Решение Michell - Michell solution В Решение Michell является общим решением эластичность уравнения в полярные координаты ( р , θ {displaystyle r, heta,}) разработан Дж. Х. Мичелл. Решение таково, что компоненты напряжения имеют форму Ряд Фурье в θ {displaystyle heta,}.Мичелл[1] показал, что общее решение может быть выражено через Функция воздушного стресса формы φ ( р , θ ) = А 0 р 2 + B 0 р 2 пер ( р ) + C 0 пер ( р ) + ( я 0 р 2 + я 1 р 2 пер ( р ) + я 2 пер ( р ) + я 3 ) θ + ( А 1 р + B 1 р − 1 + B 1 ′ р θ + C 1 р 3 + D 1 р пер ( р ) ) потому что θ + ( E 1 р + F 1 р − 1 + F 1 ′ р θ + г 1 р 3 + ЧАС 1 р пер ( р ) ) грех θ + ∑ п = 2 ∞ ( А п р п + B п р − п + C п р п + 2 + D п р − п + 2 ) потому что ( п θ ) + ∑ п = 2 ∞ ( E п р п + F п р − п + г п р п + 2 + ЧАС п р − п + 2 ) грех ( п θ ) {displaystyle {egin {align} varphi (r, heta) & = A_ {0} ~ r ^ {2} + B_ {0} ~ r ^ {2} ~ ln (r) + C_ {0} ~ ln (r ) & + влево (I_ {0} ~ r ^ {2} + I_ {1} ~ r ^ {2} ~ ln (r) + I_ {2} ~ ln (r) + I_ {3} ~ ight) heta & + left (A_ {1} ~ r + B_ {1} ~ r ^ {- 1} + B_ {1} ^ {'} ~ r ~ heta + C_ {1} ~ r ^ {3} + D_ {1} ~ r ~ ln (r) ight) cos heta & + left (E_ {1} ~ r + F_ {1} ~ r ^ {- 1} + F_ {1} ^ {'} ~ r ~ heta + G_ {1} ~ r ^ {3} + H_ {1} ~ r ~ ln (r) ight) sin heta & + sum _ {n = 2} ^ {infty} left (A_ {n} ~ r ^ {n} + B_ {n} ~ r ^ {- n} + C_ {n} ~ r ^ {n + 2} + D_ {n} ~ r ^ {- n + 2} ight) cos (n heta) & + sum _ {n = 2} ^ {infty} left (E_ {n} ~ r ^ {n} + F_ {n} ~ r ^ {- n} + G_ {n} ~ r ^ {n + 2} + H_ {n} ~ r ^ {- n + 2} ight) sin (n heta) конец {выровнено}}}Условия А 1 р потому что θ {displaystyle A_ {1} ~ r ~ cos heta,} и E 1 р грех θ {displaystyle E_ {1} ~ r ~ sin heta,} определяют тривиальное нулевое стрессовое состояние и игнорируются.Содержание1 Компоненты стресса2 Компоненты смещения3 использованная литература4 Смотрите такжеКомпоненты стресса В стресс компоненты могут быть получены путем подстановки решения Мичелла в уравнения для напряжения через Функция воздушного стресса (в цилиндрические координаты ). Таблица компонентов напряжения приведена ниже.[2] φ {displaystyle varphi} σ р р {displaystyle sigma _ {rr},} σ р θ {displaystyle sigma _ {r heta},} σ θ θ {displaystyle sigma _ {heta heta},} р 2 {displaystyle r ^ {2},} 2 {displaystyle 2} 0 {displaystyle 0} 2 {displaystyle 2} р 2 пер р {displaystyle r ^ {2} ~ ln r} 2 пер р + 1 {displaystyle 2 ~ ln r + 1} 0 {displaystyle 0} 2 пер р + 3 {displaystyle 2 ~ ln r + 3} пер р {displaystyle ln r,} р − 2 {displaystyle r ^ {- 2},} 0 {displaystyle 0} − р − 2 {displaystyle -r ^ {- 2},} θ {displaystyle heta,} 0 {displaystyle 0} р − 2 {displaystyle r ^ {- 2},} 0 {displaystyle 0} р 3 потому что θ {displaystyle r ^ {3} ~ cos heta,} 2 р потому что θ {displaystyle 2 ~ r ~ cos heta,} 2 р грех θ {displaystyle 2 ~ r ~ sin heta,} 6 р потому что θ {displaystyle 6 ~ r ~ cos heta,} р θ потому что θ {displaystyle r heta ~ cos