Логистическая функция - Logistic function - Wikipedia

Относительно рекуррентного соотношения см. Логистическая карта.

Стандартная логистическая сигмовидная функция, т.е. ${\displaystyle L=1,k=1,x_{0}=0}$

А логистическая функция или же логистическая кривая - обычная S-образная кривая (сигмовидная кривая ) с уравнением

${\displaystyle f(x)={\frac {L}{1+e^{-k(x-x_{0})}}},}$

куда

${\displaystyle x_{0}}$, то ${\displaystyle x}$ значение средней точки сигмовидной кишки;

${\displaystyle L}$- максимальное значение кривой;

${\displaystyle k}$, скорость логистического роста или крутизна кривой.^[1]

Для значений ${\displaystyle x}$ в области действительные числа из ${\displaystyle -\infty }$ к ${\displaystyle +\infty }$, получается S-кривая, показанная справа, с графиком ${\displaystyle f}$ приближающийся ${\displaystyle L}$ в качестве ${\displaystyle x}$ подходы ${\displaystyle +\infty }$ и приближается к нулю при ${\displaystyle x}$ подходы ${\displaystyle -\infty }$.

Логистическая функция находит приложения в различных областях, в том числе биология (особенно экология ), биоматематика, химия, демография, экономика, геонаука, математическая психология, вероятность, социология, политическая наука, лингвистика, статистика, и искусственные нейронные сети. Обобщением логистической функции является гиперболастическая функция I типа.

История

Исходное изображение логистической кривой в сравнении с логарифмической кривой

Логистическая функция была представлена ​​в серии из трех статей Пьер Франсуа Верхюльст между 1838 и 1847 годами, которые изобрели его как модель рост населения путем корректировки экспоненциальный рост модель, под руководством Адольф Кетле.^[2] Ферхюльст впервые разработал эту функцию в середине 1830-х годов, опубликовав краткую заметку в 1838 году:^[1] затем представил расширенный анализ и назвал функцию в 1844 г. (опубликовано в 1845 г.);^[а][3] третий документ скорректировал поправочный член в его модели роста населения Бельгии.^[4]

Начальная стадия роста примерно экспоненциальная (геометрическая); затем, когда начинается насыщение, рост замедляется до линейного (арифметического), а по достижении зрелости рост прекращается. Ферхюльст не объяснил выбор термина «логистический» (французский: логистика), но предположительно в отличие от логарифмический изгиб,^[5][b] и по аналогии с арифметикой и геометрической. Его модели роста предшествует обсуждение арифметический рост и геометрический рост (чью кривую он называет логарифмическая кривая, вместо современного термина экспоненциальная кривая ), и поэтому "логистический рост", вероятно, называется по аналогии, логистика будучи из Древнегреческий: λογῐστῐκός, романизированный: logistikós, традиционное разделение Греческая математика.^[c] Термин не имеет отношения к военному и управленческому термину. логистика, который вместо Французский: логис "жилье", хотя некоторые считают, что греческий термин также оказал влияние логистика; видеть Логистика § Происхождение для подробностей.

Математические свойства

В стандартная логистическая функция логистическая функция с параметрами ${\displaystyle k=1}$, ${\displaystyle x_{0}=0}$, ${\displaystyle L=1}$, что дает

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+e^{-x}}}={\frac {e^{x}}{e^{x}+1}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\tanh \left({\frac {x}{2}}\right).}$

На практике из-за характера экспоненциальная функция ${\displaystyle e^{-x}}$, часто бывает достаточно вычислить стандартную логистическую функцию для ${\displaystyle x}$ в небольшом диапазоне действительных чисел, таком как диапазон, содержащийся в [−6, +6], поскольку он быстро сходится очень близко к своим значениям насыщения 0 и 1.

Логистическая функция обладает свойством симметрии, что

${\displaystyle 1-f(x)=f(-x).}$

Таким образом, ${\displaystyle x\mapsto f(x)-1/2}$ является нечетная функция.

Логистическая функция - это смещение и масштабирование гиперболический тангенс функция:

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\tanh \left({\frac {x}{2}}\right),}$

или же

${\displaystyle \tanh(x)=2f(2x)-1.}$

Это следует из

${\displaystyle {\begin{aligned}\tanh(x)&={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{x}\cdot \left(1-e^{-2x}\right)}{e^{x}\cdot \left(1+e^{-2x}\right)}}\\&=f(2x)-{\frac {e^{-2x}}{1+e^{-2x}}}=f(2x)-{\frac {e^{-2x}+1-1}{1+e^{-2x}}}=2f(2x)-1.\end{aligned}}}$

Производная

Стандартная логистическая функция имеет легко рассчитываемый производная. Производная известна как логистическая дистрибуция:

