Финансовая корреляция - Financial correlation

Финансовые корреляции измерить взаимосвязь между изменениями двух или более финансовых переменных с течением времени. Например, цены на акции облигации с фиксированной процентной ставкой часто движутся в противоположных направлениях: когда инвесторы продают акции, они часто используют выручку для покупки облигаций и наоборот. В этом случае цены акций и облигаций имеют отрицательную корреляцию.

Финансовые корреляции играют ключевую роль в современном финансы. Под модель ценообразования основных средств (CAPM; модель, признанная Нобелевская премия ) увеличение диверсификации увеличивает отношение доходности к риску. Меры риска включают: стоимость под риском, ожидаемый дефицит, и доходность портфеля отклонение.^[1]

Финансовая корреляция и коэффициент корреляции продукта и момента Пирсона

Существует несколько статистических показателей степени финансовой корреляции. В Коэффициент корреляции продукт-момент Пирсона иногда применяется к финансовым корреляциям. Однако ограничения корреляционного подхода Пирсона в финансах очевидны. Во-первых, линейные зависимости, оцениваемые с помощью коэффициента корреляции Пирсона, в финансах встречаются нечасто. Во-вторых, меры линейной корреляции - это только меры естественной зависимости, если совместное распределение переменных равно эллиптический. Однако только несколько финансовых распределений, таких как многомерное нормальное распределение и многомерное t-распределение Стьюдента, являются частными случаями эллиптических распределений, для которых мера линейной корреляции может быть осмысленно интерпретирована. В-третьих, нулевой коэффициент корреляции произведения-момента Пирсона не обязательно означает независимость, поскольку рассматриваются только два первых момента. Например, ${\displaystyle Y=X^{2}}$ (у 0) приведет к нулевому коэффициенту корреляции Пирсона, что, возможно, вводит в заблуждение.^[2] Поскольку подход Пирсона неудовлетворителен для моделирования финансовых корреляций, количественные аналитики разработали конкретные меры финансовой корреляции. Для точной оценки корреляций требуется, чтобы процесс моделирования маргиналов включал такие характеристики, как перекос и эксцесс. Отсутствие учета этих атрибутов может привести к серьезной ошибке оценки корреляций и ковариаций, которые имеют отрицательные смещения (до 70% от истинных значений).^[3] При практическом применении в оптимизации портфеля точная оценка ковариационная матрица имеет первостепенное значение. Таким образом, прогнозирование с помощью моделирования Монте-Карло с гауссовой копулой и четко заданными маргинальными распределениями является эффективным.^[4]

Финансовые меры корреляции

Корреляция броуновских движений

Стивен Хестон применил корреляционный подход^[5] отрицательно коррелировать стохастическую доходность акций ${\displaystyle {\frac {dS(t)}{S(t)}}}$ и стохастическая волатильность ${\displaystyle \ \sigma (t)}$. Основные уравнения оригинала Модель Хестона два стохастические дифференциальные уравнения, ДЗО

${\displaystyle {\frac {dS(t)}{S(t)}}=\mu \,dt+\sigma (t)\,dz_{1}(t)}$ (1)

и

${\displaystyle d\sigma ^{2}(t)=g[\sigma _{L}^{2}-\sigma ^{2}(t)]\,dt+\xi \sigma (t)\,dz_{2}(t)}$ (2)

где S - базовая акция, ${\displaystyle \ \mu }$ ожидаемый темп роста ${\displaystyle S}$, и ${\displaystyle \ \sigma (t)}$ стохастическая волатильность ${\displaystyle S}$ в момент t. В уравнении (2) g - это средняя скорость возврата (сила тяжести), которая определяет дисперсию ${\displaystyle \ \sigma ^{2}(t)}$ к его долгосрочному среднему значению ${\displaystyle \sigma _{L}^{2}}$, и ${\displaystyle \ \xi }$ - волатильность волатильности σ (t). dz (t) - стандартный Броуновское движение, т.е. ${\displaystyle dz(t)=\varepsilon _{t}{\sqrt {dt}}}$, ${\displaystyle \ \varepsilon _{t}}$ является i.i.d., особенно ${\displaystyle \varepsilon _{t}}$ представляет собой случайный рисунок из стандартизованного нормального распределения n ~ (0,1). В уравнении (1) лежащая в основе ${\displaystyle S}$ следует стандартному геометрическому броуновскому движению, которое также применяется в Модель Блэка – Шоулза – Мертона, который, однако, предполагает постоянную волатильность. Корреляция между случайными процессами (1) и (2) вводится путем соотнесения двух броуновских движений ${\displaystyle dz_{1}}$ и ${\displaystyle dz_{2}}$. Мгновенная корреляция ${\displaystyle \ \rho }$ между броуновскими движениями

${\displaystyle \operatorname {Corr} [dz_{1}(t),dz_{2}(t)]=\rho \,dt}$ (3).

