Ивар Экеланд - Ivar Ekeland

Картина из набора Юля
Ивар Экеланд написал популярные книги о теория хаоса и о фракталы,[1][2] такой как Юля набор (анимированный). Экспозиция Экланда послужила математическим вдохновением для Майкл Крайтон обсуждение хаос в парк Юрского периода.[3]

Ивар И. Экеланд (родился 2 июля 1944 года, Париж) - французский математик норвежского происхождения. Экеланд написал влиятельные монографии и учебники по нелинейным функциональный анализ, то вариационное исчисление, и математическая экономика, а также популярные книги по математике, изданные на французском, английском и других языках. Экеланд известен как автор Вариационный принцип Экланда и за его использование Лемма Шепли – Фолкмана. в теория оптимизации. Он внес свой вклад в периодические решения из Гамильтоновы системы и особенно к теории Индексы Крейна для линейных систем (Теория Флоке ).[4] Ekeland помог вдохновить обсуждение теория хаоса в Майкл Крайтон роман 1990 года парк Юрского периода.[3]

биография

Экеланд учился в École Normale Supérieure (1963–1967). Он старший научный сотрудник Французский национальный центр научных исследований (CNRS). Он получил докторскую степень в 1970 году. Он преподает математику и экономику в Парижский университет Дофин, то École Polytechnique, то École Spéciale Militaire de Saint-Cyr, а Университет Британской Колумбии в Ванкувер. Он был председателем Университета Париж-Дофин с 1989 по 1994 год.

Экеланд - лауреат премии Даламбера и премии Жана Ростана. Он также является членом Норвежская академия наук и литературы.[5]

Научно-популярное: парк Юрского периода Крайтон и Спилберг

Изображение Джеффа Голдблюма
Актер Джефф Голдблюм - посоветовался с Экеландом, готовясь к математик, специализирующийся на теории хаоса у Спилберга парк Юрского периода.[6]

Экеланд написал несколько книг по научно-популярный, в котором он объяснил части динамические системы, теория хаоса, и теория вероятности.[1][7][8] Эти книги были сначала написаны на французском языке, а затем переведены на английский и другие языки, где они получили высокую оценку за их математическую точность, а также за их ценность как литературы и развлечения.[1]

Этими произведениями Экеланд оказал влияние на парк Юрского периода как по роману, так и по фильму. Ekeland's Математика и неожиданное и Джеймс Глейк с Хаос вдохновил дискуссии о теория хаоса в романе парк Юрского периода к Майкл Крайтон.[3] Когда роман экранизировали по фильму парк Юрского периода к Стивен Спилберг Актер посоветовался с Экеландом и Глейком. Джефф Голдблюм когда он готовился сыграть математик, специализирующийся на теории хаоса.[6]

Исследование

Ekeland внесла свой вклад в математический анализ особенно для вариационное исчисление и математическая оптимизация.

Вариационный принцип

В математический анализ, Вариационный принцип Экланда, обнаруженный Иваром Экеландом,[9][10][11] - это теорема, утверждающая, что существует почти оптимальное решение некоторого класса проблемы оптимизации.[12]

Вариационный принцип Экланда можно использовать, когда нижняя набор уровней проблем минимизации нет компактный, таким образом Теорема Больцано – Вейерштрасса не может применяться. Принцип Экланда основан на полнота метрического пространства.[13]

Принцип Экланда приводит к быстрому доказательству Теорема Каристи о неподвижной точке.[13][14]

Экеланд был связан с Парижский университет когда он предложил эту теорему.[9]

Вариационная теория гамильтоновых систем

Ивар Экеланд - эксперт по вариационный анализ, который изучает математическая оптимизация из пространства функций. Его исследования по периодические решения из Гамильтоновы системы и особенно к теории Индексы Крейна для линейных систем (Теория Флоке ) был описан в его монографии.[4]