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+e^{-x}}}={\frac {e^{x}}{1+e^{x}}},}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f(x)={\frac {e^{x}\cdot (1+e^{x})-e^{x}\cdot e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}}={\frac {e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}}=f(x){\big (}1-f(x){\big )}=f(x)f(-x).}$

Производная логистической функции - это даже функция, то есть,

${\displaystyle f'(-x)=f'(x).}$

интеграл

И наоборот, его первообразный можно вычислить замена ${\displaystyle u=1+e^{x}}$, поскольку ${\displaystyle f(x)={\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}={\frac {u'}{u}}}$, так что (отбрасывая постоянная интеграции )

${\displaystyle \int {\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}\,dx=\int {\frac {1}{u}}\,du=\ln u=\ln(1+e^{x}).}$

В искусственные нейронные сети, это известно как softplus функция и (с масштабированием) является гладкой аппроксимацией функция рампы, так же как логистическая функция (с масштабированием) является гладкой аппроксимацией Ступенчатая функция Хевисайда.

Логистическое дифференциальное уравнение

Стандартная логистическая функция - это решение простой нелинейной обыкновенное дифференциальное уравнение

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)=f(x){\big (}1-f(x){\big )}}$

с граничное условие ${\displaystyle f(0)=1/2}$. Это уравнение является непрерывной версией логистическая карта. Обратите внимание, что обратная логистическая функция является решением простой задачи первого порядка. линейный обыкновенное дифференциальное уравнение.^[6]

Качественное поведение легко понять с точки зрения фазовая линия: производная равна 0, когда функция равна 1; а производная положительна при ${\displaystyle f}$ между 0 и 1 и отрицательным для ${\displaystyle f}$ выше 1 или меньше 0 (хотя отрицательные совокупности обычно не соответствуют физической модели). Это приводит к неустойчивому равновесию при 0 и устойчивому равновесию при 1, и, таким образом, для любого значения функции больше 0 и меньше 1 оно возрастает до 1.

Логистическое уравнение - это частный случай Дифференциальное уравнение Бернулли и имеет следующее решение:

${\displaystyle f(x)={\frac {e^{x}}{e^{x}+C}}.}$

Выбор постоянной интегрирования ${\displaystyle C=1}$ дает другую хорошо известную форму определения логистической кривой:

${\displaystyle f(x)={\frac {e^{x}}{e^{x}+1}}={\frac {1}{1+e^{-x}}}.}$

В количественном отношении, как видно из аналитического решения, логистическая кривая показывает раннюю экспоненциальный рост для отрицательного аргумента, который замедляется до линейного роста наклона 1/4 для аргумента, близкого к 0, затем приближается к 1 с экспоненциально убывающей щелью.

Логистическая функция - это обратная натуральному логит функция и поэтому может использоваться для преобразования логарифма шансы в вероятность. В математических обозначениях логистическая функция иногда записывается как истекать^[7] в той же форме, что и логит. Конверсия из логарифмическое отношение правдоподобия из двух альтернатив также принимает форму логистической кривой.

Выведенное выше дифференциальное уравнение является частным случаем общего дифференциального уравнения, которое моделирует только сигмовидную функцию для ${\displaystyle x>0}$. Во многих приложениях для моделирования более общая форма^[8]

${\displaystyle {\frac {df(x)}{dx}}={\frac {k}{a}}f(x){\big (}a-f(x){\big )},\quad f(0)=a/(1+e^{kr})}$

может быть желательно. Ее решение - смещенная и масштабированная сигмовидная ${\displaystyle aS{\big (}k(x-r){\big )}}$.

Отношение гиперболического тангенса приводит к другой форме производной логистической функции:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)={\frac {1}{4}}\operatorname {sech} ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right),}$

что связывает логистическую функцию с логистическая дистрибуция.

Вращательная симметрия относительно (0, 1/2)

Сумма логистической функции и ее отражения относительно вертикальной оси, ${\displaystyle f(-x)}$, является

${\displaystyle {\frac {1}{1+e^{-x}}}+{\frac {1}{1+e^{-(-x)}}}={\frac {e^{x}}{e^{x}+1}}+{\frac {1}{e^{x}+1}}=1.}$

Таким образом, логистическая функция осесимметрична относительно точки (0, 1/2).^[9]

Приложения

Связь^[10] создал расширение теории последовательного анализа Вальда до накопления случайных величин без распределения до тех пор, пока сначала не сравняется или не будет превышена положительная или отрицательная граница. Связь^[11] выводит вероятность первого достижения или превышения положительной границы как ${\displaystyle (1+e^{-\theta A})}$, Логистическая функция. Это первое доказательство того, что логистическая функция может иметь в основе стохастический процесс. Связь^[12] предоставляет столетие примеров «логистических» экспериментальных результатов и недавно выведенное соотношение между этой вероятностью и временем поглощения на границах.

