Финансовые модели с длиннохвостым распределением и кластеризацией волатильности - Financial models with long-tailed distributions and volatility clustering

Финансовые модели с длиннохвостым распределением и кластеризацией волатильности были введены для преодоления проблем с реалистичностью классических финансовых моделей. Эти классические модели финансового Временные ряды обычно предполагают гомоскедастичность и нормальность не может объяснить стилизованные явления, такие как перекос, тяжелые хвосты, и кластеризация волатильности эмпирической доходности активов в финансах. В 1963 г. Бенуа Мандельброт впервые использовал стабильный (или ${displaystyle alpha }$-стабильное) распространение для моделирования эмпирических распределений, которые обладают свойством асимметрии и тяжелого хвоста. С ${displaystyle alpha }$-стабильные распределения имеют бесконечное ${displaystyle p}$-ые моменты для всех ${displaystyle p>alpha }$, были предложены умеренные стабильные процессы для преодоления этого ограничения устойчивого распределения.

С другой стороны, ГАРЧ были разработаны модели, объясняющие кластеризация волатильности. В модели GARCH предполагается, что инновационное (или остаточное) распределение является стандартным нормальным распределением, несмотря на то, что это предположение часто отклоняется эмпирически. По этой причине были разработаны модели GARCH с ненормальным распределением инноваций.

Многие финансовые модели со стабильным и умеренно стабильным распределением вместе с кластеризацией волатильности были разработаны и применяются для управления рисками, ценообразования опционов и выбора портфеля.

Бесконечно делимые распределения

Случайная величина ${displaystyle Y}$ называется бесконечно делимый если для каждого ${displaystyle n=1,2,dots }$, Существуют независимые и одинаково распределенные случайные величины

${displaystyle Y_{n,1},Y_{n,2},dots ,Y_{n,n},}$

такой, что

${displaystyle Y{stackrel {mathrm {d} }{=}}sum _{k=1}^{n}Y_{n,k},,}$

куда ${displaystyle {stackrel {mathrm {d} }{=}}}$ обозначает равенство в распределении.

А Мера Бореля ${displaystyle u }$ на ${displaystyle mathbb {R} }$ называется Мера Леви если ${displaystyle u ({0})=0}$ и

${displaystyle int _{mathbb {R} }(1wedge |x^{2}|),u (dx)<infty .}$

Если ${displaystyle Y}$ бесконечно делится, то характеристическая функция${displaystyle phi _{Y}(u)=E[e^{iuY}]}$ дан кем-то

${displaystyle phi _{Y}(u)=exp left(igamma u-{frac {1}{2}}sigma ^{2}u^{2}+int _{-infty }^{infty }(e^{iux}-1-iux1_{|x|leq 1}),u (dx)ight),sigma geq 0,~~gamma in mathbb {R} }$

куда ${displaystyle sigma geq 0}$, ${displaystyle gamma in mathbb {R} }$ и ${displaystyle u }$ - мера Леви, здесь тройка ${displaystyle (sigma ^{2},u ,gamma )}$ называется Леви тройка ${displaystyle Y}$. Эта тройка уникальна. И наоборот, при любом выборе ${displaystyle (sigma ^{2},u ,gamma )}$ удовлетворяющая указанным выше условиям, существует безгранично делимая случайная величина ${displaystyle Y}$ характеристическая функция которого задается как ${displaystyle phi _{Y}}$.

α-Стабильные дистрибутивы

Случайная величина с действительным знаком ${displaystyle X}$ говорят, что имеет${displaystyle alpha }$-стабильная раздача если для любого ${displaystyle ngeq 2}$, есть положительное число ${displaystyle C_{n}}$ и реальное число ${displaystyle D_{n}}$ такой, что

${displaystyle X_{1}+cdots +X_{n}{stackrel {mathrm {d} }{=}}C_{n}X+D_{n},,}$

куда ${displaystyle X_{1},X_{2},dots ,X_{n}}$ независимы и имеют то же распределение, что и ${displaystyle X}$. Все стабильные случайные величины безгранично делимы. Известно, что ${displaystyle C_{n}=n^{1/alpha }}$ для некоторых ${displaystyle 0<alpha leq 2}$. Стабильная случайная переменная ${displaystyle X}$ с индексом ${displaystyle alpha }$ называется${displaystyle alpha }$-стабильная случайная величина.