heta,} − 2 р − 1 грех θ {displaystyle -2 ~ r ^ {- 1} ~ sin heta,} 0 {displaystyle 0} 0 {displaystyle 0} р пер р потому что θ {displaystyle r ~ ln r ~ cos heta,} р − 1 потому что θ {displaystyle r ^ {- 1} ~ cos heta,} р − 1 грех θ {displaystyle r ^ {- 1} ~ sin heta,} р − 1 потому что θ {displaystyle r ^ {- 1} ~ cos heta,} р − 1 потому что θ {displaystyle r ^ {- 1} ~ cos heta,} − 2 р − 3 потому что θ {displaystyle -2 ~ r ^ {- 3} ~ cos heta,} − 2 р − 3 грех θ {displaystyle -2 ~ r ^ {- 3} ~ sin heta,} 2 р − 3 потому что θ {displaystyle 2 ~ r ^ {- 3} ~ cos heta,} р 3 грех θ {displaystyle r ^ {3} ~ sin heta,} 2 р грех θ {displaystyle 2 ~ r ~ sin heta,} − 2 р потому что θ {displaystyle -2 ~ r ~ cos heta,} 6 р грех θ {displaystyle 6 ~ r ~ sin heta,} р θ грех θ {displaystyle r heta ~ sin heta,} 2 р − 1 потому что θ {displaystyle 2 ~ r ^ {- 1} ~ cos heta,} 0 {displaystyle 0} 0 {displaystyle 0} р пер р грех θ {displaystyle r ~ ln r ~ sin heta,} р − 1 грех θ {displaystyle r ^ {- 1} ~ sin heta,} − р − 1 потому что θ {displaystyle -r ^ {- 1} ~ cos heta,} р − 1 грех θ {displaystyle r ^ {- 1} ~ sin heta,} р − 1 грех θ {displaystyle r ^ {- 1} ~ sin heta,} − 2 р − 3 грех θ {displaystyle -2 ~ r ^ {- 3} ~ sin heta,} 2 р − 3 потому что θ {displaystyle 2 ~ r ^ {- 3} ~ cos heta,} 2 р − 3 грех θ {displaystyle 2 ~ r ^ {- 3} ~ sin heta,} р п + 2 потому что ( п θ ) {displaystyle r ^ {n + 2} ~ cos (n heta),} − ( п + 1 ) ( п − 2 ) р п потому что ( п θ ) {displaystyle - (n + 1) (n-2) ~ r ^ {n} ~ cos (n heta),} п ( п + 1 ) р п грех ( п θ ) {displaystyle n (n + 1) ~ r ^ {n} ~ sin (n heta),} ( п + 1 ) ( п + 2 ) р п потому что ( п θ ) {displaystyle (n + 1) (n + 2) ~ r ^ {n} ~ cos (n heta),} р − п + 2 потому что ( п θ ) {displaystyle r ^ {- n + 2} ~ cos (n heta),} − ( п + 2 ) ( п − 1 ) р − п потому что ( п θ ) {displaystyle - (n + 2) (n-1) ~ r ^ {- n} ~ cos (n heta),} − п ( п − 1 ) р − п грех ( п θ ) {displaystyle -n (n-1) ~ r ^ {- n} ~ sin (n heta),} ( п − 1 ) ( п − 2 ) р − п потому что ( п θ ) {displaystyle (n-1) (n-2) ~ r ^ {- n} ~ cos (n heta)} р п потому что ( п θ ) {displaystyle r ^ {n} ~ cos (n heta),} − п ( п − 1 ) р п − 2 потому что ( п θ ) {displaystyle -n (n-1) ~ r ^ {n-2} ~ cos (n heta),} п ( п − 1 ) р п − 2 грех ( п θ ) {displaystyle n (n-1) ~ r ^ {n-2} ~ sin (n heta),} п ( п − 1 ) р п − 2 потому что ( п θ ) {displaystyle n (n-1) ~ r ^ {n-2} ~ cos (n heta),} р − п потому что ( п θ ) {displaystyle r ^ {- n} ~ cos (n heta),} − п ( п + 1 ) р − п − 2 потому что ( п θ ) {displaystyle -n (n + 1) ~ r ^ {- n-2} ~ cos (n heta),} − п ( п + 1 ) р − п − 2 грех ( п θ ) {displaystyle -n (n + 1) ~ r ^ {- n-2} ~ sin (n heta),} п ( п + 1 ) р − п − 2 потому что ( п θ ) {displaystyle n (n + 1) ~ r ^ {- n-2} ~ cos (n heta),} р п + 2 грех ( п θ ) {displaystyle r ^ {n + 2} ~ sin (n heta),} − ( п + 1 ) ( п − 2 ) р п грех ( п θ ) {displaystyle - (n + 1) (n-2) ~ r ^ {n} ~ sin (n heta),} − п ( п + 1 ) р п потому что ( п θ ) {displaystyle -n (n + 1) ~ r ^ {n} ~ cos (n heta),} ( п + 1 ) ( п + 2 ) р п грех ( п θ ) {displaystyle (n + 1) (n + 2) ~ r ^ {n} ~ sin (n heta),} р − п + 2 грех ( п θ ) {displaystyle r ^ {- n + 2} ~ sin (n heta),} − ( п + 2 ) ( п − 1 ) р − п грех ( п θ ) {displaystyle - (n + 2) (n-1) ~ r ^ {- n} ~ sin (n heta),} п ( п − 1 ) р − п потому что ( п θ ) {displaystyle n (n-1) ~ r ^ {- n} ~ cos (n heta),} ( п − 1 ) ( п − 2 ) р − п грех ( п θ ) {displaystyle (n-1) (n-2) ~ r ^ {- n} ~ sin (n heta),} р п грех ( п θ ) {displaystyle r ^ {n} ~ sin (n heta),} − п ( п − 1 ) р п − 2 грех ( п θ ) {displaystyle -n (n-1) ~ r ^ {n-2} ~ sin (n heta),} − п ( п − 1 ) р п − 2 потому что ( п θ ) {displaystyle -n (n-1) ~ r ^ {n-2} ~ cos (n heta),} п ( п − 1 ) р п − 2 грех ( п θ ) {displaystyle n (n-1) ~ r ^ {n-2} ~ sin (n heta),} р − п грех ( п θ ) {displaystyle r ^ {- n} ~ sin (n heta),} − п ( п + 1 ) р − п − 2 грех ( п θ ) {displaystyle -n (n + 1) ~ r ^ {- n-2} ~ sin (n heta),} п ( п + 1 ) р − п − 2 потому что ( п θ ) {displaystyle n (n + 1) ~ r ^ {- n-2} ~ cos (n heta),} п ( п + 1 ) р − п − 2 грех ( п θ ) {displaystyle n (n + 1) ~ r ^ {- n-2} ~ sin (n heta),}Компоненты смещения Смещения ( ты р , ты θ ) {displaystyle (u_ {r}, u_ {heta})} можно получить из решения Michell, используя напряжение-деформация и деформация-смещение связи. Таблица компонентов смещения, соответствующих членам функции напряжения Эйри для решения Michell, приведена ниже. В этой таблице κ = { 3 − 4 ν ж о р п л а п е s т р а я п 3 − ν 1 + ν ж о р п л а п е s т р е s s {displaystyle kappa = {egin {case} 3-4 ~ u & {m {для ~ плоскости ~ деформации}} {cfrac {3-u} {1 + u}} & {m {для ~ ~ плоскости ~ напряжения}} end {case}}}где ν {displaystyle u} это Коэффициент Пуассона, и μ {displaystyle mu} это модуль сдвига. φ {displaystyle varphi} 2 μ ты р {displaystyle 2 ~ mu ~ u_ {r},} 2 μ ты θ {displaystyle 2 ~ mu ~ u_ {heta},} р 2 {displaystyle r ^ {2},} ( κ − 1 ) р {displaystyle (каппа -1) ~ r} 0 {displaystyle 0} р 2 пер р {displaystyle r ^ {2} ~ ln r} ( κ − 1 ) р пер р − р {displaystyle (kappa -1) ~ r ~ ln r-r} ( κ + 1 ) р θ {displaystyle (kappa +1) ~ r ~ heta} пер р {displaystyle ln r,} − р − 1 {displaystyle -r ^ {- 1},} 0 {displaystyle 0} θ {displaystyle heta,} 0 {displaystyle 0} − р − 1 {displaystyle -r ^ {- 1},} р 3 потому что θ {displaystyle r ^ {3} ~ cos heta,} ( κ − 2 ) р 2 потому что θ {displaystyle (kappa -2) ~ r ^ {2} ~ cos heta,} ( κ + 2 ) р 2 грех θ {displaystyle (kappa +2) ~ r ^ {2} ~ sin heta,} р θ потому что θ {displaystyle r heta ~ cos heta,} 1 2 [ ( κ − 1 ) θ потому что θ + { 1 − ( κ + 1 ) пер р } грех θ ] {displaystyle {frac {1} {2}} [(kappa -1) heta ~ cos heta + {1- (kappa +1) ln r} ~ sin heta],} − 1 2 [ ( κ − 1 ) θ грех θ + { 1 + ( κ + 1 ) пер р } потому что θ ] {displaystyle - {frac {1} {2}} [(kappa -1) heta ~ sin heta + {1+ (kappa +1) ln r} ~ cos heta],} р пер р потому что θ {displaystyle r ~ ln r ~ cos heta,} 1 2 [ ( κ + 1 ) θ грех θ − { 1 − ( κ − 1 ) пер р } потому что θ ] {displaystyle {frac {1} {2}} [(kappa +1) heta ~ sin heta - {1- (kappa -1) ln r} ~ cos heta],} 1 2 [ ( κ + 1 ) θ потому что θ − { 1 + ( κ − 1 ) пер р } грех θ ] {displaystyle {frac {1} {2}} [(kappa +1) heta ~ cos heta - {1+ (kappa -1) ln r} ~ sin heta],} р − 1 потому что θ {displaystyle r ^ {- 1} ~ cos heta,} р − 2 потому что θ {displaystyle r ^ {- 2} ~ cos heta,} р − 2 грех θ {displaystyle r ^ {- 2} ~ sin heta,} р 3 грех θ {displaystyle r ^ {3} ~ sin heta,} ( κ − 2 ) р 2 грех θ {displaystyle (kappa -2) ~ r ^ {2} ~ sin heta,} − ( κ + 2 ) р 2 потому что θ {displaystyle - (kappa +2) ~ r ^ {2} ~ cos heta,} р θ грех θ {displaystyle r heta ~ sin heta,} 1 2 [ ( κ − 1 ) θ грех θ − { 1 − ( κ + 1 ) пер р } потому что θ ] {displaystyle {frac {1} {2}} [(kappa -1) heta ~ sin heta - {1- (kappa +1) ln r} ~ cos heta],} 1 2 [ ( κ − 1 ) θ потому что θ − { 1 + ( κ + 1 ) пер р } грех θ ] {displaystyle {frac {1} {2}} [(kappa -1) heta ~ cos heta - {1+ (kappa +1) ln r} ~ sin heta],} р пер р грех θ {displaystyle r ~ ln r ~ sin heta,} − 1 2 [ ( κ + 1 ) θ потому что θ + { 1 − ( κ − 1 ) пер р } грех θ ] {displaystyle - {frac {1} {2}} [(kappa +1) heta ~ cos heta + {1- (kappa -1) ln r} ~ sin heta],} 1 2 [ ( κ + 1 ) θ грех θ + { 1 + ( κ − 1 ) пер р } потому что θ ] {displaystyle {frac {1} {2}} [(kappa +1) heta ~ sin heta + {1+ (kappa -1) ln r} ~ cos heta],} р − 1 грех θ {displaystyle r ^ {- 1} ~ sin heta,} р − 2 грех θ {displaystyle r ^ {- 2} ~ sin heta,} − р − 2 потому что θ {displaystyle -r ^ {- 2} ~ cos heta,} р п + 2 потому что ( п θ ) {displaystyle r ^ {n + 2} ~ cos (n heta),} ( κ − п − 1 ) р п + 1 потому что ( п θ ) {displaystyle (kappa -n-1) ~ r ^ {n + 1} ~ cos (n heta),} ( κ + п + 1 ) р п + 1 грех ( п θ ) {displaystyle (kappa + n + 1) ~ r ^ {n + 1} ~ sin (n heta),} р − п + 2 потому что ( п θ ) {displaystyle r ^ {- n + 2} ~ cos (n heta),} ( κ + п − 1 ) р − п + 1 потому что ( п θ ) {displaystyle (kappa + n-1) ~ r ^ {- n + 1} ~ cos (n heta),} − ( κ − п + 1 ) р − п + 1 грех ( п θ ) {displaystyle - (kappa -n + 1) ~ r ^ {- n + 1} ~ sin (n heta),} р п потому что ( п θ ) {displaystyle r ^ {n} ~ cos (n heta),} − п р п − 1 потому что ( п θ ) {displaystyle -n ~ r ^ {n-1} ~ cos (n heta),} п р п − 1 грех ( п θ ) {displaystyle n ~ r ^ {n-1} ~ sin (n heta),} р − п потому что ( п θ ) {displaystyle r ^ {- n} ~ cos (n heta),} п р − п − 1 потому что ( п θ ) {displaystyle n ~ r ^ {- n-1} ~ cos (n heta),} п ( р − п − 1 грех ( п θ ) {displaystyle n (~ r ^ {- n-1} ~ sin (n heta),} р п + 2 грех ( п θ ) {displaystyle r ^ {n + 2} ~ sin (n heta),} ( κ − п − 1 ) р п + 1 грех ( п θ ) {displaystyle (kappa -n-1) ~ r ^ {n + 1} ~ sin (n heta),} − ( κ + п + 1 ) р п + 1 потому что ( п θ ) {displaystyle - (kappa + n + 1) ~ r ^ {n + 