В экологии: моделирование роста населения

Пьер-Франсуа Верхюльст (1804–1849)

Типичное применение логистического уравнения - это общая модель рост населения (смотрите также динамика населения ), первоначально из-за Пьер-Франсуа Верхюльст в 1838 году, когда скорость воспроизводства пропорциональна как существующему населению, так и количеству имеющихся ресурсов при прочих равных условиях. Уравнение Ферхюльста было опубликовано после того, как Ферхюльст прочитал Томас Мальтус ' Очерк принципа народонаселения, который описывает Мальтузианская модель роста простого (неограниченного) экспоненциального роста. Ферхюльст вывел свое логистическое уравнение для описания самоограничивающегося роста биологический численность населения. Уравнение было переоткрыто в 1911 г. А. Г. Маккендрик для роста бактерий в бульоне и экспериментально протестирован с использованием метода нелинейной оценки параметров.^[13] Уравнение также иногда называют Уравнение Ферхульста-Перла после его повторного открытия в 1920 г. Раймонд Перл (1879–1940) и Лоуэлл Рид (1888–1966) Университет Джона Хопкинса.^[14] Другой ученый, Альфред Дж. Лотка снова вывел уравнение в 1925 г., назвав его закон роста населения.

Сдача ${\displaystyle P}$ представляют размер популяции (${\displaystyle N}$ вместо этого часто используется в экологии) и ${\displaystyle t}$ представляют время, эта модель формализована дифференциальное уравнение:

${\displaystyle {\frac {dP}{dt}}=rP\left(1-{\frac {P}{K}}\right),}$

где постоянная ${\displaystyle r}$ определяет скорость роста и ${\displaystyle K}$ это грузоподъемность.

В уравнении ранний, беспрепятственный темп роста моделируется первым членом ${\displaystyle +rP}$. Значение ставки ${\displaystyle r}$ представляет собой пропорциональный рост населения ${\displaystyle P}$ за одну единицу времени. Позже, по мере роста численности населения, модуль второго члена (который умножается и равен ${\displaystyle -rP^{2}/K}$) становится почти таким же большим, как и первый, поскольку некоторые члены населения ${\displaystyle P}$ мешают друг другу, конкурируя за какой-то критический ресурс, такой как еда или жизненное пространство. Этот антагонистический эффект называется горлышко бутылки, и моделируется значением параметра ${\displaystyle K}$. Конкуренция снижает совокупные темпы роста до тех пор, пока значение ${\displaystyle P}$ перестает расти (это называется зрелость населения) .Решение уравнения (с ${\displaystyle P_{0}}$ начальная популяция)

${\displaystyle P(t)={\frac {KP_{0}e^{rt}}{K+P_{0}\left(e^{rt}-1\right)}}={\frac {K}{1+\left({\frac {K-P_{0}}{P_{0}}}\right)e^{-rt}}},}$

куда

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }P(t)=K.}$

То есть, что ${\displaystyle K}$ предельное значение ${\displaystyle P}$: максимальное значение, которого может достичь популяция за бесконечное время (или близкое к достижению за конечное время). Важно подчеркнуть, что несущая способность достигается асимптотически независимо от начального значения ${\displaystyle P(0)>0}$, а также в том случае, если ${\displaystyle P(0)>K}$.

В экологии разновидность иногда упоминаются как ${\displaystyle r}$-стратегист или ${\displaystyle K}$-стратег в зависимости от селективный процессы, которые сформировали их история жизни стратегии.Выбор переменных размеров так что ${\displaystyle n}$ измеряет население в единицах грузоподъемности, и ${\displaystyle \tau }$ измеряет время в единицах ${\displaystyle 1/r}$, дает безразмерное дифференциальное уравнение

${\displaystyle {\frac {dn}{d\tau }}=n(1-n).}$

Несущая способность, изменяющаяся во времени

Поскольку условия окружающей среды влияют на пропускную способность, она может изменяться во времени, при этом ${\displaystyle K(t)>0}$, что приводит к следующей математической модели:

${\displaystyle {\frac {dP}{dt}}=rP\cdot \left(1-{\frac {P}{K(t)}}\right).}$

Особенно важным случаем является пропускная способность, которая периодически меняется в зависимости от периода. ${\displaystyle T}$:

${\displaystyle K(t+T)=K(t).}$

Это можно показать^{[нужна цитата ]} что в таком случае независимо от начального значения ${\displaystyle P(0)>0}$, ${\displaystyle P(t)}$ будет стремиться к единственному периодическому решению ${\displaystyle P_{*}(t)}$, период которого ${\displaystyle T}$.

Типичное значение ${\displaystyle T}$ один год: в таком случае ${\displaystyle K(t)}$ может отражать периодические изменения погодных условий.