Позволять ${displaystyle X}$ быть ${displaystyle alpha }$-стабильная случайная величина. Тогда характеристическая функция ${displaystyle phi _{X}}$ из ${displaystyle X}$ дан кем-то

${displaystyle phi _{X}(u)={egin{cases}exp left(imu u-sigma ^{alpha }|u|^{alpha }left(1-ieta operatorname {sgn} (u) an left({frac {pi alpha }{2}}ight)ight)ight)&{ ext{if }}alpha in (0,1)cup (1,2)exp left(imu u-sigma |u|left(1+ieta operatorname {sgn} (u)left({frac {2}{pi }}ight)ln(|u|)ight)ight)&{ ext{if }}alpha =1exp left(imu u-{frac {1}{2}}sigma ^{2}u^{2}ight)&{ ext{if }}alpha =2end{cases}}}$

для некоторых ${displaystyle mu in mathbb {R} }$, ${displaystyle sigma >0}$ и ${displaystyle eta in [-1,1]}$.

Закаленные стабильные дистрибутивы

Бесконечно делимое распределение называется классический темперированныйстабильное (CTS) распространение с параметром${displaystyle (C_{1},C_{2},lambda _{+},lambda _{-},alpha )}$, если его тройка Леви ${displaystyle (sigma ^{2},u ,gamma )}$ дан кем-то${displaystyle sigma =0}$, ${displaystyle gamma in mathbb {R} }$ и

${displaystyle u (dx)=left({frac {C_{1}e^{-lambda _{+}x}}{x^{1+alpha }}}1_{x>0}+{frac {C_{2}e^{-lambda _{-}|x|}}{|x|^{1+alpha }}}1_{x<0}ight),dx,}$

куда ${displaystyle C_{1},C_{2},lambda _{+},lambda _{-}>0}$ и ${displaystyle alpha <2}$.

Этот дистрибутив был впервые представлен под названием Усеченные рейсы Леви^[1] и был назван закаленная конюшня или KoBoL распределение.^[2] В частности, если${displaystyle C_{1}=C_{2}=C>0}$, то это распределение называется распределением CGMY, которое использовалось для финансового моделирования.^[3]

Характеристическая функция ${displaystyle phi _{CTS}}$ для умеренного стабильного распределения дается

${displaystyle phi _{CTS}(u)=exp left(iumu +C_{1}Gamma (-alpha )((lambda _{+}-iu)^{alpha }-lambda _{+}^{alpha })+C_{2}Gamma (-alpha )((lambda _{-}+iu)^{alpha }-lambda _{-}^{alpha })ight),}$

для некоторых ${displaystyle mu in mathbb {R} }$. Более того, ${displaystyle phi _{CTS}}$ может быть распространен на регион ${displaystyle {zin mathbb {C} :operatorname {Im} (z)in (-lambda _{-},lambda _{+})}}$.

Росинский обобщил распределение CTS под названиемумеренное стабильное распределение. Распределение KR, которое является подклассом обобщенных умеренных стабильных распределений Росинского, используется в финансах.^[4]

Бесконечно делимое распределение называется модифицированное умеренное стабильное распределение (MTS) с параметром ${displaystyle (C,lambda _{+},lambda _{-},alpha )}$, если его тройка Леви ${displaystyle (sigma ^{2},u ,gamma )}$ дан кем-то${displaystyle sigma =0}$, ${displaystyle gamma in mathbb {R} }$ и

${displaystyle u (dx)=Cleft({frac {q_{alpha }(lambda _{+}|x|)}{x^{alpha +1}}}1_{x>0}+{frac {q_{alpha }(lambda _{-}|x|)}{|x|^{alpha +1}}}1_{x<0}ight),dx,}$

куда ${displaystyle C,lambda _{+},lambda _{-}>0,alpha <2}$ и

${displaystyle q_{alpha }(x)=x^{frac {alpha +1}{2}}K_{frac {alpha +1}{2}}(x).}$

Здесь ${displaystyle K_{p}(x)}$ является модифицированной функцией Бесселя второго рода. Распределение MTS не входит в класс обобщенных умеренных устойчивых распределений Росинского.^[5]

Кластеризация волатильности со стабильными и умеренно стабильными инновациями

Чтобы описать эффект кластеризации волатильности процесса возврата актива, ГАРЧ модель может быть использована. В модели GARCH инновации (${displaystyle ~epsilon _{t}~}$) предполагается, что ${displaystyle ~epsilon _{t}=sigma _{t}z_{t}~}$, куда${displaystyle z_{t}sim iid~N(0,1)}$ и где серия ${displaystyle sigma _{t}^{2}}$ моделируются

${displaystyle sigma _{t}^{2}=alpha _{0}+alpha _{1}epsilon _{t-1}^{2}+cdots +alpha _{q}epsilon _{t-q}^{2}=alpha _{0}+sum _{i=1}^{q}alpha _{i}epsilon _{t-i}^{2}}$

и где ${displaystyle ~alpha _{0}>0~}$ и ${displaystyle alpha _{i}geq 0,~i>0}$.