Определение (3) удобно моделировать с помощью тождества

${\displaystyle dz_{1}(t)={\sqrt {\rho }}dz_{2}(t)+{\sqrt {1-\rho }}\,dz_{3}(t)}$ (4)

где ${\displaystyle dz_{2}(t)}$ и ${\displaystyle dz_{3}(t)}$ независимы, и ${\displaystyle dz(t)}$ и ${\displaystyle dz(t')}$ независимы, t ≠ t ’.

Cointelation SDE^[6] связывает SDE выше с концепцией возврата к среднему и дрейфа, которые обычно неправильно понимаются.^[7] практикующими.

Биномиальный коэффициент корреляции

Еще одна мера финансовой корреляции, в основном применяется к корреляции по умолчанию,^{[согласно кому? ]} является подходом биномиальной корреляции Лукаса (1995).^[8] Определим биномиальные события ${\displaystyle 1_{X}=1_{\{\tau _{X}\leq T\}}}$ и ${\displaystyle 1_{Y}=1_{\{\tau _{Y}\leq T\}}}$ где ${\displaystyle \tau _{X}}$ время объекта по умолчанию ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle \tau _{Y}}$ время объекта по умолчанию ${\displaystyle Y}$. Следовательно, если объект ${\displaystyle X}$ значения по умолчанию до или во время ${\displaystyle T}$, случайная индикаторная переменная ${\displaystyle 1_{X}}$ примет значение 1, иначе 0. То же самое касается ${\displaystyle Y}$. Более того, ${\displaystyle P(X)}$ и ${\displaystyle P(Y)}$ вероятность дефолта ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ соответственно, и ${\displaystyle P(XY)}$ это совместное вероятность дефолта. Стандартное отклонение биномиального события за одну попытку составляет ${\displaystyle {\sqrt {P(X)-(P(X))^{2}}}}$, где P - вероятность исхода X. Следовательно, мы выводим совместный коэффициент зависимости по умолчанию для биномиальных событий ${\displaystyle 1_{\{\tau _{X}\leq T\}}}$и ${\displaystyle 1_{\{\tau _{Y}\leq T\}}}$ так как

${\displaystyle \rho (1_{\{\tau _{X}\leq T\}},1_{\{\tau _{Y}\leq T\}})={\frac {P(XY)-P(X)P(Y)}{{\sqrt {P(X)-(P(X))^{2}}}{\sqrt {P(Y)-(P(Y))^{2}}}}}}$ (5).

По построению уравнение (5) может моделировать только биномиальные события, например, по умолчанию и без по умолчанию. Подход биномиальной корреляции уравнения (5) является предельным случаем подхода корреляции Пирсона, обсуждаемого в разделе 1. Как следствие, существенные недостатки подхода корреляции Пирсона для финансового моделирования применимы также к модели биномиальной корреляции.^{[нужна цитата ]}

Связки корреляции

Довольно недавний, известный и печально известный подход корреляции, применяемый в финансах, - это связка подход. Копулы возвращаются к Скляр (1959).^[9] Копулы были введены в финансы Васичеком (1987).^[10] и Ли (2000).^[11]

Копулы упрощают статистические задачи. Они позволяют объединить несколько одномерных распределений в одно многомерное распределение. Формально функция копулы C преобразует n-мерную функцию на интервале [0,1] в единичную:

${\displaystyle C:[0,1]^{n}\rightarrow [0,1]}$ (6).

