить. LES-фильтр работает с низкими частотами, то есть он отфильтровывает шкалы, связанные с высокими частотами.

Гомогенные фильтры

Поле скорости, создаваемое прямое численное моделирование (DNS) из однородная затухающая турбулентность. Размер домена L³.

То же поле скорости DNS, отфильтрованное с использованием коробчатый фильтр и Δ = L/32

То же поле скорости DNS, отфильтрованное с использованием коробчатый фильтр и Δ = L/16

Определение в физическом пространстве

Операция фильтрации нижних частот, используемая в LES, может применяться к пространственному и временному полю, например ${\displaystyle \phi ({\boldsymbol {x}},t)}$. Операция фильтра LES может быть пространственной, временной или и тем, и другим. Отфильтрованное поле, обозначенное полосой, определяется как:^[1][2]

${\displaystyle {\overline {\phi ({\boldsymbol {x}},t)}}=\displaystyle {\int _{-\infty }^{\infty }}\int _{-\infty }^{\infty }\phi ({\boldsymbol {r}},t^{\prime })G({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {r}},t-t^{\prime })dt^{\prime }d{\boldsymbol {r}},}$

куда ${\displaystyle G}$ - ядро ​​свертки, уникальное для используемого типа фильтра. Это можно записать как операцию свертки:

${\displaystyle {\overline {\phi }}=G\star \phi .}$

Ядро фильтра ${\displaystyle G}$ использует длину отсечки и шкалы времени, обозначенные ${\displaystyle \Delta }$ и ${\displaystyle \tau _{c},}$ соответственно. Чешуйки меньшего размера исключаются из ${\displaystyle {\overline {\phi }}.}$ Используя это определение, любое поле ${\displaystyle \phi }$ может быть разделен на отфильтрованную и частично отфильтрованную (обозначенную штрихом) части, как

${\displaystyle \phi ={\bar {\phi }}+\phi ^{\prime }.}$

Это также можно записать как операцию свертки,

${\displaystyle \phi ^{\prime }=\left(1-G\right)\star \phi .}$

Определение в спектральном пространстве

Операция фильтрации удаляет шкалы, связанные с высокими частотами, и, соответственно, операцию можно интерпретировать как Пространство Фурье. Для скалярного поля ${\displaystyle \phi ({\boldsymbol {x}},t),}$ в преобразование Фурье из ${\displaystyle \phi }$ является ${\displaystyle {\hat {\phi }}({\boldsymbol {k}},\omega ),}$ функция ${\displaystyle {\boldsymbol {k}},}$ пространственное волновое число, и ${\displaystyle \omega ,}$ временная частота. ${\displaystyle {\hat {\phi }}}$ можно отфильтровать по соответствующим преобразование Фурье ядра фильтра, обозначенного ${\displaystyle {\hat {G}}({\boldsymbol {k}},\omega ):}$

${\displaystyle {\overline {\hat {\phi }}}({\boldsymbol {k}},\omega )={\hat {\phi }}({\boldsymbol {k}},\omega ){\hat {G}}({\boldsymbol {k}},\omega )}$

или же,

${\displaystyle {\overline {\hat {\phi }}}={\hat {G}}{\hat {\phi }}.}$

Ширина фильтра ${\displaystyle \Delta }$ имеет связанный волновой номер отсечки ${\displaystyle k_{c},}$ и временная ширина фильтра ${\displaystyle \tau _{c}}$ также имеет связанную частоту среза ${\displaystyle \omega _{c}.}$ Нефильтрованная часть ${\displaystyle {\hat {\phi }}}$ является:

${\displaystyle {\hat {\phi ^{\prime }}}=(1-{\hat {G}}){\hat {\phi }}.}$

Спектральная интерпретация операции фильтрации важна для операции фильтрации при моделировании больших вихрей, поскольку спектры турбулентных течений является центральным элементом подсеточных моделей LES, которые реконструируют эффект масштабов подфильтра (самые высокие частоты). Одна из задач подсеточного моделирования - эффективно имитировать каскад кинетической энергии от низких до высоких частот. Это делает спектральные свойства реализованного LES-фильтра очень важными для моделирования подсеток.

Свойства однородного фильтра

Однородные фильтры LES должны удовлетворять следующему набору свойств при применении к уравнениям Навье-Стокса.^[1]

1. Сохранение констант

Значение отфильтрованной константы должно быть равно константе,

${\displaystyle {\overline {a}}=a,}$

что означает,

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }G({\boldsymbol {\xi }},t^{\prime })d^{3}{\boldsymbol {\xi }}dt^{\prime }=1.}$

2. Линейность

${\displaystyle {\overline {\phi +\psi }}={\overline {\phi }}+{\overline {\psi }}.}$

3. Коммутация с производными.

