Flamant раствор - Flamant solution

Упругий клин, нагруженный двумя силами на конце

В Flamant раствор дает выражения для подчеркивает и смещения в линейная эластичность клин нагружен точечными силами на остром конце. Это решение было разработано A. Flamant. ^[1] в 1892 году путем модификации трехмерного решения Буссинеск.

Напряжения, предсказанные решением Flamant, равны (в полярные координаты )

${displaystyle {egin{aligned}sigma _{rr}&={frac {2C_{1}cos heta }{r}}+{frac {2C_{3}sin heta }{r}}sigma _{r heta }&=0sigma _{ heta heta }&=0end{aligned}}}$

где ${displaystyle C_{1},C_{3}}$ - константы, которые определяются из граничных условий и геометрии клина (т. е. углов ${displaystyle alpha ,eta }$) и удовлетворить

${displaystyle {egin{aligned}F_{1}&+2int _{alpha }^{eta }(C_{1}cos heta +C_{3}sin heta ),cos heta ,d heta =0F_{2}&+2int _{alpha }^{eta }(C_{1}cos heta +C_{3}sin heta ),sin heta ,d heta =0end{aligned}}}$

где ${displaystyle F_{1},F_{2}}$ - приложенные силы.

Проблема клина самоподобный и не имеет собственной шкалы длины. Кроме того, все количества могут быть выражены в форме разделенных переменных. ${displaystyle sigma =f(r)g( heta )}$. Напряжения изменяются как ${displaystyle (1/r)}$.

Силы, действующие в полуплоскости

Упругая полуплоскость, нагруженная двумя точечными силами.

Для особого случая, когда ${displaystyle alpha =-pi }$, ${displaystyle eta =0}$клин превращается в полуплоскость с нормальной силой и касательной силой. В этом случае

${displaystyle C_{1}=-{frac {F_{1}}{pi }},quad C_{3}=-{frac {F_{2}}{pi }}}$

Следовательно, напряжения

${displaystyle {egin{aligned}sigma _{rr}&=-{frac {2}{pi ,r}}(F_{1}cos heta +F_{2}sin heta )sigma _{r heta }&=0sigma _{ heta heta }&=0end{aligned}}}$

и смещения (используя Решение Michell )

${displaystyle {egin{aligned}u_{r}&=-{cfrac {1}{4pi mu }}left[F_{1}{(kappa -1) heta sin heta -cos heta +(kappa +1)ln rcos heta }+ight.&qquad qquad left.F_{2}{(kappa -1) heta cos heta +sin heta -(kappa +1)ln rsin heta }ight]u_{ heta }&=-{cfrac {1}{4pi mu }}left[F_{1}{(kappa -1) heta cos heta -sin heta -(kappa +1)ln rsin heta }-ight.&qquad qquad left.F_{2}{(kappa -1) heta sin heta +cos heta +(kappa +1)ln rcos heta }ight]end{aligned}}}$

В ${displaystyle ln r}$ Зависимость перемещений означает, что перемещение растет по мере удаления от точки приложения силы (и не ограничено на бесконечности). Эта особенность решения Flamant сбивает с толку и кажется нефизической. Обсуждение вопроса см. http://imechanica.org/node/319.

Перемещения на поверхности полуплоскости

Смещения в ${displaystyle x_{1},x_{2}}$ направления на поверхности полуплоскости задаются

${displaystyle {egin{aligned}u_{1}&={frac {F_{1}(kappa +1)ln |x_{1}|}{4pi mu }}+{frac {F_{2}(kappa +1){ ext{sign}}(x_{1})}{8mu }}u_{2}&={frac {F_{2}(kappa +1)ln |x_{1}|}{4pi mu }}+{frac {F_{1}(kappa +1){ ext{sign}}(x_{1})}{8mu }}end{aligned}}}$

где

${displaystyle kappa ={egin{cases}3-4u &qquad { ext{plane strain}}{cfrac {3-u }{1+u }}&qquad { ext{plane stress}}end{cases}}}$

${displaystyle u }$ это Коэффициент Пуассона, ${displaystyle mu }$ это модуль сдвига, и

${displaystyle { ext{sign}}(x)={egin{cases}+1&x>0-1&x<0end{cases}}}$

Получение раствора Flamant

Если предположить, что напряжения изменяются как ${displaystyle (1/r)}$, мы можем выбрать термины, содержащие ${displaystyle 1/r}$ в стрессах от Решение Michell. Тогда Функция воздушного стресса можно выразить как

${displaystyle varphi =C_{1}r heta sin heta +C_{2}rln rcos heta +C_{3}r heta cos heta +C_{4}rln rsin heta }$

Следовательно, из таблиц в Решение Michell, у нас есть

${displaystyle {egin{aligned}sigma _{rr}&=C_{1}left({frac {2cos heta }{r}}ight)+C_{2}left({frac {cos heta }{r}}ight)+C_{3}left({frac {2sin heta }{r}}ight)+C_{4}left({frac {sin heta }{r}}ight)sigma _{r heta }&=C_{2}left({frac {sin heta }{r}}ight)+C_{4}left({frac {-cos heta }{r}}ight)sigma _{ heta heta }&=C_{2}left({frac {cos heta }{r}}ight)+C_{4}left({frac {sin heta }{r}}ight)end{aligned}}}$

Константы ${displaystyle C_{1},C_{2},C_{3},C_{4}}$ тогда, в принципе, можно определить из геометрии клина и применяемого граничные условия.

