Модель STAR - STAR model

Экспоненциальная функция перехода для модели ESTAR с ${displaystyle z_{t}}$ от -10 до +10 и ${displaystyle zeta }$ - от 0 до 1.

В статистика, Авторегрессия с плавным переходом (ЗВЕЗДА) модели обычно применяются к Временные ряды данные как продолжение авторегрессионные модели, чтобы обеспечить более высокую степень гибкости параметров модели за счет плавный переход.

Учитывая временной ряд данных Икс_т, модель STAR является инструментом для понимания и, возможно, прогнозирования будущих значений в этом ряду, предполагая, что поведение ряда изменяется в зависимости от значения переменная перехода. Переход может зависеть от прошлые ценности из Икс серия (похожая на Модели SETAR ) или экзогенные переменные.

Модель состоит из 2 авторегрессия (AR) части, связанные функцией перехода. Модель обычно называют ЗВЕЗДА(п) модели начинаются буквой, описывающей функцию перехода (см. ниже) и п это порядок авторегрессия часть. Наиболее популярные функции перехода включают экспоненциальную функцию и логистические функции первого и второго порядка. Они дают начало Logistic STAR (LSTAR) и экспоненциальная ЗВЕЗДА (ESTAR) модели.

Определение

Авторегрессионные модели

Рассмотрим простой AR (п) модель для Временные ряды у_т

${displaystyle y_{t}=gamma _{0}+gamma _{1}y_{t-1}+gamma _{2}y_{t-2}+...+gamma _{p}y_{t-p}+epsilon _{t}.,}$

куда:

${displaystyle gamma _{i},}$ за я=1,2,...,п находятся авторегрессия коэффициенты, предполагаемые постоянными во времени;

${displaystyle epsilon _{t}{stackrel {mathit {iid}}{sim }}WN(0;sigma ^{2}),}$ означает белый шум член ошибки с константой отклонение.

записывается в следующей векторной форме:

${displaystyle y_{t}=mathbf {X_{t}gamma } +sigma epsilon _{t}.,}$

куда:

${displaystyle mathbf {X_{t}} =(1,y_{t-1},y_{t-2},ldots ,y_{t-p}),}$ - вектор-столбец переменных;

${displaystyle gamma ,}$ - вектор параметров:${displaystyle gamma _{0},gamma _{1},gamma _{2},...,gamma _{p},}$;

${displaystyle epsilon _{t}{stackrel {mathit {iid}}{sim }}WN(0;1),}$ означает белый шум член ошибки с константой отклонение.

Экспоненциальная функция перехода для модели ESTAR с ${displaystyle z_{t}}$ от -10 до +10, ${displaystyle zeta }$ от 0 до 1 и два экспоненциальных корня (${displaystyle c_{1}}$ и ${displaystyle c_{2}}$) равным -7 и +3.

STAR как расширение модели авторегрессии

Модели STAR были введены и всесторонне разработаны Кунг-сиком Чаном и Хауэллом Тонгом в 1986 году (особенно стр. 187), в которых использовался тот же акроним. Первоначально это расшифровывается как Smooth Threshold AutoRegressive. Для некоторой предыстории см. Тонг (2011, 2012). Модели можно рассматривать с точки зрения расширения моделей авторегрессии, обсужденных выше, с учетом изменения параметров модели в соответствии со значением слабо экзогенный переменная перехода z_т. Для тестирования моделей TAR и моделей STAR см. Gao, Ling and Tong (2018, Statistica Sinica, volume 28, 2857-2883).

Определенная таким образом модель STAR может быть представлена ​​следующим образом:

${displaystyle y_{t}=mathbf {X_{t}} +G(z_{t},zeta ,c)mathbf {X_{t}} +sigma ^{(j)}epsilon _{t},}$

куда:

${displaystyle X_{t}=(1,y_{t-1},y_{t-2},...,y_{t-p}),}$ - вектор-столбец переменных;

${displaystyle G(z_{t},zeta ,c)}$ - переходная функция, ограниченная между 0 и 1.

Базовая структура

Их можно понимать как двухрежимную модель SETAR с плавным переходом между режимами или как континуум режимов. В обоих случаях наличие функции перехода является определяющей особенностью модели, поскольку она позволяет изменять значения параметров.

Функция перехода

Функция логистического перехода для модели ESTAR с ${displaystyle z_{t}}$ от -10 до +10 и ${displaystyle zeta }$ - от 0 до 1. Рассчитано с использованием Пакет GNU R..

Три основные функции перехода и название результирующих моделей:

• логистическая функция первого порядка - приводит к Logistic STAR (LSTAR) модель:

${displaystyle G(z_{t},zeta ,c)=(1+exp(-zeta (z_{t}-c)))^{-1},zeta >0}$

• экспоненциальная функция - приводит к экспоненциальной ЗВЕЗДЕ (ESTAR) модель:

${displaystyle G(z_{t},zeta ,c)=1-exp(-zeta (z_{t}-c)^{2}),zeta >0}$

• Логистическая функция второго порядка:

${displaystyle G(z_{t},zeta ,c)=(1+exp(-zeta (z_{t}-c_{1})(z_{t}-c_{2}))^{-1},zeta >0}$

Смотрите также

• Характеристики экспоненциальной функции
• Экспоненциальный рост
• Возведение в степень
• Обобщенная логистическая функция
• Логистическая дистрибуция
• Модели SETAR

Рекомендации

• Chan, K. S .; Тонг, Х. (1986). «Об оценке порогов в моделях авторегрессии». Журнал анализа временных рядов. 7 (3): 178–190. Дои:10.1111 / j.1467-9892.1986.tb00501.x.
• Van Dijk, D .; Teräsvirta, T .; Франсес, П. Х. (2002). "Модели авторегрессии с плавным переходом - обзор последних разработок". Эконометрические обзоры. 21 (1): 1–47. Дои:10.1081 / ETC-120008723.
• Тонг, Х. (2011). «Пороговые модели в анализе временных рядов - 30 лет спустя (с обсуждениями П. Уиттла, М. Розенблатта, Б. Э. Хансена, П. Броквелла, Н. И. Самиа и Ф. Батталья)» (PDF). Статистика и ее интерфейс. 4 (2): 107–118. Дои:10.4310 / SII.2011.v4.n2.a1.
• Хансен, Б. Э. (2011). «Пороговая авторегрессия в экономике» (PDF). Статистика и ее интерфейс. 4 (2): 123–127. Дои:10.4310 / sii.2011.v4.n2.a4.
• Тонг, Х. (2012). «Обсуждение« анализа глобального потепления в альпийском регионе на основе нелинейных нестационарных моделей временных рядов »Баттальи и Протопапы» (PDF). Статистические методы и приложения. 21 (3): 335–339. Дои:10.1007 / s10260-012-0196-1.