Уравнение фишера - Fisher equation

В Уравнение фишера в финансовая математика и экономика оценивает соотношение между номинальной и реальной процентные ставки под инфляция. Он назван в честь Ирвинг Фишер, прославившийся работами над теория интереса. В финансы, уравнение Фишера в основном используется в YTM расчеты облигации или IRR расчеты вложения. В экономике это уравнение используется для прогнозирования поведения номинальной и реальной процентной ставки.

Сдача $р$ обозначить реальная процентная ставка, $я$ обозначить номинальная процентная ставка, и разреши $π$ обозначить уровень инфляции, а линейное приближение, но уравнение Фишера часто записывают в виде равенства:

{ Displaystyle я = г + пи}

Уравнение Фишера можно использовать в любом ex-ante (до) или после (после) анализа. Постфактум его можно использовать для описания реальной покупательной способности ссуды:

{ Displaystyle г = я- пи}

Преобразован в ожидания дополнили уравнение Фишера и учитывая желаемую реальную доходность и ожидаемый уровень инфляции $π е$ (с надстрочным индексом $е$ означает «ожидаемый») в течение периода ссуды, его можно использовать как предварительную версию для определения номинальной ставки, которая должна взиматься по ссуде:

{ Displaystyle я = г + пи ^ {е}}

Это уравнение существовало до Фишера,^[1]^[2]^[3] но Фишер предложил лучшее приближение, которое приводится ниже. Приближение может быть получено из точного уравнения:

{ displaystyle 1 + i = (1 + r) (1+ pi).}

Вывод

Хотя временные индексы иногда опускаются, интуиция, лежащая в основе уравнения Фишера, - это связь между номинальной и реальной процентной ставкой через инфляция и процентное изменение уровня цен между двумя периодами времени. Итак, предположим, что кто-то покупает облигацию на 1 доллар в период $т$ а процентная ставка $я т$ . При погашении в период $т + 1$ , покупатель получит $(1 + я т)$ долларов. Однако если уровень инфляции на $т + 1$ ожидается $π т +1$ , то приведенная стоимость выручки от облигации равна $(1 + я т) / (1 + π т +1)$ , что эквивалентно реальному росту при $т + 1$ как дано $(1 + р т +1)$ . Следовательно,

{ displaystyle (1 + r_ {t + 1}) = { frac {1 + i_ {t}} {1+ pi _ {t + 1}}}}

Отсюда можно рассчитать номинальную процентную ставку.

{ Displaystyle { begin {align} 1 + i_ {t} & = left (1 + r_ {t + 1} right) left (1+ pi _ {t + 1} right) & = 1 + r_ {t + 1} + pi _ {t + 1} + r_ {t + 1} pi _ {t + 1} end {align}}}

Следовательно,

{ Displaystyle { begin {align} i_ {t} & = r_ {t + 1} + pi _ {t + 1} + r_ {t + 1} pi _ {t + 1} & ок. г_ {т + 1} + пи _ {т + 1} конец {выровнено}}}

Последняя строка следует из предположения, что и реальные процентные ставки, и уровень инфляции довольно малы (возможно, порядка нескольких процентов, хотя это зависит от приложения), поэтому $р т +1 + π т +1$ намного больше, чем $р т +1 π т +1$ и так $р т +1 π т +1$ можно уронить.

Более формально это линейное приближение дается с использованием двух 1-го порядка Разложения Тейлора, а именно:

{ displaystyle { begin {align} { frac {1} {1 + x}} & приблизительно 1-x, (1 + x) (1 + y) & приблизительно 1 + x + y. конец {выровнен}}}

Объединение этих результатов дает приближение:

{ displaystyle 1 + r = { frac {1 + i} {1+ pi}} приблизительно (1 + i) (1- pi) приблизительно 1 + i- pi,}

и, следовательно

{ Displaystyle г приблизительно я- пи.}

Эти приближения, действительные только для небольших изменений, могут быть заменены равенствами, действительными для любых изменений размера, если логарифмические единицы используются.

Приложения

Анализ выгоды и затрат

Как подробно описано Стив Ханке, Филип Карвер и Пол Багг (1975),^[4] анализ выгоды и затрат могут быть сильно искажены, если не применять точное уравнение Фишера. Цены и процентные ставки должны прогнозироваться в реальном или номинальном выражении.