Более конкретно, пусть ${\displaystyle u_{i}}$ равномерный случайный вектор с ${\displaystyle u_{i}=u_{1},...,u_{n},u_{i}\in [0,1]}$ и ${\displaystyle i\in N}$. Тогда существует копульная функция ${\displaystyle C}$ такой, что

${\displaystyle C(u_{1},\ldots ,u_{n})=F[F_{1}^{-1}(u_{1}),\ldots ,F_{n}^{-1}(u_{n})]}$ (7)

где F - совместная кумулятивная функция распределения и ${\displaystyle \ F_{i}}$, я = 1, ..., п_я - одномерные маржинальные распределения. ${\displaystyle F_{i}^{-1}}$ является инверсией ${\displaystyle \ F_{i}}$. Если предельные распределения ${\displaystyle F_{i}^{-1}(u_{i})}$ непрерывны, то C единственно. Свойства и доказательства уравнения (11) см. В Sklar (1959) и Nelsen (2006).^[12] Существуют многочисленные типы функций связки. Их можно в общих чертах разделить на однопараметрические связки, такие как гауссова связка и архимедова связка, которые включают копулы Гамбеля, Клейтона и Франка. Часто упоминаются двухпараметрические связки Стьюдента, Фреше и Маршалла-Олкина. Обзор этих связок см. В Nelsen (2006). В финансах копулы обычно применяются для получения коррелированных вероятностей дефолта в портфеле,^{[согласно кому? ]} например в обеспеченное долговое обязательство, CDO. Впервые это сделал Ли в 2006 году. Он определил равномерные поля u_я^{[требуется разъяснение ]} как совокупные вероятности дефолта Q для объекта i в фиксированный момент времени t, ${\displaystyle Q_{i}(t)}$:

${\displaystyle \ u_{i}=Q_{i}(t)}$ (8).

Следовательно, из уравнений (7) и (8) мы выводим гауссову временную копулу по умолчанию CGD,

${\displaystyle C_{GD}(u_{1},\ldots ,u_{n})=M_{n,R}[N_{1}^{-1}(Q_{1}(t)),\ldots ,N_{n}^{-1}(Q_{n}(t))]}$ (9).

В уравнении (9) члены ${\displaystyle N_{i}^{-1}}$ сопоставить совокупные вероятности дефолта Q актива i за время t, ${\displaystyle Q_{i}(t)}$, процентиль к процентилю к стандартной норме. Отображенные стандартные нормальные маргинальные распределения ${\displaystyle N_{i}^{-1}Q_{i}(t)}$ затем соединяются с одним n-мерным распределением ${\displaystyle M_{n,R}}$ путем применения корреляционной структуры многомерного нормального распределения с корреляционной матрицей R. Вероятность n коррелированных значений по умолчанию в момент времени t определяется выражением ${\displaystyle M_{n,R}}$.

Копулы и финансовый кризис 2007–2008 годов

Было написано множество неакадемических статей, демонизирующих подход связки и обвиняющих ее в мировом финансовом кризисе 2007/2008 годов, см., Например, Salmon 2009,^[13] Джонс 2009,^[14] и Лор 2009.^[15] Есть три основных критических замечания по поводу подхода связки: (а) зависимость от хвоста, (б) калибровка, (в) управление рисками..

(а) Хвостовая зависимость

Во время кризиса финансовые корреляции обычно увеличиваются, см. Исследования Даса, Даффи, Кападиа и Сайты (2007).^[16] и Даффи, Экнер, Хорел и Сайта (2009)^[17] и ссылки в нем. Следовательно, было бы желательно применить модель корреляции с высокими совместными движениями в нижнем хвосте совместного распределения. Математически можно показать, что гауссова копула имеет относительно низкую хвостовую зависимость, как видно на следующих диаграммах рассеяния.^{[нужна цитата ]}

Рисунок 1: Диаграммы разброса различных моделей связок

Как видно на рис. 1b, связка Стьюдента демонстрирует более высокую хвостовую зависимость и может лучше подходить для моделирования финансовых корреляций. Кроме того, как видно на Рисунке 1 (c), связка Гамбеля демонстрирует высокую хвостовую зависимость, особенно при отрицательных совместных движениях. Предполагая, что корреляции увеличиваются при снижении цен на активы, копула Гамбеля также может быть хорошим корреляционным подходом для финансового моделирования.^{[нужна цитата ]}

(б) Калибровка

Еще одна критика гауссовой связки - сложность ее калибровки по рыночным ценам. На практике, как правило, один параметр корреляции (не матрица корреляции) используется для моделирования корреляции по умолчанию между любыми двумя организациями в обеспеченном долговом обязательстве, CDO. По идее, этот параметр корреляции должен быть одинаковым для всего портфеля CDO. Однако трейдеры случайным образом изменяют параметр корреляции для разных транши, для получения желаемых спредов по траншам. Трейдеры увеличивают корреляцию для «экстремальных» траншей, таких как транш акций или старших траншей, что называется «улыбкой корреляции». Это похоже на часто цитируемую улыбку подразумеваемой волатильности в модели Блэка – Шоулза – Мертона. Здесь трейдеры увеличивают подразумеваемую волатильность, особенно для пут-опционов «вне денег», но также и для коллов «вне денег» с целью увеличения цены опциона.^{[нужна цитата ]}.