Однако сосредоточенные нагрузки в вершине трудно выразить через тяга граничные условия потому что

1. единичная внешняя нормаль в вершине не определена
2. силы прилагаются к точке (которая имеет нулевую площадь) и, следовательно, тяга в этой точке бесконечна.

Ограниченный упругий клин для уравновешивания сил и моментов.

Чтобы обойти эту проблему, рассмотрим ограниченную область клина и рассмотрим состояние равновесия ограниченного клина.^[2][3] Пусть ограниченный клин имеет две поверхности без тяги и третью поверхность в виде дуги окружности радиуса ${displaystyle a,}$. Вдоль дуги окружности единица внешней нормали равна ${displaystyle mathbf {n} =mathbf {e} _{r}}$ где базисные векторы ${displaystyle (mathbf {e} _{r},mathbf {e} _{ heta })}$. Тяга на дуге

${displaystyle mathbf {t} ={oldsymbol {sigma }}cdot mathbf {n} quad implies t_{r}=sigma _{rr},~t_{ heta }=sigma _{r heta }~.}$

Далее исследуем равновесие сил и моментов в ограниченном клине и получаем

${displaystyle {egin{aligned}sum f_{1}&=F_{1}+int _{alpha }^{eta }left[sigma _{rr}(a, heta )~cos heta -sigma _{r heta }(a, heta )~sin heta ight]~a~d heta =0sum f_{2}&=F_{2}+int _{alpha }^{eta }left[sigma _{rr}(a, heta )~sin heta +sigma _{r heta }(a, heta )~cos heta ight]~a~d heta =0sum m_{3}&=int _{alpha }^{eta }left[a~sigma _{r heta }(a, heta )ight]~a~d heta =0end{aligned}}}$

Потребуем, чтобы эти уравнения выполнялись для всех значений ${displaystyle a,}$ и тем самым удовлетворить граничные условия.

Без тяги граничные условия по краям ${displaystyle heta =alpha }$ и ${displaystyle heta =eta }$ также подразумевают, что

${displaystyle sigma _{r heta }=sigma _{ heta heta }=0qquad { ext{at}}~~ heta =alpha , heta =eta }$

кроме того момента ${displaystyle r=0}$.

Если предположить, что ${displaystyle sigma _{r heta }=0}$ везде, то выполняются условия отсутствия тяги и уравнение моментного равновесия, и остается

${displaystyle {egin{aligned}F_{1}&+int _{alpha }^{eta }sigma _{rr}(a, heta )~a~cos heta ~d heta =0F_{2}&+int _{alpha }^{eta }sigma _{rr}(a, heta )~a~sin heta ~d heta =0end{aligned}}}$

и ${displaystyle sigma _{ heta heta }=0}$ вместе ${displaystyle heta =alpha , heta =eta }$ кроме того момента ${displaystyle r=0}$. Но поле ${displaystyle sigma _{ heta heta }=0}$ везде также удовлетворяет уравнениям силового равновесия. Следовательно, это должно быть решение. Также предположение ${displaystyle sigma _{r heta }=0}$ подразумевает, что ${displaystyle C_{2}=C_{4}=0}$.

Следовательно,

${displaystyle sigma _{rr}={frac {2C_{1}cos heta }{r}}+{frac {2C_{3}sin heta }{r}}~;~~sigma _{r heta }=0~;~~sigma _{ heta heta }=0}$

Чтобы найти конкретное решение для ${displaystyle sigma _{rr}}$ мы должны вставить выражение для ${displaystyle sigma _{rr}}$ в уравнения равновесия сил, чтобы получить систему двух уравнений, которые необходимо решить для ${displaystyle C_{1},C_{3}}$:

${displaystyle {egin{aligned}F_{1}&+2int _{alpha }^{eta }(C_{1}cos heta +C_{3}sin heta )~cos heta ~d heta =0F_{2}&+2int _{alpha }^{eta }(C_{1}cos heta +C_{3}sin heta )~sin heta ~d heta =0end{aligned}}}$