Еще одно интересное обобщение - считать, что грузоподъемность ${\displaystyle K(t)}$ является функцией популяции в более раннее время, фиксируя задержку в том, как популяция изменяет свою среду. Это приводит к уравнению логистической задержки,^[15] который имеет очень богатое поведение, с бистабильностью в некотором диапазоне параметров, а также монотонным спадом до нуля, плавным экспоненциальным ростом, прерывистым неограниченным ростом (то есть множественными S-образными формами), прерывистым ростом или чередованием до стационарного уровня, колебательным подходом на стационарный уровень, устойчивые колебания, сингулярности за конечное время, а также за конечное время смерти.

В статистике и машинном обучении

Логистические функции используются в статистике в нескольких ролях. Например, они кумулятивная функция распределения из логистическая группа дистрибутивов, и они, немного упрощенные, используются для моделирования шансов, что шахматист должен победить своего соперника в Система рейтинга Эло. Теперь следуют более конкретные примеры.

Логистическая регрессия

Основная статья: Логистическая регрессия

Логистические функции используются в логистическая регрессия моделировать, как вероятность ${\displaystyle p}$ события могут быть затронуты одним или несколькими объясняющие переменные: примером может быть модель

${\displaystyle p=f(a+bx),}$

куда ${\displaystyle x}$ объясняющая переменная, ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ параметры модели, которые необходимо подогнать, и ${\displaystyle f}$ стандартная логистическая функция.

Логистическая регрессия и др. лог-линейные модели также обычно используются в машинное обучение. Обобщением логистической функции на несколько входов является функция активации softmax, используется в полиномиальная логистическая регрессия.

Еще одно применение логистической функции находится в Модель раша, используется в теория ответа элемента. В частности, модель Раша служит основой для максимальная вероятность оценка местоположения предметов или людей на континуум, основанный на наборах категориальных данных, например, способностях людей в континууме, основанном на ответах, которые были классифицированы как правильные и неправильные.

Нейронные сети

Логистические функции часто используются в нейронные сети представлять нелинейность в модели или для ограничения сигналов в пределах указанного интервал. Популярный элемент нейронной сети вычисляет линейная комбинация входных сигналов и применяет к результату ограниченную логистическую функцию; эту модель можно рассматривать как «сглаженный» вариант классической пороговый нейрон.

Обычный выбор для функций активации или "раздавливания", используемых для ограничения больших значений, чтобы ограничить реакцию нейронной сети.^[16] является

${\displaystyle g(h)={\frac {1}{1+e^{-2\beta h}}},}$

что является логистической функцией.

Эти отношения приводят к упрощенной реализации искусственные нейронные сети с искусственные нейроны. Практики предупреждают, что сигмоидальные функции, которые антисимметричный о происхождении (например, гиперболический тангенс ) приводят к более быстрой сходимости при обучении сетей с обратное распространение.^[17]

Логистическая функция сама по себе является производной другой предложенной функции активации, softplus.

В медицине: моделирование роста опухолей.

Смотрите также: Кривая Гомперца § Рост опухолей

Еще одно применение логистической кривой - медицина, где логистическое дифференциальное уравнение используется для моделирования роста опухолей. Это приложение можно рассматривать как расширение вышеупомянутого использования в рамках экологии (см. Также Обобщенная логистическая кривая, с учетом большего количества параметров). Обозначая ${\displaystyle X(t)}$ размер опухоли во времени ${\displaystyle t}$, его динамика определяется

${\displaystyle X'=r\left(1-{\frac {X}{K}}\right)X,}$

который имеет тип

${\displaystyle X'=F(X)X,\quad F'(X)\leq 0,}$

куда ${\displaystyle F(X)}$ скорость разрастания опухоли.

Если химиотерапия начинается с эффекта логарифмического уничтожения, уравнение может быть изменено на

${\displaystyle X'=r\left(1-{\frac {X}{K}}\right)X-c(t)X,}$

куда ${\displaystyle c(t)}$ - коэффициент смертности, вызванной терапией. В идеализированном случае очень длительной терапии ${\displaystyle c(t)}$ можно моделировать как периодическую функцию (периода ${\displaystyle T}$) или (в случае непрерывной инфузионной терапии) как постоянную функцию, и

${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}c(t)\,dt>r\to \lim _{t\to +\infty }x(t)=0,}$

то есть, если средний уровень смертности, вызванной терапией, выше, чем исходный уровень распространения, то это означает искоренение болезни. Конечно, это чрезмерно упрощенная модель как роста, так и терапии (например, она не принимает во внимание феномен клональной резистентности).