В рамках оптимизации среднего отклонения точная оценка ковариационная матрица имеет первостепенное значение. Таким образом, прогнозирование с помощью моделирования Монте-Карло с гауссовой копулой и четко заданными маргинальными распределениями является эффективным.^[18] Важно позволить процессу моделирования учесть эмпирические характеристики доходности акций, такие как авторегрессия, асимметричная волатильность, асимметрия и эксцесс. Отсутствие учета этих атрибутов приводит к серьезной ошибке оценки корреляций и дисперсий, которые имеют отрицательные смещения (до 70% от истинных значений).^[19]

(c) Управление рисками

Еще одна критика подхода Copula заключается в том, что модель связки статична и, следовательно, допускает только ограниченное управление рисками, см. Finger (2009).^[20] или Доннелли и Эмбрехтс (2010).^[21] Оригинальные модели копул Vasicek (1987) и Li (2000) и несколько расширений модели как Hull and White (2004)^[22] или Грегори и Лоран (2004)^[23] имеют временной горизонт в один период, т.е. являются статичными. В частности, не существует стохастического процесса для критических основных переменных интенсивности по умолчанию и корреляции по умолчанию. Однако даже в этих ранних формулировках связки бэк-тестирование и стресс-тестирование переменных для разных временных горизонтов могут дать ценную чувствительность, см. Whetten and Adelson (2004).^[24] и Мейснер, Гектор и. Расмуссен (2008).^[25] Кроме того, переменные связки можно сделать функцией времени, как в работе Халла, Предеску и Уайта (2005).^[26] Это по-прежнему не создает полностью динамического стохастического процесса с дрейфом и шумом, который обеспечивает гибкое хеджирование и управление рисками. Лучшие решения - это действительно динамические связки, см. Ниже раздел «Динамические связки».

Иррациональное самодовольство

До глобального финансового кризиса 2007–2008 годов многие участники рынка некритически и наивно доверяли модели связки.^{[нужна цитата ]} Однако кризис 2007–2008 годов был не столько вопросом конкретной корреляционной модели, сколько вопросом «иррационального самоуспокоения». В чрезвычайно благоприятный период с 2003 по 2006 годы надлежащее хеджирование, надлежащее управление рисками и результаты стресс-тестов в значительной степени игнорировались.^{[нужна цитата ]} Ярким примером является лондонская дочерняя компания AIG, которая продала свопы кредитного дефолта и обеспеченные долговые обязательства на сумму около 500 миллиардов долларов без какого-либо серьезного хеджирования. Для получения проницательной статьи о неадекватном управлении рисками, ведущем к кризису, см. «Личный взгляд на кризис - Признания риск-менеджера» (The Economist 2008).^[27] В частности, если какая-либо модель кредитной корреляции снабжается благоприятными входными данными, такими как низкая интенсивность дефолтов и низкая корреляция дефолтов, выходные данные риска будут благоприятными, «мусор в мусоре» в терминологии моделирования.^{[нужна цитата ]}

Динамические связки

Основным усовершенствованием моделей копул являются динамические копулы, представленные Albanese et al. (2005)^[28] и (2007).^[29] Подход «динамического кондиционирования» моделирует эволюцию многофакторных сверхрешеток, которые коррелируют процессы возврата каждой сущности на каждом временном шаге. Биномиальные динамические копулы применяют комбинаторные методы, чтобы избежать моделирования Монте-Карло. Более богатые динамические гауссовы связки используют моделирование Монте-Карло и требуют мощных компьютерных технологий.