Проблемы аддитивной оптимизации

Лемма Шепли – Фолкмана изображена диаграммой с двумя панелями, одна слева, а другая справа. На левой панели отображаются четыре набора, которые отображаются в виде массива два на два. Каждый из наборов содержит ровно две точки, которые отображаются красным цветом. В каждом наборе две точки соединены розовым отрезком прямой, который представляет собой выпуклую оболочку исходного набора. В каждом наборе ровно одна точка, обозначенная знаком плюса. В верхнем ряду массива два на два символ плюс находится внутри отрезка линии; в нижнем ряду знак плюса совпадает с одной из красных точек. На этом описание левой панели диаграммы завершено. На правой панели отображается сумма Минковского наборов, которая представляет собой объединение сумм, имеющих ровно одну точку из каждого набора слагаемых; для отображаемых наборов шестнадцать сумм представляют собой отдельные точки, которые отображаются красным цветом: красные точки суммы справа - это суммы красных точек слагаемых слева. Выпуклая оболочка шестнадцати красных точек заштрихована розовым цветом. В розовой внутренней части правого набора сумм находится ровно один плюс-символ, который является (уникальной) суммой плюсовых символов из правой части. Сравнивая левый массив и правую панель, можно подтвердить, что правый плюс-символ действительно является суммой четырех плюс-символов из левых наборов, ровно две точки из исходных невыпуклых наборов слагаемых и два точек из выпуклых оболочек остальных слагаемых.
Ивар Экеланд применил Лемма Шепли – Фолкмана. объяснить успех Клода Лемарешала Лагранжева релаксация по невыпуклым задачам минимизации. Эта лемма касается Дополнение Минковского из четырех комплектов. Точка (+) в выпуклый корпус суммы Минковского четырех невыпуклые множества (верно) представляет собой сумму четырех точек (+) из (левых) множеств - две точки в двух невыпуклых множествах плюс две точки в выпуклой оболочке двух множеств. Выпуклые корпуса окрашены в розовый цвет. Каждый исходный набор имеет ровно две точки (показаны красным).

Экеланд объяснил успех методов выпуклой минимизации для больших задач, которые оказались невыпуклыми. Во многих задачах оптимизации целевая функция транспортные расходы отделяемый, то есть сумма много слагаемые-функции, каждая со своим аргументом:

Например, проблемы линейная оптимизация отделимы. Для сепарабельной задачи рассмотрим оптимальное решение

с минимальным значениемж(Иксмин). Для сепарабельной задачи рассматривается оптимальное решение (Иксмин, ж(Иксмин))к "выпуклая задача", где берутся выпуклые оболочки графиков слагаемых функций. Таким оптимальным решением является предел последовательности точек выпуклой задачи

[15][16] Приложение Лемма Шепли – Фолкмана. представляет данную оптимальную точку как сумму точек на графиках исходных слагаемых и небольшого числа выпуклых слагаемых.

Этот анализ был опубликован Иваром Экеландом в 1974 году для объяснения кажущейся выпуклости сепарабельных задач со многими слагаемыми, несмотря на невыпуклость проблем с слагаемыми. В 1973 году молодой математик Клод Лемарешаль был удивлен его успехом с выпуклая минимизация методы по заведомо невыпуклым задачам.[17][15][18] Анализ Экланда объяснил успех методов выпуклой минимизации на большой и отделяемый проблемы, несмотря на невыпуклость слагаемых функций.[15][18][19] Лемма Шепли – Фолкмана поощряет использование методов выпуклой минимизации в других приложениях с суммами многих функций.[15][20][21][22]

Библиография

Исследование

  • Экеланд, Ивар; Темам, Роджер (1999). Выпуклый анализ и вариационные задачи. Классика по прикладной математике. 28. Филадельфия, Пенсильвания: Общество промышленной и прикладной математики (SIAM). ISBN  978-0-89871-450-0. МИСТЕР  1727362.CS1 maint: ref = harv (связь) (Исправленное переиздание 1976 г. Северная Голландия (МИСТЕР463993 ) ред.)
Книга цитируется более 500 раз в MathSciNet.

Экспозиция для широкой публики

Картина бифуркации Фейгенбаума итерированной логистической функции
В Бифуркация Фейгенбаума из повторяется логистическая функция система был описан как пример теория хаоса в Ekeland's Математика и неожиданное.[1]

