Теория Флоке - Floquet theory

Теория Флоке это раздел теории обыкновенные дифференциальные уравнения относящиеся к классу решений периодических линейные дифференциальные уравнения формы

${\displaystyle {\dot {x}}=A(t)x,}$

с ${\displaystyle \displaystyle A(t)}$ а кусочно-непрерывный периодическая функция с периодом ${\displaystyle T}$ и определяет состояние устойчивости решений.

Основная теорема теории Флоке, Теорема Флоке, из-за Гастон Флоке  (1883 ) дает каноническая форма для каждого фундаментальное матричное решение этого общего линейная система. Это дает изменение координат ${\displaystyle \displaystyle y=Q^{-1}(t)x}$ с ${\displaystyle \displaystyle Q(t+2T)=Q(t)}$ который преобразует периодическую систему в традиционную линейную систему с постоянным, действительным коэффициенты.

Применительно к физическим системам с периодическими потенциалами, например кристаллам в физика конденсированного состояния, результат известен как Теорема Блоха.

Обратите внимание, что решения линейного дифференциального уравнения образуют векторное пространство. Матрица ${\displaystyle \phi \,(t)}$ называется фундаментальное матричное решение если все столбцы являются линейно независимыми решениями. Матрица ${\displaystyle \Phi (t)}$ называется решение главной фундаментальной матрицы если все столбцы являются линейно независимыми решениями и существует ${\displaystyle t_{0}}$ такой, что ${\displaystyle \Phi (t_{0})}$ это личность. Основная фундаментальная матрица может быть построена из фундаментальной матрицы, используя ${\displaystyle \Phi (t)=\phi \,(t){\phi \,}^{-1}(t_{0})}$. Решение линейного дифференциального уравнения с начальным условием ${\displaystyle x(0)=x_{0}}$ является ${\displaystyle x(t)=\phi \,(t){\phi \,}^{-1}(0)x_{0}}$ куда ${\displaystyle \phi \,(t)}$ - любое фундаментальное матричное решение.

Теорема Флоке

Позволять ${\displaystyle {\dot {x}}=A(t)x}$ - линейное дифференциальное уравнение первого порядка, где ${\displaystyle x(t)}$ вектор-столбец длины ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle A(t)}$ ан ${\displaystyle n\times n}$ периодическая матрица с периодом ${\displaystyle T}$ (то есть ${\displaystyle A(t+T)=A(t)}$ для всех реальных значений ${\displaystyle t}$). Позволять ${\displaystyle \phi \,(t)}$ - фундаментальное матричное решение этого дифференциального уравнения. Тогда для всех ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$,

${\displaystyle \phi (t+T)=\phi (t)\phi ^{-1}(0)\phi (T).}$

Здесь

${\displaystyle \phi ^{-1}(0)\phi (T)}$

известен как матрица монодромии Кроме того, для каждой матрицы ${\displaystyle B}$ (возможно сложный) такой, что

${\displaystyle e^{TB}=\phi ^{-1}(0)\phi (T),}$

есть периодический (период ${\displaystyle T}$) матричная функция ${\displaystyle t\mapsto P(t)}$ такой, что

${\displaystyle \phi (t)=P(t)e^{tB}{\text{ for all }}t\in \mathbb {R} .}$

Также есть настоящий матрица ${\displaystyle R}$ и настоящий периодический (период-${\displaystyle 2T}$) матричная функция ${\displaystyle t\mapsto Q(t)}$ такой, что

${\displaystyle \phi (t)=Q(t)e^{tR}{\text{ for all }}t\in \mathbb {R} .}$

В приведенном выше ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle Q}$ и ${\displaystyle R}$ находятся ${\displaystyle n\times n}$ матрицы.

Последствия и приложения

Это отображение ${\displaystyle \phi \,(t)=Q(t)e^{tR}}$ вызывает зависящее от времени изменение координат (${\displaystyle y=Q^{-1}(t)x}$), при котором наша исходная система становится линейной системой с действительными постоянными коэффициентами ${\displaystyle {\dot {y}}=Ry}$. С ${\displaystyle Q(t)}$ непрерывна и периодична, она должна быть ограничена. Таким образом, устойчивость нулевого решения для ${\displaystyle y(t)}$ и ${\displaystyle x(t)}$ определяется собственными значениями ${\displaystyle R}$.

Представление ${\displaystyle \phi \,(t)=P(t)e^{tB}}$ называется Нормальная форма Флоке для фундаментальной матрицы ${\displaystyle \phi \,(t)}$.

В собственные значения из ${\displaystyle e^{TB}}$ называются характеристические множители системы. Они также являются собственными значениями (линейного) Карты Пуанкаре ${\displaystyle x(t)\to x(t+T)}$. А Показатель Флоке (иногда называемый характеристическим показателем), является комплексным ${\displaystyle \mu }$ такой, что ${\displaystyle e^{\mu T}}$ - характеристический множитель системы. Обратите внимание, что показатели Флоке не уникальны, поскольку ${\displaystyle e^{(\mu +{\frac {2\pi ik}{T}})T}=e^{\mu T}}$, куда ${\displaystyle k}$ целое число. Действительные части показателей Флоке называются Показатели Ляпунова. Нулевое решение асимптотически устойчиво, если все показатели Ляпунова отрицательны, Конюшня Ляпунова если показатели Ляпунова неположительны и неустойчивы в противном случае.

• Теория Флоке очень важна для изучения динамические системы.
• Теория Флоке показывает устойчивость в Дифференциальное уравнение Хилла (представлен Джордж Уильям Хилл ) аппроксимирующую движение Луна как гармонический осциллятор в периодическом гравитационное поле.
• Смягчение связи и затвердевание связки в интенсивных лазерных полях можно описать с помощью решений, полученных из теоремы Флоке.

Рекомендации

• С. Чикон. Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями. Спрингер-Верлаг, Нью-Йорк, 1999.
• Экеланд, Ивар (1990). "Один". Методы выпуклости в гамильтоновой механике. Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете (3) [Результаты по математике и смежным областям (3)]. 19. Берлин: Springer-Verlag. С. x + 247. ISBN  3-540-50613-6. МИСТЕР  1051888.
• Флоке, Гастон (1883), "Sur les équations différentielles linéaires à coefficients périodiques" (PDF), Annales de l'École Normale Supérieure, 12: 47–88, Дои:10.24033 / asens.220
• Красносельский, М.А. (1968), Оператор переноса по траекториям дифференциальных уравнений., Провиденс: Американское математическое общество, Перевод математических монографий, 19, 294с.
• В. Магнус, С. Винклер. Уравнение Хилла, Издания Dover-Phoenix, ISBN  0-486-49565-5.
• N.W. Маклахлан, Теория и применение функций Матье., Нью-Йорк: Дувр, 1964.
• Тешл, Джеральд (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы.. Провиденс: Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-8328-0.
• М.С.П. Истхэм, "Спектральная теория периодических дифференциальных уравнений", Тексты по математике, Scottish Academic Press, Эдинбург, 1973. ISBN  978-0-7011-1936-2.

внешняя ссылка

• "Теория Флоке", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]