В целях анализа затрат и выгод инфляцию можно последовательно обрабатывать одним из двух способов. Во-первых, при расчете приведенной стоимости ожидаемых чистых выгод цены и процентные ставки могут быть рассчитаны в реальном выражении. То есть ни в цены, ни в процентные ставки не учитываются инфляционные компоненты. Второй подход включает инфляцию как в расчет цены, так и в расчет процентной ставки; расчеты производятся в номинальном выражении. Как подробно описано ниже, оба подхода эквивалентны, если и цены, и процентные ставки прогнозируются в реальном выражении или оба прогнозируются в номинальном выражении.

Например, предположим, что $Z я$ представляет собой недисконтированную ожидаемую чистую прибыль на конец года $т$ , оцениваемые в постоянных ценах, и $р т, я т$ , и $р т$ реальная процентная ставка, ожидаемый уровень инфляции и номинальная процентная ставка за год $т, т = 1, ..., п$ , соответственно. Приведенная стоимость ожидаемой чистой прибыли $ПВНБ$ дан кем-то

{ displaystyle { text {PVNB}} = { frac {Z_ {1}} {1 + R_ {1}}} + { frac {Z_ {2}} {(1 + R_ {1}) (1 + R_ {2})}} + cdots + { frac {Z_ {n}} {(1 + R_ {1}) cdots (1 + R_ {n})}}}

где компоненты инфляции не включены ни в цены, ни в процентную ставку. В качестве альтернативы приведенная стоимость ожидаемых чистых выгод определяется как

{ displaystyle { text {PVNB}} = { frac {Z_ {1} (1 + I_ {1})} {1 + r_ {1}}} + { frac {Z_ {2} (1 + I_ {1}) (1 + I_ {2})} {(1 + r_ {1}) (1 + r_ {2})}} + cdots + { frac {Z_ {n} (1 + I_ {1 }) cdots (1 + I_ {n})} {(1 + r_ {1}) cdots (1 + r_ {n})}}}

или через связь, продиктованную точным уравнением Фишера

{ displaystyle { begin {align} { text {PVNB}} & = { frac {Z_ {1} (1 + I_ {1})} {(1 + R_ {1}) (1 + I_ {1 })}} + { frac {Z_ {2} (1 + I_ {1}) (1 + I_ {2})} {(1 + R_ {1}) (1 + R_ {2}) (1+ I_ {1}) (1 + I_ {2})}} + cdots [8pt] & {} qquad cdots + { frac {Z_ {n} (1 + I_ {1}) cdots ( 1 + I_ {n})} {(1 + R_ {1}) cdots (1 + R_ {n}) (1 + I_ {1}) cdots (1 + I_ {n})}} end { выровнено}}}

При наблюдении за приведенными выше уравнениями становится ясно, что приведенная стоимость чистых выгод, полученных с помощью любого уравнения, будет идентична. Это снимает вопрос о том, проводить ли анализ затрат и выгод в постоянных или номинальных ценах.

Облигации с индексом инфляции

Уравнение Фишера имеет важное значение при торговле облигации с индексом инфляции, где изменения купонных выплат являются результатом изменения безубыточной инфляции, реальных процентных ставок и номинальных процентных ставок.^{[нужна цитата ]}

Денежно-кредитная политика

Уравнение Фишера играет ключевую роль в Гипотеза Фишера, который утверждает, что реальная процентная ставка не зависит от денежно-кредитной политики и, следовательно, не зависит от ожидаемого уровня инфляции. При фиксированной реальной процентной ставке данное процентное изменение ожидаемого уровня инфляции, согласно уравнению, обязательно будет встречаться с равным процентным изменением номинальной процентной ставки в том же направлении.

Смотрите также

дальнейшее чтение

Барро, Роберт Дж. (1997), Макроэкономика (5-е изд.), Кембридж: MIT Press, ISBN 0-262-02436-5.
Фишер, Ирвинг (1977) [1930]. Теория интереса. Филадельфия: Porcupine Press. ISBN 0-87991-864-0.

[1] ttps://archive.org/details/appreciationinte00fish

[2] ttp://www.policonomics.com/irving-fisher/

[3] ttp://199.169.211.101/publications/research/economic_review/1983/pdf/er690301.pdf^{[постоянная мертвая ссылка ]}

[4] Ханке, Стив Х. «Повторная оценка проекта во время инфляции: решение проблемы относительного изменения цен Терви». Исследование водных ресурсов. 17: 1737–1738. Bibcode:1981WRR .... 17.1737H. Дои:10.1029 / WR017i006p01737.

[1]

[2]

[3]

[4]