В медицине: моделирование пандемии

Основная статья: Компартментные модели в эпидемиологии

Новый инфекционный патоген, к которому у населения нет иммунитета, обычно будет распространяться экспоненциально на ранних стадиях, в то время как количество восприимчивых людей достаточно велико. Вирус SARS-CoV-2, вызывающий COVID-19 в начале 2020 года в нескольких странах показала экспоненциальный рост на ранних этапах развития инфекции.^[18] Многие факторы, начиная от отсутствия восприимчивых людей (либо через продолжающееся распространение инфекции до тех пор, пока она не преодолеет порог коллективный иммунитет или снижение доступности восприимчивых за счет мер физического дистанцирования), экспоненциально выглядящие эпидемические кривые могут сначала линеаризоваться (воспроизводя «логарифмический» переход к «логистическому», впервые отмеченный Пьер-Франсуа Верхюльст, как указано выше), а затем достигните максимального предела.^[19]

Логистическая функция или связанные функции (например, Функция Гомперца ) обычно используются в описательной или феноменологической манере, поскольку они хорошо подходят не только для раннего экспоненциального роста, но и для возможного выравнивания пандемии по мере того, как у населения развивается коллективный иммунитет. Это контрастирует с реальными моделями пандемий, которые пытаются сформулировать описание на основе динамики пандемии (например, частота контактов, время инкубации, социальное дистанцирование и т. Д.). Однако было разработано несколько простых моделей, которые дают логистическое решение.^[20][21][22]

Обобщенная логистическая функция (Кривая роста Ричардса) в эпидемиологическом моделировании

А обобщенная логистическая функция, также называемая кривой роста Ричардса, широко используется при моделировании COVID-19 траектории заражения.^[23] Траектория заражения - это ежедневные временные ряды данных по совокупному количеству инфицированных случаев для такого субъекта, как страна, город, штат и т. Д. В литературе есть варианты перенараметрирования: одна из часто используемых форм -

${\displaystyle f(t;\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3},\xi )={\frac {\theta _{1}}{[1+\xi \cdot \exp\{-\theta _{2}\cdot (t-\theta _{3})\}]^{1/\xi }}}}$

куда ${\displaystyle \theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}}$ настоящие числа, и ${\displaystyle \xi }$ положительное действительное число. Гибкость кривой ${\displaystyle f}$ обусловлено параметром ${\displaystyle \xi }$: (i) если ${\displaystyle \xi =1}$ тогда кривая сводится к логистической функции, и (ii) если ${\displaystyle \xi }$ сходится к нулю, то кривая сходится к Функция Гомперца. В эпидемиологическом моделировании ${\displaystyle \theta _{1}}$, ${\displaystyle \theta _{2}}$, и ${\displaystyle \theta _{3}}$ представляют собой окончательный размер эпидемии, частоту инфицирования и лаг-фазу соответственно. На правой панели представлена ​​примерная траектория заражения, когда ${\displaystyle (\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3})}$ обозначены ${\displaystyle (10,000,0.2,40)}$.

Одно из преимуществ использования функции роста, такой как обобщенная логистическая функция в эпидемиологическом моделировании - это относительно легкое распространение на многоуровневая модель с помощью функции роста для описания траекторий заражения от нескольких субъектов (стран, городов, штатов и т. д.). Такую структуру моделирования можно также широко называть нелинейной моделью смешанных эффектов или иерархической нелинейной моделью. Пример использования обобщенная логистическая функция в байесовской многоуровневой модели Байесовская иерархическая модель Ричардса.

По химии: модели реакций

Концентрация реагентов и продуктов в автокаталитические реакции следуют логистической функции. Платиновая группа безметалловый (без МПГ) катализатор реакции восстановления кислорода (ORR) в катодах топливных элементов следует логистической функции распада,^[24] предполагая механизм автокаталитического разложения.

В физике: распределение Ферми – Дирака.

Логистическая функция определяет статистическое распределение фермионов по энергетическим состояниям системы в тепловом равновесии. В частности, это распределение вероятностей того, что каждый возможный уровень энергии занят фермионом, согласно Статистика Ферми – Дирака.

В материаловедении: фазовые диаграммы

Диффузионное соединение.

В лингвистике: смена языка

В лингвистике логистическая функция может использоваться для моделирования изменение языка:^[25] нововведение, которое сначала является маргинальным, начинает со временем распространяться быстрее, а затем медленнее по мере того, как оно становится более универсальным.

В сельском хозяйстве: моделирование реакции сельскохозяйственных культур

Логистическая S-образная кривая может использоваться для моделирования реакции сельскохозяйственных культур на изменения факторов роста. Есть два типа функций ответа: положительный и отрицательный кривые роста. Например, урожайность может увеличивать с увеличением значения фактора роста до определенного уровня (положительная функция), или может снижаться при увеличении значений фактора роста (отрицательная функция из-за отрицательного фактора роста), что требует перевернутый S-образная кривая.