Моделирование корреляции условно независимого дефолта (CID)

Чтобы не указывать корреляцию по умолчанию между каждой парой сущностей в портфеле, часто применяется факторизация.^{[нужна цитата ]} Это приводит к моделированию условно независимого значения по умолчанию (CID). Наиболее широко применяемой моделью CID является модель однофакторной гауссовой копулы (OFGC). Это была де-факто рыночная модель ценообразования CDO до глобального финансового кризиса 2007/2008 годов.^{[нужна цитата ]} Основное уравнение модели OFGC

${\displaystyle x_{i}={\sqrt {\rho }}M+{\sqrt {1-\rho }}Z_{i}}$ (10)

где ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle Z_{i}}$ случайные рисунки из ${\displaystyle N(0,1)}$ и ${\displaystyle 0\leq \rho \leq 1}$. В результате скрытая переменная ${\displaystyle x_{i}}$, иногда интерпретируется как стоимость активов i, см. Turc, Very, Benhamou and Alvarez et al. (2005),^[30] также n ~ (0,1). Общий фактор ${\displaystyle M}$ можно интерпретировать как экономическую среду, возможно, представленную возвращением S&P 500. ${\displaystyle Z_{i}}$ - это идиосинкразический компонент, «сила» предприятия i, возможно, измеряемый доходностью цены акций предприятия i. Из уравнения (10) мы видим, что корреляция между объектами i моделируется косвенно, обусловливая скрытую переменную ${\displaystyle x_{i}}$ на общий фактор ${\displaystyle M}$. Например, при p = 1 скрытые переменные всех сущностей ${\displaystyle i=1,...,n,\ x_{i}=M}$, так что ${\displaystyle x_{i}}$ идентичны в каждой симуляции. При p = 0 все скрытые переменные для всех сущностей ${\displaystyle i=1,\ldots ,n,\ x_{i}=Z_{i}}$, следовательно ${\displaystyle x_{i}}$ независимы. Важно отметить, что как только мы зафиксируем значение M, значения по умолчанию для n объектов станут (при условии M) взаимно независимыми.^{[нужна цитата ]}

По состоянию на 2010 год ОФГК является основой для управления кредитным риском в Базель II.^{[нужна цитата ]} Преимущества модели - простота и интуитивность. Один из основных недостатков модели заключается в том, что трейдеры, оценивая CDO, случайным образом изменяют параметр корреляции для разных траншей CDO, чтобы достичь желаемых спредов по траншам. Однако концептуально параметр корреляции должен быть одинаковым для всего портфеля.^{[нужна цитата ]}

Моделирование заражения по умолчанию

Моделирование заражения по умолчанию можно рассматривать как разновидность моделирования CID. Как обсуждалось в разделе 2.3, в структуре CID корреляция моделируется путем определения общего рыночного фактора M, который влияет на все организации в одинаковой степени. Чем ниже случайный рисунок для M, тем выше интенсивность по умолчанию для всех сущностей (если ρ = 0). Следовательно, моделирование CID может прояснить кластеризацию по умолчанию. Напротив, подходы заражения моделируют интенсивность сущности по умолчанию как функцию дефолта другой сущности. Следовательно, моделирование дефолта цепной реакции включает риск контрагента, то есть прямое влияние дефолта на интенсивность дефолта другой организации. В частности, после дефолта определенного лица интенсивность дефолта всех активов в портфеле увеличивается. Это заражение по умолчанию затем обычно экспоненциально исчезает до незаразных уровней интенсивности по умолчанию. См. Статьи Дэвиса и Ло (2001).^[31] и Джарроу и Ю (2001),^[32] кто был пионером в моделировании дефолта заражения.

Подходы корреляции сверху вниз

В рамках моделирования кредитной корреляции довольно новым подходом к корреляции является моделирование сверху вниз. Здесь эволюция распределения интенсивности портфеля выводится напрямую, т. Е. Абстрагируясь от значений интенсивности по умолчанию отдельных лиц. Нисходящие модели обычно применяются на практике, если:

• Значения интенсивности отдельных объектов по умолчанию недоступны или ненадежны.
• Интенсивности отдельных объектов по умолчанию не нужны. Это может иметь место при оценке однородного портфеля, такого как индекс однородных предприятий.
• Огромный размер портфеля делает проблематичным моделирование индивидуальной интенсивности дефолтов.

Нисходящие модели обычно более экономны, эффективны с точки зрения вычислений и часто могут быть лучше откалиброваны по рыночным ценам, чем восходящие модели. Хотя такая, казалось бы, важная информация, как интенсивность по умолчанию отдельных лиц, не принимается во внимание, нисходящая модель, как правило, может лучше улавливать свойства портфеля, такие как волатильность или корреляционные улыбки. Кроме того, стандартная информация по отдельным объектам часто может быть получена с помощью методов случайного прореживания, см. Giesecke, Goldberg and Ding (2007).^[33] для подробностей.