Силы, действующие в полуплоскости

Если мы возьмем ${displaystyle alpha =-pi }$ и ${displaystyle eta =0}$, проблема преобразуется в проблему, в которой нормальная сила ${displaystyle F_{2}}$ и касательная сила ${displaystyle F_{1}}$ действуют в полуплоскости. В этом случае уравнения силового равновесия принимают вид

${displaystyle {egin{aligned}F_{1}&+2int _{-pi }^{0}(C_{1}cos heta +C_{3}sin heta )~cos heta ~d heta =0qquad implies F_{1}+C_{1}pi =0F_{2}&+2int _{-pi }^{0}(C_{1}cos heta +C_{3}sin heta )~sin heta ~d heta =0qquad implies F_{2}+C_{3}pi =0end{aligned}}}$

Следовательно

${displaystyle C_{1}=-{cfrac {F_{1}}{pi }}~;~~C_{3}=-{cfrac {F_{2}}{pi }}~.}$

Напряжения для этой ситуации

${displaystyle sigma _{rr}=-{frac {2}{pi r}}(F_{1}cos heta +F_{2}sin heta )~;~~sigma _{r heta }=0~;~~sigma _{ heta heta }=0}$

Используя таблицы смещения из Решение Michell, перемещения для этого случая даются

${displaystyle {egin{aligned}u_{r}&=-{cfrac {1}{4pi mu }}left[F_{1}{(kappa -1) heta sin heta -cos heta +(kappa +1)ln rcos heta }+ight.&qquad qquad left.F_{2}{(kappa -1) heta cos heta +sin heta -(kappa +1)ln rsin heta }ight]u_{ heta }&=-{cfrac {1}{4pi mu }}left[F_{1}{(kappa -1) heta cos heta -sin heta -(kappa +1)ln rsin heta }-ight.&qquad qquad left.F_{2}{(kappa -1) heta sin heta +cos heta +(kappa +1)ln rcos heta }ight]end{aligned}}}$

Смещения на поверхности полуплоскости

Чтобы найти выражения для перемещений на поверхности полуплоскости, сначала найдем перемещения для положительных ${displaystyle x_{1}}$ (${displaystyle heta =0}$) и отрицательный ${displaystyle x_{1}}$ (${displaystyle heta =pi }$) имея в виду, что ${displaystyle r=|x_{1}|}$ вдоль этих мест.

Для ${displaystyle heta =0}$ у нас есть

${displaystyle {egin{aligned}u_{r}=u_{1}&={cfrac {F_{1}}{4pi mu }}left[1-(kappa +1)ln |x_{1}|ight]u_{ heta }=u_{2}&={cfrac {F_{2}}{4pi mu }}left[1+(kappa +1)ln |x_{1}|ight]end{aligned}}}$

Для ${displaystyle heta =pi }$ у нас есть

${displaystyle {egin{aligned}u_{r}=-u_{1}&=-{cfrac {F_{1}}{4pi mu }}left[1-(kappa +1)ln |x_{1}|ight]+{cfrac {F_{2}}{4mu }}(kappa -1)u_{ heta }=-u_{2}&={cfrac {F_{1}}{4mu }}(kappa -1)-{cfrac {F_{2}}{4pi mu }}left[1+(kappa +1)ln |x_{1}|ight]end{aligned}}}$

Мы можем сделать смещения симметричными относительно точки приложения силы, добавив смещения твердого тела (что не влияет на напряжения)

${displaystyle u_{1}={cfrac {F_{2}}{8mu }}(kappa -1)~;~~u_{2}={cfrac {F_{1}}{8mu }}(kappa -1)}$

и удаление избыточных смещений твердого тела

${displaystyle u_{1}={cfrac {F_{1}}{4pi mu }}~;~~u_{2}={cfrac {F_{2}}{4pi mu }}~.}$

Тогда смещения на поверхности можно объединить и принять вид

${displaystyle {egin{aligned}u_{1}&={cfrac {F_{1}}{4pi mu }}(kappa +1)ln |x_{1}|+{cfrac {F_{2}}{8mu }}(kappa -1){ ext{sign}}(x_{1})u_{2}&={cfrac {F_{2}}{4pi mu }}(kappa +1)ln |x_{1}|+{cfrac {F_{1}}{8mu }}(kappa -1){ ext{sign}}(x_{1})end{aligned}}}$

где

${displaystyle { ext{sign}}(x)={egin{cases}+1&x>0-1&x<0end{cases}}}$

использованная литература

1. A. Flamant. (1892). Sur la repartition des pressions dans un solide rectangulaire chargé transversalement. Compte. Ренду. Акад. Sci. Париж, т. 114, стр. 1465.
2. Слотер, В. С. (2002). Линеаризованная теория упругости. Биркхаузер, Бостон, стр. 294.
3. Дж. Р. Барбер, 2002 г., Эластичность: 2-е издание, Kluwer Academic Publishers.

Смотрите также

• Решение Michell
• Линейная эластичность
• Стресс (физика)