Смотрите также

Примечания

  1. ^ а б c d Экланд (1988), Приложение 2 Бифуркация Фейгенбаума, стр. 132–138) описывает хаотическое поведение повторяется логистическая функция, который демонстрирует Бифуркация Фейгенбаума. Было опубликовано издание в мягкой обложке: Экеланд, Ивар (1990). Математика и неожиданное (Мягкая обложка ред.). Издательство Чикагского университета. ISBN  978-0-226-19990-0.CS1 maint: ref = harv (связь)
  2. ^ По словам Джереми Грея, писавшего для Математические обзоры (МИСТЕР945956 )
  3. ^ а б c В его послесловии к парк Юрского периода, Крайтон (1997, pp. 400) признает труды Экланда (и Глейк ). Внутри романа фракталы обсуждаются на двух страницах, (Крайтон 1997, pp. 170–171), и теория хаоса на одиннадцать страниц, включая страницы 75, 158 и 245:
    Крайтон, Майкл (1997). парк Юрского периода. Баллантайн Книги. ISBN  9780345418951. Получено 2011-04-19.CS1 maint: ref = harv (связь)
  4. ^ а б По словам Д. Паскали, письмо для Математические обзоры (МИСТЕР1051888 )
    Экеланд (1990) Экеланд, Ивар (1990). Методы выпуклости в гамильтоновой механике. Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете (3) [Результаты по математике и смежным областям (3)]. 19. Берлин: Springer-Verlag. С. x + 247. ISBN  978-3-540-50613-3. МИСТЕР  1051888.CS1 maint: ref = harv (связь)
  5. ^ «Группа 1: Математические занятия». Норвежская академия наук и литературы. Архивировано из оригинал 27 сентября 2011 г.. Получено 12 апреля 2011.
  6. ^ а б Джонс (1993, п. 9): Джонс, Алан (август 1993 г.). Кларк, Фредерик С. (ред.). "парк Юрского периода: Компьютерные графические динозавры ». Cinefantastique. Фредерик С. Кларк. 24 (2): 8–15. КАК В  B002FZISIO. Получено 2011-04-12.CS1 maint: ref = harv (связь)
  7. ^ В соответствии с Математические обзоры (МИСТЕР1243636 ) обсуждение Экеланд, Ивар (1993). Сломанные кости и другие математические истории о шансах (Перевод Кэрол Волк из французского издания 1991 г.). Чикаго, Иллинойс: Издательство Чикагского университета. стр.iv + 183. ISBN  978-0-226-19991-7. МИСТЕР  1243636.CS1 maint: ref = harv (связь)
  8. ^ В соответствии с Математические обзоры (МИСТЕР2259005 ) обсуждение Экеланд, Ивар (2006). Лучшее из возможных миров: математика и судьба (Перевод французского изд. 2000 г.). Чикаго, Иллинойс: Издательство Чикагского университета. стр.iv + 207. ISBN  978-0-226-19994-8. МИСТЕР  2259005.CS1 maint: ref = harv (связь)
  9. ^ а б Экеланд, Ивар (1974). «По вариационному принципу». J. Math. Анальный. Приложение. 47 (2): 324–353. Дои:10.1016 / 0022-247X (74) 90025-0. ISSN  0022-247X.
  10. ^ Экеланд, Ивар (1979). «Задачи невыпуклой минимизации». Бюллетень Американского математического общества. Новая серия. 1 (3): 443–474. Дои:10.1090 / S0273-0979-1979-14595-6. МИСТЕР  0526967.CS1 maint: ref = harv (связь)
  11. ^ Экеланд, Ивар; Темам, Роджер (1999). Выпуклый анализ и вариационные задачи. Классика по прикладной математике. 28 (Исправленное переиздание (1976) изд. Северной Голландии). Филадельфия, Пенсильвания: Общество промышленной и прикладной математики (SIAM). С. 357–373. ISBN  978-0-89871-450-0. МИСТЕР  1727362.CS1 maint: ref = harv (связь)
  12. ^ Обен, Жан-Пьер; Экеланд, Ивар (2006). Прикладной нелинейный анализ (Перепечатка изд. Wiley 1984 г.). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc., стр. X + 518. ISBN  978-0-486-45324-8. МИСТЕР  2303896.CS1 maint: ref = harv (связь)
  13. ^ а б Кирк, Уильям А .; Гебель, Казимеж (1990). Темы метрической теории фиксированной точки. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-38289-2.
  14. ^ Хорошо, Эфе (2007). "D: Непрерывность I" (PDF). Реальный анализ с экономическими приложениями. Издательство Принстонского университета. п. 664. ISBN  978-0-691-11768-3. Получено 31 января, 2009.
  15. ^ а б c d (Ekeland 1999, стр. 357–359).: Приложение Экланда, опубликованное в первом английском издании 1976 г., доказывает лемму Шепли – Фолкмана, также признавая Lemaréchal Эксперименты на странице 373.
  16. ^ В предел последовательности является членом закрытие оригинального набора, который является самым маленьким закрытый набор который содержит исходный набор. Сумма двух Минковского закрытые наборы не нужно закрывать, поэтому следующие включение может быть строгим
    Clos (P) + Clos (Q) ⊆ Clos (Clos (P) + Clos (Q));
    включение может быть строгим даже для двух выпуклый замкнутые слагаемые, согласно Рокафеллар (1997), стр. 49 и 75).. Чтобы гарантировать, что сумма множеств Минковского замкнута, требуется операция замыкания, которая добавляет пределы сходящихся последовательностей.
  17. ^ Лемарешаль (1973), п. 38): Лемарешаль, Клод (Апрель 1973 г.), Использование дуальности для невыпуклых проблем [Использование двойственности для невыпуклых задач] (на французском языке), Domaine de Voluceau, Rocquencourt, 78150 Le Chesnay, Франция: IRIA (теперь INRIA), Laboratoire de recherche en informatique et automatique, стр. 41 годCS1 maint: location (связь) CS1 maint: ref = harv (связь). Эксперименты Лемарешала обсуждались в более поздних публикациях:
    Аардал (1995), стр. 2–3): Аардал, Карен (Март 1995 г.). "Оптима интервью Клода Лемарешала " (PDF). Optima: Информационный бюллетень Общества математического программирования. 45: 2–4. Получено 2 февраля 2011.CS1 maint: ref = harv (связь)