В рамках нисходящего подхода Шенбухер (2006)^[34] создает неоднородную по времени Цепь Маркова переходных ставок. Корреляция по умолчанию вводится изменениями волатильности переходных ставок. Для определенных групп параметров более высокая волатильность означает более быстрый переход к более низким состояниям по умолчанию и, как следствие, подразумевает более высокую корреляцию по умолчанию, и наоборот. Точно так же Херд и Кузнецов (2006a)^[35] и (2006b)^[36] вызвать корреляцию путем случайного изменения скорости времени. Более высокая скорость времени означает более быстрый переход в более низкое состояние, возможно, по умолчанию, и в результате увеличивается корреляция по умолчанию, и наоборот. Для сравнительного анализа корреляционных подходов в финансах см. Albanese, Li, Lobachevskiy, and Meissner (2010).^[37]

использованная литература

1. Low, R.K.Y .; Faff, R .; Аас, К. (2016). «Улучшение выбора портфеля среднего значения дисперсии путем моделирования распределительной асимметрии» (PDF). Журнал экономики и бизнеса. 85: 49–72. Дои:10.1016 / j.jeconbus.2016.01.003.
2. Albanese, C .; Д. Ли; Е. Лобачевский; Г. Мейснер (2010). «Сравнительный анализ или корреляционные подходы в финансах». SSRN  1769302.
3. Фантаццинни, Д. (2009). «Влияние неверно указанных маргиналов и связок на вычисление стоимости, подверженной риску: исследование Монте-Карло». Вычислительная статистика и анализ данных. 53 (6): 2168–2188. Дои:10.1016 / j.csda.2008.02.002.
4. Low, R.K.Y .; Faff, R .; Аас, К. (2016). «Улучшение выбора портфеля среднего значения дисперсии путем моделирования распределительной асимметрии» (PDF). Журнал экономики и бизнеса. 85: 49–72. Дои:10.1016 / j.jeconbus.2016.01.003.
5. Моделирование и управление корреляционными рисками: прикладное руководство. Гюнтер Мейснер. Wiley 2014. [1]
6. Махдави Дамгани Б. (2013). «Не вводящая в заблуждение ценность предполагаемой корреляции: Введение в модель коинтелирования». Журнал Wilmott. 2013 (67): 50–61. Дои:10.1002 / wilm.10252.
7. Махдави Дамгани Б .; Welch D .; O'Malley C .; Рыцарей С. (2012). «Вводящее в заблуждение значение измеренной корреляции» (PDF). Журнал Wilmott. Архивировано из оригинал (PDF) 4 ноября 2013 г.. Получено 29 октября, 2013.
8. Лукас, Д. (1995). «Корреляция дефолтов и кредитный анализ». Журнал фиксированного дохода. 4 (4): 76–87. Дои:10.3905 / jfi.1995.408124. S2CID  154557991.
9. Скляр, А. (1959). «Функции перераспределения по размерам и границам». Publications de l'Institut de Statistique de l'Université de Paris. 8: 229–231.
10. Скляр, А. (1987). «Стоимость кредитного портфеля». Журнал РИСК.
11. Ли, Д. (2000). «По умолчанию корреляция: подход связки». Журнал фиксированного дохода. 9 (4): 119–149. Дои:10.3905 / jfi.2000.319253. S2CID  167437822.
12. Нельсен, Р.(2006). Введение в копулы (2-е изд.). Springer.
13. Лосось, Ф. (2009). «Рецепт катастрофы: формула, убившая Уолл-стрит». Проводной журнал.
14. Джонс, С. (24 апреля 2009 г.). «Формула, которая разрушила Уолл-стрит» The Financial Times.
15. Лор, С. (12 сентября 2009 г.). «Мастера математики с Уолл-стрит забыли несколько переменных». Газета "Нью-Йорк Таймс.
16. Das, S .; Д. Даффи; Н. Кападиа; Л. Сайта (февраль 2007 г.). «Распространенные ошибки: как взаимосвязаны корпоративные дефолты». Журнал финансов. LSII, №1: 93–117. CiteSeerX  10.1.1.330.5575. Дои:10.1111 / j.1540-6261.2007.01202.x. S2CID  6474056.