Однако предположение ${displaystyle z_{t}sim iid~N(0,1)}$ часто отклоняется эмпирически. По этой причине были разработаны новые модели GARCH со стабильными или умеренно стабильными распределенными инновациями. Модели GARCH с ${displaystyle alpha }$-внедрены стабильные инновации.^[6][7][8] Впоследствии были разработаны модели GARCH со стабильными инновациями.^[5][9]

Возражения против использования стабильных распределений в финансовых моделях приведены в ^[10][11]

Примечания

1. Копонен И. (1995) "Аналитический подход к проблеме сходимости усеченных полетов Леви к гауссовскому случайному процессу", Физический обзор E, 52, 1197–1199.
2. С. И. Боярченко, С. З. Левендорский (2000) "Оценка опционов для усеченных процессов Леви", Международный журнал теоретических и прикладных финансов, 3 (3), 549–552
3. П. Карр, Х. Геман, Д. Мадан, М. Йор (2002) "Тонкая структура доходов от активов: эмпирическое исследование", Журнал Бизнеса, 75 (2), 305–332.
4. Kim, Y.S .; Рачев, Светлозар Т.;, Бьянки, М.Л .; Fabozzi, F.J. (2007) «Новое умеренное стабильное распределение и его применение в финансах». В: Георг Бол, Светлозар Т. Рачев и Рейнольд Вюрт (ред.), Оценка рисков: решения в банковском деле и финансах, Physika Verlag, Springer
5. Ким, Ю.С., Чунг, Д.М., Рачев, Светлозар Т .; М. Л. Бьянки, Модифицированное умеренное стабильное распределение, модели GARCH и цены на опционы, Вероятность и математическая статистика, появиться
6. К. Менн, Светлозар Т. Рачев (2005) "Модель ценообразования опционов GARCH с ${displaystyle alpha }$-стабильные инновации », Европейский журнал операционных исследований, 163, 201–209
7. К. Менн, Светлозар Т. Рачев (2005) «Плавно усеченные стабильные распределения, модели GARCH и цены на опционы», Технический отчет. Статистика и математические финансы, Школа экономики и бизнес-инженерии, Университет Карлсрух
8. Светлозар Т. Рачев, К. Менн, Фрэнк Дж. Фабоцци (2005) Неуклонное и искаженное распределение доходности активов: последствия для управления рисками, выбора портфеля и ценообразования опционов, Wiley
9. Kim, Y.S .; Рачев, Светлозар Т .; Микеле Л. Бьянки, Fabozzi, F.J. (2008) «Модели финансового рынка с процессами Леви и изменяющейся во времени волатильностью», Журнал банковского дела и финансов, 32 (7), 1363–1378 Дои:10.1016 / j.jbankfin.2007.11.004
10. Лев Б. Клебанов, Ирина Волченкова (2015) «Распределения с тяжелыми хвостами в финансах: реальность или суть? Взгляд любителей», arXiv: 1507.07735v1, 1-17.
11. Лев Б. Клебанов (2016) «Пожалуйста, никаких стабильных распределений в финансах!», ArXiv: 1601.00566v2, 1-9.

Рекомендации

• Б. Б. Мандельброт (1963) "Новые методы в статистической экономике", Журнал политической экономии, 71, 421-440
• Светлозар Т. Рачев, Стефан Миттник (2000) Стабильные паретианские модели в финансах, Wiley
• Г. Самородницкий и М. С. Такку, Устойчивые негауссовские случайные процессы., Чепмен и Холл / CRC.
• С. И. Боярченко, С. З. Левендорский (2000) "Оценка опционов для усеченных процессов Леви", Международный журнал теоретических и прикладных финансов, 3 (3), 549–552.
• Я. Росинский (2007) "Закалка стабильных процессов", Случайные процессы и их приложения, 117 (6), 677–707.