${\displaystyle {\overline {\frac {\partial \phi }{\partial s}}}={\frac {\partial {\overline {\phi }}}{\partial s}},\qquad s={\boldsymbol {x}},t.}$

Если ввести обозначения для коммутации операторов ${\displaystyle [f,g]}$ для двух произвольных операторов ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$, куда

${\displaystyle [f,g]\phi =f\circ g(\phi )-g\circ f(\phi )=f(g(\phi ))-g(f(\phi )),}$

то это третье свойство можно выразить как

${\displaystyle \left[G\star ,{\frac {\partial }{\partial s}}\right]=0.}$

Фильтры, удовлетворяющие этим свойствам, обычно не Операторы Рейнольдса, то есть сначала:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\overline {\overline {\phi }}}&\neq &{\overline {\phi }},\\G\star G\star \phi =G^{2}\star \phi &\neq &G\star \phi ,\end{array}}}$

и во-вторых,

${\displaystyle {\overline {\phi ^{\prime }}}=G\star (1-G)\star \phi \neq 0.}$

Неоднородные фильтры

Реализации операций фильтрации для всех потоков, кроме простейших, представляют собой операции неоднородной фильтрации. Это означает, что поток либо имеет непериодические границы, вызывающие проблемы с определенными типами фильтров, либо имеет непостоянную ширину фильтра. ${\displaystyle \Delta }$, или оба. Это предотвращает коммутацию фильтра с производными, а операция коммутации приводит к нескольким дополнительным ошибочным членам:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\left[{\frac {\partial }{\partial {\boldsymbol {x}}}},G\star \right]\phi &=&{\frac {\partial }{\partial {\boldsymbol {x}}}}\left(G\star \phi \right)-G\star {\frac {\partial \phi }{\partial {\boldsymbol {x}}}}\\&=&{\frac {\partial }{\partial {\boldsymbol {x}}}}\int _{\Omega }G({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {r}},\Delta ({\boldsymbol {x}},t))\phi ({\boldsymbol {r}},t)d{\boldsymbol {r}}-G\star {\frac {\partial \phi }{\partial {\boldsymbol {x}}}}\\&=&\left({\frac {\partial G}{\partial \Delta }}\star \phi \right){\frac {\partial \Delta }{\partial x}}+\int _{d\Omega }G(x-r,\Delta (x,t))\phi (r,t){\boldsymbol {n}}dS\end{array}},}$

куда ${\displaystyle {\boldsymbol {n}}}$ - вектор, нормальный к поверхности границы ${\displaystyle \Omega }$ и ${\displaystyle d\Omega .}$^[1]

Оба члена появляются из-за неоднородностей. Первый связан с пространственным изменением размера фильтра. ${\displaystyle \Delta ,}$ а второй - из-за границы домена. Аналогично коммутация фильтра ${\displaystyle G}$ с временной производной приводит к ошибке, возникающей из-за временного изменения размера фильтра,

${\displaystyle \left[{\frac {\partial }{\partial t}},G\star \right]=\left({\frac {\partial G}{\partial \Delta }}\star \phi \right){\frac {\partial \Delta }{\partial t}}.}$

Было предложено несколько операций фильтрации, которые устраняют или минимизируют эти ошибки.^{[нужна цитата ]}

Классические фильтры моделирования больших вихрей

Турбулентный энергетический спектр и эффект от операций фильтрации ^[3]

Для пространственной фильтрации при моделировании больших вихрей обычно используются три фильтра. Определение ${\displaystyle G({\boldsymbol {x}},t)}$ и ${\displaystyle {\hat {G}}({\boldsymbol {k}},\omega ),}$ дается обсуждение важных свойств.^[2]

Коробчатый фильтр

Коробчатый фильтр в физическом и спектральном пространстве

Ядро фильтра в физическом пространстве определяется следующим образом:

${\displaystyle G({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {r}})={\begin{cases}{\frac {1}{\Delta }},&{\text{if}}\left|{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {r}}\right|\leq {\frac {\Delta }{2}},\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

Ядро фильтра в спектральном пространстве определяется выражением:

${\displaystyle {\hat {G}}({\boldsymbol {k}})={\frac {\sin {({\frac {1}{2}}k\Delta )}}{{\frac {1}{2}}k\Delta }}.}$

Гауссов фильтр в физическом и спектральном пространстве

Гауссов фильтр

Ядро фильтра в физическом пространстве определяется следующим образом:

${\displaystyle G({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {r}})=\left({\frac {6}{\pi \Delta ^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}\exp {\left(-{\frac {6({\boldsymbol {x-r}})^{2}}{\Delta ^{2}}}\right)}.}$

Ядро фильтра в спектральном пространстве определяется выражением:

${\displaystyle {\hat {G}}({\boldsymbol {k}})=\exp {\left(-{\frac {{\boldsymbol {k}}^{2}\Delta ^{2}}{24}}\right)}.}$

Четкий спектральный фильтр в физическом и спектральном пространстве

Четкий спектральный фильтр

Ядро фильтра в физическом пространстве определяется следующим образом:

${\displaystyle G({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {r}})={\frac {\sin {(\pi ({\boldsymbol {x-r}})/\Delta )}}{\pi ({\boldsymbol {x-r}})}}.}$

Ядро фильтра в спектральном пространстве определяется выражением:

${\displaystyle {\hat {G}}({\boldsymbol {k}})=H\left(k_{c}-\left|k\right|\right),\qquad k_{c}={\frac {\pi }{\Delta }}.}$

Смотрите также

• Вычислительная гидродинамика
• Фильтр (обработка сигнала)
• Гидравлическая механика
• преобразование Фурье
• Частотный диапазон
• Моделирование больших вихрей
• Турбулентность

Рекомендации

1. Саго, Пьер (2006). Моделирование больших вихрей для несжимаемых потоков (Третье изд.). Springer. ISBN  3-540-26344-6.
2. Папа, Стивен (2000). Турбулентные потоки. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-59886-6.
3. Лаваль, Жан-Филипп. «Конспект лекций по DNS и LES для международных магистерских программ в условиях турбулентности» (PDF). Получено 27 января 2020.