17. Duffie, D .; А. Экнер; Г. Хорель; Л. Сайта (2009). «Хрупкость коррелированного дефолта». Журнал финансов. 64 (5): 2089–2123. CiteSeerX  10.1.1.603.8597. Дои:10.1111 / j.1540-6261.2009.01495.x.
18. Low, R.K.Y .; Faff, R .; Аас, К. (2016). «Улучшение выбора портфеля среднего значения дисперсии путем моделирования распределительной асимметрии» (PDF). Журнал экономики и бизнеса. 85: 49–72. Дои:10.1016 / j.jeconbus.2016.01.003.
19. Фантаццинни, Д. (2009). «Влияние неверно указанных маргиналов и связок на вычисление стоимости, подверженной риску: исследование Монте-Карло». Вычислительная статистика и анализ данных. 53 (6): 2168–2188. Дои:10.1016 / j.csda.2008.02.002.
20. Фингер, К. (зима 2009 г.). «Тестирование хеджирования в рамках стандартной модели ценообразования траншированных кредитов». Журнал RiskMetrics. SSRN  1356015.
21. Donnelly, C .; Эмбрехтс, П. (2010). «Дьявол в хвосте: актуарная математика и кризис субстандартного ипотечного кредитования» (PDF). Бюллетень АСТИН. 40 (1): 1–33. Дои:10.2143 / AST.40.1.2049222. HDL:20.500.11850/20517.
22. Hull, J .; А. Уайт (2004). «Оценка CDO и дефолтного CDS без моделирования Монте-Карло». Журнал производных финансовых инструментов. 12 (2): 8–23. Дои:10.3905 / jod.2004.450964. S2CID  13976617.
23. Грегори, Дж .; Лоран, Дж. П. (Октябрь 2004 г.). «В основе корреляции». РИСК.
24. Whetten, M .; М. Адельсон (2004). "The Bespoke - Руководство по однотраншевым синтетическим CDO". Nomura Fixed Income Research.
25. Meissner, G .; Hector, R .; Расмуссен, Т. (2008). «Хеджирование CDO в однофакторной структуре Gaussian Copula / Полное руководство по CDO». Книги о рисках.
26. Халл, Джон С .; Предеску, Мирела; Белый, Алан (1 января 2005 г.). «Оценка корреляционно-зависимых кредитных деривативов с использованием структурной модели». Дои:10.2139 / ssrn.686481. SSRN  686481.
27. «Признания риск-менеджера». Экономист. 9 апреля 2008 г.. Получено 30 сентября, 2013.
28. Albanese, C .; О. Чен; А. Далессандро; А. Видлер (2005), Моделирование динамической кредитной корреляции (рабочий документ)
29. Albanese, C .; А. Видлер (2007). «Корзины динамического кондиционирования и кредитной корреляции (рабочий документ)».
30. Turc, J .; П. Очень; Д. Бенхаму; В. Альварес (2005). «Ценообразование с улыбкой» (исследование кредитных историй SG) ».
31. Дэвис, М .; Ло, В. (2001). «Инфекционные дефолты». Количественные финансы 1.
32. Jarrow, R .; Ю. Ф. (2001). «Риск контрагента и цена ценных бумаг, подлежащих дефолту». Журнал финансов. 56 (5): 1765–1799. CiteSeerX  10.1.1.2.3743. Дои:10.1111/0022-1082.00389.
33. Giesecke, K .; Л. Гольдберг; X. Дин (2009). «Подход к кредитованию нескольких имен сверху вниз». Исследование операций. 59 (2): 283–300. CiteSeerX  10.1.1.139.6466. Дои:10.1287 / opre.1100.0855.
34. Шенбухер, П. (2006). «Портфельные убытки и временная структура переходных ставок убытков: новая методология ценообразования портфельных кредитных деривативов (Рабочий документ)».
35. Hurd, T.R .; Кузнецов, А. (2006). "Модель аффинной марковской цепи мультифирменной кредитной миграции". Журнал кредитных рисков. 2006а (3).
36. Hurd, T.R .; Кузнецов, А. (2006). «Быстрые вычисления CDO в модели аффинной цепи Маркова». Журнал кредитных рисков. 2006b.
37. Albanese, C .; Д. Ли; Е. Лобачевский; Г. Мейснер (2010). «Сравнительный анализ или корреляционные подходы в финансах». SSRN  1769302.