    Хириарт-Уррути и Лемарешаль (1993, стр. 143–145, 151, 153, 156): Хириар-Уррути, Жан-Батист; Лемарешаль, Клод (1993). «XII Абстрактная двойственность для практиков». Алгоритмы выпуклого анализа и минимизации, ОбъемII: Продвинутая теория и методы связки. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Основные принципы математических наук]. 306. Берлин: Springer-Verlag. С. 136–193 (и библиографические комментарии к стр. 334–335). ISBN  978-3-540-56852-0. МИСТЕР  1295240.
  18. ^ а б Экеланд, Ивар (1974). "Единая оценкааприори en программирование невыпуклое ". Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences. Séries A et B (на французском языке). 279: 149–151. ISSN  0151-0509. МИСТЕР  0395844.CS1 maint: ref = harv (связь)
  19. ^ Обен и Экланд (1976), стр. 226, 233, 235, 238 и 241): Aubin, J.P .; Экланд, И. (1976). «Оценки разрыва двойственности в невыпуклой оптимизации». Математика исследования операций. 1 (3): 225–245. Дои:10.1287 / moor.1.3.225. JSTOR  3689565. МИСТЕР  0449695.CS1 maint: ref = harv (связь)
    Обен и Экланд (1976) и Экланд (1999), стр. 362–364). также рассмотрел выпуклый  закрытие задачи невыпуклой минимизации, т. е. задачи, определяемой закрыто  выпуклый корпус из эпиграф исходной проблемы. Их исследование разрывов двойственности было распространено Ди Гульельмо на квазивыпуклый закрытие невыпуклого минимизация проблема - то есть проблема, определенная закрыто  выпуклыйкорпус из ниже наборы уровней:

    Ди Гульельмо (1977), стр. 287–288): Ди Гульельмо, Ф. (1977). «Невыпуклая двойственность в многокритериальной оптимизации». Математика исследования операций. 2 (3): 285–291. Дои:10.1287 / moor.2.3.285. JSTOR  3689518. МИСТЕР  0484418.CS1 maint: несколько имен: список авторов (связь)
  20. ^ Обен (2007), стр. 458–476): Обен, Жан-Пьер (2007). «14.2 Двойственность в случае невыпуклого интегрального критерия и ограничений (особенно 14.2.3 Теорема Шепли – Фолкмана, страницы 463-465)». Математические методы игры и экономическая теория (Перепечатка с новым предисловием, пересмотренное английское изд. Северной Голландии 1982 г.). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc., стр. Xxxii + 616. ISBN  978-0-486-46265-3. МИСТЕР  2449499.CS1 maint: ref = harv (связь)
  21. ^ Бертсекас (1996 г., pp. 364–381) с признательностью Экеланд (1999) на странице 374 и Обен и Экланд (1976) на странице 381:
    Бертсекас, Дмитрий П. (1996). «5.6. Крупномасштабные разделяемые задачи целочисленного программирования и экспоненциальный метод множителей». Ограниченная оптимизация и методы множителя Лагранжа (Перепечатка (1982) изд. Academic Press). Бельмонт, Массачусетс: Athena Scientific. С. xiii + 395. ISBN  978-1-886529-04-5. МИСТЕР  0690767.CS1 maint: ref = harv (связь)

    Бертсекас (1996 г., pp. 364–381) описывает применение Лагранжев двойственный методы для планирование из электростанции ("проблемы с обязательствами подразделения "), где невыпуклость возникает из-за целочисленные ограничения:

    Бертсекас, Дмитрий П.; Лауэр, Грегори С .; Sandell, Nils R. Jr .; Посберг, Томас А. (январь 1983 г.). «Оптимальное краткосрочное планирование крупномасштабных энергосистем» (PDF). IEEE Transactions по автоматическому контролю. АС-28 (1): 1–11. CiteSeerX  10.1.1.158.1736. Дои:10.1109 / tac.1983.1103136. S2CID  6329622. Получено 2 февраля 2011.CS1 maint: ref = harv (связь)
  22. ^ Бертсекас (1999 г., п. 496): Бертсекас, Дмитрий П. (1999). «5.1.6 Разделимые задачи и их геометрия». Нелинейное программирование (Второе изд.). Кембридж, Массачусетс: Athena Scientific. С. 494–498. ISBN  978-1-886529-00-7.

внешняя ссылка