Логистическая S-образная кривая может использоваться для моделирования взаимосвязи между урожайностью и глубиной посадки. уровень грунтовых вод в почве.[26] Перевернутая логистическая S-кривая может использоваться для моделирования взаимосвязи между урожайностью и урожайностью. засоление почвы.[27] Модель S-образной кривой для зависимости урожайности от глубины водоема.[28] Модель перевернутой S-образной кривой для зависимости урожайности от засоления почвы.[29]

В экономике и социологии: распространение инноваций

Логистическая функция может использоваться для демонстрации прогресса распространение инновации через его жизненный цикл.

В Законы подражания (1890), Габриэль Тард описывает возникновение и распространение новых идей через цепочки подражания. В частности, Тард выделяет три основных этапа, через которые распространяются инновации: первый соответствует сложным начинаниям, во время которых идея должна бороться во враждебной среде, полной противоположных привычек и убеждений; второй соответствует экспоненциальному взлету идеи, с ${\displaystyle f(x)=2^{x}}$; наконец, третий этап - логарифмический, с ${\displaystyle f(x)=\log(x)}$, и соответствует времени, когда импульс идеи постепенно замедляется, одновременно появляются новые идеи оппонента. Возникающая в результате ситуация останавливает или стабилизирует прогресс инновации, которая приближается к асимптоте.

В Суверенное государство, субнациональные единицы (Составляющие государства или города) могут использовать ссуды для финансирования своих проектов. Однако этот источник финансирования обычно регулируется строгими правовыми нормами, а также экономией. дефицит ограничений, особенно ресурсов, которые банки могут ссудить (из-за их беспристрастность или же Базель пределы). Эти ограничения, которые представляют собой уровень насыщения, наряду с экспоненциальным ускорением экономическая конкуренция за деньги создать общественные финансы распространение просьб о предоставлении кредита и совокупный национальный ответ - это сигмовидная кривая.^[30]

В истории экономики, когда вводятся новые продукты, очень много исследования и разработки что приводит к значительному повышению качества и снижению стоимости. Это приводит к периоду быстрого роста отрасли. Некоторые из наиболее известных примеров: железные дороги, лампы накаливания, электрификация, автомобили и авиаперелеты. В конце концов, возможности кардинального улучшения и сокращения затрат исчерпаны, продукт или процесс широко используются, и остается мало потенциальных новых клиентов, и рынки становятся насыщенными.

Логистический анализ использовался в статьях нескольких исследователей Международного института прикладного системного анализа (МИПСА ). Эти документы касаются распространения различных инноваций, инфраструктуры и замены источников энергии, а также роли труда в экономике, а также длинного экономического цикла. Длинные экономические циклы были исследованы Робертом Эйресом (1989).^[31] Чезаре Маркетти опубликовано на длинные экономические циклы и по распространению инноваций.^[32][33] Книга Арнульфа Грюблера (1990) дает подробный отчет о распространении инфраструктуры, включая каналы, железные дороги, шоссе и авиалинии, показывая, что их распространение следовало кривым логистической формы.^[34]

Карлота Перес использовала логистическую кривую, чтобы проиллюстрировать длинный (Кондратьев ) деловой цикл со следующими обозначениями: начало технологической эры как вторжение, восхождение как безумие, быстрое наращивание как синергия и завершение как зрелость.^[35]

Смотрите также

• Экспоненциальный рост
• Гиперболический рост
• Распространение инноваций
• Обобщенная логистическая функция
• Кривая Гомперца
• Ступенчатая функция Хевисайда
• Кривая Хабберта
• Логистическая дистрибуция
• Логистическая карта
• Логистическая регрессия
• Логистическая модель плавной передачи
• Logit
• Отношение логарифма правдоподобия
• Мальтузианская модель роста
• Динамика населения
• теория выбора р / к
• Сдвинутое распределение Гомперца
• Переломный момент (социология)
• Выпрямитель (нейронные сети)
• Перекрестная жидкость
• Уравнение Хилла (биохимия)
• Уравнение Михаэлиса – Ментен

