Плоскостность (теория систем) - Flatness (systems theory)

Плоскостность в теория систем является системным свойством, расширяющим понятие управляемость из линейные системы к нелинейный динамические системы. Система, обладающая свойством плоскостности, называется плоская система. Плоские системы имеют (вымышленный) плоский выход, который можно использовать для явного выражения всех состояний и входов в терминах плоского выхода и конечного числа его производных.

Определение

Нелинейная система

${displaystyle {dot {mathbf {x} }}(t)=mathbf {f} (mathbf {x} (t),mathbf {u} (t)),quad mathbf {x} (0)=mathbf {x} _{0},quad mathbf {u} (t)in R^{m},quad mathbf {x} (t)in R^{n},{ ext{Rank}}{frac {partial mathbf {f} (mathbf {x} ,mathbf {u} )}{partial mathbf {u} }}=m}$

плоский, если есть выход

${displaystyle mathbf {y} (t)=(y_{1}(t),...,y_{m}(t))}$

который удовлетворяет следующим условиям:

• Сигналы ${displaystyle y_{i},i=1,...,m}$ могут быть представлены как функции состояний ${displaystyle x_{i},i=1,...,n}$ и входы ${displaystyle u_{i},i=1,...,m}$ и конечное число производных по времени ${displaystyle u_{i}^{(k)},k=1,...,alpha _{i}}$: ${displaystyle mathbf {y} =Phi (mathbf {x} ,mathbf {u} ,{dot {mathbf {u} }},...,mathbf {u} ^{(alpha )})}$.
• Штаты ${displaystyle x_{i},i=1,...,n}$ и входы ${displaystyle u_{i},i=1,...,m}$ могут быть представлены как функции выходов ${displaystyle y_{i},i=1,...,m}$ и его производных по времени ${displaystyle y_{i}^{(k)},i=1,...,m}$.
• Компоненты ${displaystyle mathbf {y} }$ дифференциально независимы, т. е. не удовлетворяют никакому дифференциальному уравнению вида ${displaystyle phi (mathbf {y} ,{dot {mathbf {y} }},mathbf {y} ^{(gamma )})=mathbf {0} }$.

Если эти условия выполняются хотя бы локально, то результат (возможно, фиктивный) называется плоский выход, а система плоский.

Связь с управляемостью линейных систем

А линейная система ${displaystyle {dot {mathbf {x} }}(t)=mathbf {A} mathbf {x} (t)+mathbf {B} mathbf {u} (t),quad mathbf {x} (0)=mathbf {x} _{0}}$с такими же габаритами сигнала для ${displaystyle mathbf {x} ,mathbf {u} }$ поскольку нелинейная система плоская, тогда и только тогда, когда она управляемый. За линейные системы оба свойства эквивалентны, следовательно, можно обменять.

Значимость

Свойство плоскостности полезно как для анализа, так и для синтеза регуляторов нелинейных динамических систем. Это особенно полезно для решения задач планирования траектории и управления асимптотической уставкой.

Литература

• М. Флисс, Дж. Л. Левин, П. Мартин и П. Рушон: Плоскостность и дефект нелинейных систем: вводная теория и примеры. Международный журнал контроля 61(6), стр. 1327-1361, 1995. [1]
• А. Исидори, Ч. Moog et A. De Luca. Достаточное условие для полной линеаризации через динамическую обратную связь по состоянию. 25-й CDC IEEE, Афины, Греция, стр. 203–208, 1986 г. [2]

Смотрите также

• Теория управления
• Техника управления
• Контроллер (теория управления)
• Плоский псевдоспектральный метод