1} ~ cos (n heta),} р − п + 2 грех ( п θ ) {displaystyle r ^ {- n + 2} ~ sin (n heta),} ( κ + п − 1 ) р − п + 1 грех ( п θ ) {displaystyle (kappa + n-1) ~ r ^ {- n + 1} ~ sin (n heta),} ( κ − п + 1 ) р − п + 1 потому что ( п θ ) {displaystyle (kappa -n + 1) ~ r ^ {- n + 1} ~ cos (n heta),} р п грех ( п θ ) {displaystyle r ^ {n} ~ sin (n heta),} − п р п − 1 грех ( п θ ) {displaystyle -n ~ r ^ {n-1} ~ sin (n heta),} − п р п − 1 потому что ( п θ ) {displaystyle -n ~ r ^ {n-1} ~ cos (n heta),} р − п грех ( п θ ) {displaystyle r ^ {- n} ~ sin (n heta),} п р − п − 1 грех ( п θ ) {displaystyle n ~ r ^ {- n-1} ~ sin (n heta),} − п р − п − 1 потому что ( п θ ) {displaystyle -n ~ r ^ {- n-1} ~ cos (n heta),}Обратите внимание, что смещение твердого тела может быть наложен на раствор Мичелла формы ты р = А потому что θ + B грех θ ты θ = − А грех θ + B потому что θ + C р {displaystyle {egin {выравнивается} u_ {r} & = A ~ cos heta + B ~ sin heta u_ {heta} & = - A ~ sin heta + B ~ cos heta + C ~ r end {выровнено}}}для получения допустимого поля смещения.использованная литература ^ Мичелл, Дж. Х. (1899-04-01). «О прямом определении напряжений в упругом твердом теле с применением теории пластин» (PDF). Proc. Лондонская математика. Soc. 31 (1): 100–124. Дои:10.1112 / плмс / с1-31.1.100. Получено 2008-06-25.^ Дж. Р. Барбер, 2002 г., Эластичность: 2-е издание, Kluwer Academic Publishers. Смотрите также Линейная эластичностьFlamant растворДжон Генри Мичелл
![{frac {1} {2}} [(kappa -1) heta ~ cos heta + {1- (kappa +1) ln r} ~ sin heta],](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72d52f8fbf58d30a9ced87e77083af68e7b73f75)
![- {frac {1} {2}} [(kappa -1) heta ~ sin heta + {1+ (kappa +1) ln r} ~ cos heta],](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c8660b2da72a1b66968da214f52e32d37d34151)
![{frac {1} {2}} [(kappa +1) heta ~ sin heta - {1- (kappa -1) ln r} ~ cos heta],](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce23838da9a43c20d63e5b7cd0f409e4093909e7)
![{frac {1} {2}} [(kappa +1) heta ~ cos heta - {1+ (kappa -1) ln r} ~ sin heta],](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/328058bddbd04de898ee7bd98b3a2585819f1b09)
![{frac {1} {2}} [(kappa -1) heta ~ sin heta - {1- (kappa +1) ln r} ~ cos heta],](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba2e9838deb55221958680d51ee52d9c253dc91e)
![{frac {1} {2}} [(kappa -1) heta ~ cos heta - {1+ (kappa +1) ln r} ~ sin heta],](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61b1cef19ff52eed8609a3627e2f2fbad2d40653)
![- {frac {1} {2}} [(kappa +1) heta ~ cos heta + {1- (kappa -1) ln r} ~ sin heta],](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40ac842a5c3308ac40af79da8a4cdf62e596b419)
![{frac {1} {2}} [(kappa +1) heta ~ sin heta + {1+ (kappa -1) ln r} ~ cos heta],](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fbccd63a7977e2c989b9206fcb0d60913a714eb)