Примечания

1. Статья была представлена ​​в 1844 году и опубликована в 1845 году: «(Lu à la séance du 30 novembre 1844)». «(Прочтите на заседании 30 ноября 1844 г.)», с. 1.
2. Ферхюльст сначала обращается к арифметике прогресс и геометрический прогресс, и называет геометрическую кривую роста логарифмический кривой (что сбивает с толку, современный термин вместо этого экспоненциальный кривая, обратная). Затем он называет свою кривую логистика, в отличие от логарифмический, и сравнивает логарифмическую кривую и логистическую кривую на рисунке в своей статье.
3. В Древней Греции λογῐστῐκός относится к практическим вычислениям и учету, в отличие от ἀριθμητική (арифметика), теоретическое или философское изучение чисел. Как ни странно, на английском арифметика относится к практическим вычислениям, хотя и происходит от ἀριθμητική, нет λογῐστῐκός. См. Например Луи Чарльз Карпински, Никомах Герасийский: Введение в арифметику (1926) стр. 3: «Современные читатели, особенно ученые и математики, в основном связывают арифметику с искусством вычислений. Для древних греков после Пифагор Однако арифметика была прежде всего философским исследованием, не имевшим необходимой связи с практическими делами. Действительно, греки дали отдельное название арифметике бизнеса, λογιστική [бухгалтерский учет или практическая логистика] ... В общем, философы и математики Греции, несомненно, считали ниже своего достоинства заниматься этой отраслью, которая, вероятно, составляла часть элементарного обучения детей ».

Рекомендации

1. Верхюльст, Пьер-Франсуа (1838). "Notice sur la loi que la population poursuit dans son accroissement" (PDF). Соответствие Mathématique et Physique. 10: 113–121. Получено 3 декабря 2014.
2. Крамер 2002, стр. 3–5.
3. Верхюльст, Пьер-Франсуа (1845). "Recherches mathématiques sur la loi d'accroissement de la Population" [Математические исследования закона увеличения роста населения]. Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Bruxelles. 18: 8. Получено 18 февраля 2013. Nous donnerons le nom de логистика à la Courbe [Мы дадим имя логистика к кривой]
4. Верхюльст, Пьер-Франсуа (1847). "Deuxième mémoire sur la loi d'accroissement de la Population". Mémoires de l'Académie Royale des Sciences, des Lettres et des Beaux-Arts de Belgique. 20: 1–32. Получено 18 февраля 2013.
5. Шульман, Бонни (1998). «Живая математика! Использование первоисточников для обучения математике в социальном контексте». ПРИМУС. 8 (Март): 1–14. Дои:10.1080/10511979808965879. Диаграмма убедила меня в этом: две кривые, обозначенные как «Логистика» и «Логарифмический», нарисованы на одних и тех же осях, и можно видеть, что есть область, где они почти точно совпадают, а затем расходятся.
   Я пришел к выводу, что намерение Ферхюльста при названии кривой действительно состояло в том, чтобы предложить это сравнение, и что «логистический» должен был передать «логарифмическое» качество кривой.
6. Коциан, Александр; Кармасси, Джулия; Села, Фатьон; Incrocci, Лука; Милаццо, Паоло; Чесса, Стефано (7 июня 2020 г.). «Прогнозирование временных рядов байесовского сигмовидного типа с отсутствующими данными для тепличных культур». Датчики. 20 (11): 3246. Дои:10,3390 / с20113246. ЧВК  7309099. PMID  32517314.
7. документация expit для пакета R clusterPower.
8. Кюркчиев, Николай и Святослав Марковы. «Сигмовидные функции: некоторые аспекты аппроксимации и моделирования». LAP LAMBERT Academic Publishing, Саарбрюккен (2015).
9. Рауль Рохас. Нейронные сети - систематическое введение (PDF). Получено 15 октября 2016.
10. С. В. Линк, Психометрика, 1975, 40, 1, 77–105
11. С. В. Линк, Внимание и исполнение VII, 1978, 619–630.
12. С. В. Линк, Волновая теория различия и подобия (книга), Тейлор и Фрэнсис, 1992
13. А.Г. Маккендрика; М. Кесава Паиа1 (январь 1912 г.). "XLV. - Скорость размножения микроорганизмов: математическое исследование". Труды Королевского общества Эдинбурга. 31: 649–653. Дои:10.1017 / S0370164600025426.
14. Раймонд Перл & Лоуэлл Рид (Июнь 1920 г.). «О темпах роста населения США» (PDF). Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки. 6 (6). п. 275.
15. Юкалов, В. И .; Юкалова, Э. П .; Сорнетт, Д. (2009). «Прерывистая эволюция из-за задержки несущей способности». Physica D: нелинейные явления. 238 (17): 1752–1767. arXiv:0901.4714. Bibcode:2009PhyD..238.1752Y. Дои:10.1016 / j.physd.2009.05.011. S2CID  14456352.
16. Гершенфельд 1999, стр. 150.
17. LeCun, Y .; Bottou, L .; Orr, G .; Мюллер, К. (1998). Orr, G .; Мюллер, К. (ред.). Эффективный BackProp (PDF). Нейронные сети: хитрости торговли. Springer. ISBN  3-540-65311-2.
18. Worldometer: COVID-19 ПАНДЕМИЯ КОРОНАВИРУСА
19. Вильялобос-Ариас, Марио (2020). «Использование обобщенной логистической регрессии для прогнозирования населения, инфицированного Covid-19». arXiv:2004.02406 [q-bio.PE ].
20. Постников, Евгений Б. (июнь 2020 г.). «Оценка динамики COVID-19« на обратной стороне конверта »: дает ли простейшая модель SIR количественные параметры и прогнозы?». Хаос, солитоны и фракталы. 135: 109841. Дои:10.1016 / j.chaos.2020.109841. ЧВК  7252058. PMID  32501369. Получено 20 июля 2020.
21. Сайто, Такеси (июнь 2020 г.). «Логистическая кривая в модели SIR и ее применение к смертям от COVID-19 в Японии». MedRxiv. Дои:10.1101/2020.06.25.20139865. S2CID  220068969. Получено 20 июля 2020.
22. Райзер, Пол А. (2020). «Модифицированная модель SIR, дающая логистическое решение». arXiv:2006.01550 [q-bio.PE ].
23. Ли, Се Юн; Лей, Боуэн; Маллик, Бани (2020). «Оценка кривых распространения COVID-19 с учетом глобальных данных и информации о заимствованиях». PLOS ONE. 15 (7): e0236860. Дои:10.1371 / journal.pone.0236860. ЧВК  7390340. PMID  32726361.
24. Инь, Си; Зеленай, Петр (13 июля 2018 г.). "Кинетические модели механизмов деградации катализаторов ORR без PGM". Транзакции ECS. 85 (13): 1239–1250. Дои:10.1149 / 08513.1239ecst. OSTI  1471365.
25. Бод, Хэй, Дженнеди (ред.) 2003, стр. 147–156
26. Калькулятор реакции растений на изменение факторов роста с использованием сегментированная регрессия, S-кривые и параболы. В сети: [1].
27. Программное обеспечение для подгонки S-кривых к наборам данных
28. Сбор данных о растениеводстве и глубине уровень грунтовых вод в почве разных авторов. В сети: [2]
29. Сбор данных о растениеводстве и засоление почвы разных авторов. В сети: [3]
30. Rocha, Leno S .; Rocha, Frederico S.A .; Соуза, Тарсис Т. П. (5 октября 2017 г.). «Является ли государственный сектор вашей страны диффузным заемщиком? Эмпирические данные из Бразилии». PLOS ONE. 12 (10): e0185257. arXiv:1604.07782. Bibcode:2017PLoSO..1285257R. Дои:10.1371 / journal.pone.0185257. ISSN  1932-6203. ЧВК  5628819. PMID  28981532.
31. Эйрес, Роберт (1989). «Технологические преобразования и длинные волны» (PDF).
32. Маркетти, Чезаре (1996). "Вездесущие длинные волны: общество циклотимично" (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) 5 марта 2012 г.
33. Маркетти, Чезаре (1988). «Возвращение к Кондратьеву - после одного цикла» (PDF).
34. Грюблер, Арнульф (1990). Взлет и падение инфраструктуры: динамика развития и технологических изменений на транспорте (PDF). Гейдельберг и Нью-Йорк: Physica-Verlag.
35. Перес, Карлота (2002). Технологические революции и финансовый капитал: динамика пузырей и золотые века. Великобритания: Эдвард Элгар Паблишинг Лимитед. ISBN  1-84376-331-1.

• Крамер, Дж. С. (2002). Истоки логистической регрессии (PDF) (Технический отчет). 119. Институт Тинбергена. С. 167–178. Дои:10.2139 / ssrn.360300.
  • Опубликовано как:Крамер, Дж. С. (2004). «Ранние истоки логит-модели». Исследования по истории и философии науки Часть C: Исследования по истории и философии биологических и биомедицинских наук. 35 (4): 613–626. Дои:10.1016 / j.shpsc.2004.09.003.
• Яннеди, Стефани; Бод, Ренс; Хэй, Дженнифер (2003). Вероятностная лингвистика. Кембридж, Массачусетс: MIT Press. ISBN  0-262-52338-8.
• Гершенфельд, Нил А. (1999). Природа математического моделирования. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-57095-4.
• Кингсленд, Шарон Э. (1995). Моделирование природы: эпизоды истории популяционной экологии. Чикаго: Издательство Чикагского университета. ISBN  0-226-43728-0.
• Вайсштейн, Эрик В. «Логистическое уравнение». MathWorld.

внешняя ссылка

• Л.Дж. Линакр, Почему логистическая активная, а не автокаталитическая кривая?, дата обращения 12 сентября 2009 г.
• https://web.archive.org/web/20060914155939/http://luna.cas.usf.edu/~mbrannic/files/regression/Logistic.html
• Вайсштейн, Эрик В. «Сигмовидная функция». MathWorld.
• Онлайн-эксперименты с JSXGraph
• Эссес везде.
• Видеть s-образную кривую - это все.
• Ограниченный логарифмический рост с введением