Обобщенная логистическая функция - Generalised logistic function

A = 0, K = 1, B = 3, Q = ν = 0,5, M = 0, C = 1

Влияние изменения параметра A. Все остальные параметры равны 1.

Влияние изменения параметра B. A = 0, все остальные параметры равны 1.

Влияние изменения параметра C. A = 0, все остальные параметры равны 1.

Влияние изменения параметра K. A = 0, все остальные параметры равны 1.

Влияние изменения параметра Q. A = 0, все остальные параметры равны 1.

Влияние переменного параметра ${\displaystyle \nu }$. A = 0, все остальные параметры равны 1.

В обобщенная логистическая функция или же изгиб, также известный как Кривая Ричардса, первоначально разработанная для моделирования роста, является расширением логистика или же сигмовидный функции, позволяющие создавать более гибкие S-образные кривые:

${\displaystyle Y(t)=A+{K-A \over (C+Qe^{-Bt})^{1/\nu }}}$

куда ${\displaystyle Y}$ = вес, рост, размер и т. д., и ${\displaystyle t}$ = время.

У него пять параметров:

• ${\displaystyle A}$: нижняя асимптота;
• ${\displaystyle K}$: верхняя асимптота при ${\displaystyle C=1}$. Если ${\displaystyle A=0}$ и ${\displaystyle C=1}$ тогда ${\displaystyle K}$ называется грузоподъемность;
• ${\displaystyle B}$: скорость роста;
• ${\displaystyle \nu >0}$ : влияет на то, вблизи какой асимптоты происходит максимальный рост.
• ${\displaystyle Q}$: связано со значением ${\displaystyle Y(0)}$
• ${\displaystyle C}$: обычно принимает значение 1. В противном случае верхняя асимптота ${\displaystyle A+{K-A \over C^{\nu }}}$

Уравнение также можно записать:

${\displaystyle Y(t)=A+{K-A \over (C+e^{-B(t-M)})^{1/\nu }}}$

куда ${\displaystyle M}$ можно рассматривать как время начала, ${\displaystyle t_{0}}$ (при этом ${\displaystyle Y(t_{0})=A+{K-A \over (C+1)^{1/\nu }}}$ )

Включая оба ${\displaystyle Q}$ и ${\displaystyle M}$ может быть удобно:

${\displaystyle Y(t)=A+{K-A \over (C+Qe^{-B(t-M)})^{1/\nu }}}$

это представление упрощает установку как времени начала, так и значения Y в это время.

Общую модель иногда называют «кривой Ричардса» в честь Ф. Дж. Ричардса, который в 1959 году предложил общую форму для семейства моделей.

В логистика, с максимальной скоростью роста за время ${\displaystyle M}$, это случай, когда ${\displaystyle Q=\nu =1}$.

Обобщенное логистическое дифференциальное уравнение

Частный случай обобщенной логистической функции:

${\displaystyle Y(t)={K \over (1+Qe^{-\alpha \nu (t-t_{0})})^{1/\nu }}}$

которое является решением дифференциального уравнения Ричардса (RDE):

${\displaystyle Y^{\prime }(t)=\alpha \left(1-\left({\frac {Y}{K}}\right)^{\nu }\right)Y}$

с начальным условием

${\displaystyle Y(t_{0})=Y_{0}}$

куда

${\displaystyle Q=-1+\left({\frac {K}{Y_{0}}}\right)^{\nu }}$

при условии, что ν> 0 и α> 0.

Классическое логистическое дифференциальное уравнение является частным случаем указанного выше уравнения с ν = 1, тогда как Кривая Гомперца можно восстановить в пределе ${\displaystyle \nu \rightarrow 0^{+}}$ при условии, что:

${\displaystyle \alpha =O\left({\frac {1}{\nu }}\right)}$

На самом деле при малых ν это

${\displaystyle Y^{\prime }(t)=Yr{\frac {1-\exp \left(\nu \ln \left({\frac {Y}{K}}\right)\right)}{\nu }}\approx rY\ln \left({\frac {Y}{K}}\right)}$

RDE моделирует многие феномены роста, включая рост опухолей. В онкологии его основные биологические особенности аналогичны таковым у Логистическая кривая модель.

Модели RDE широко используются для описания траектории инфекции в эпидемиологическом моделировании; видеть [1] для приложения COVID-19.

Градиент обобщенной логистической функции

При оценке параметров на основе данных часто необходимо вычислить частные производные логистической функции по параметрам в данной точке данных. ${\displaystyle t}$ (видеть ^[1]). Для случая, когда ${\displaystyle C=1}$,

${\displaystyle {\begin{aligned}\\{\frac {\partial Y}{\partial A}}&=1-(1+Qe^{-B(t-M)})^{-1/\nu }\\\\{\frac {\partial Y}{\partial K}}&=(1+Qe^{-B(t-M)})^{-1/\nu }\\\\{\frac {\partial Y}{\partial B}}&={\frac {(K-A)(t-M)Qe^{-B(t-M)}}{\nu (1+Qe^{-B(t-M)})^{{\frac {1}{\nu }}+1}}}\\\\{\frac {\partial Y}{\partial \nu }}&={\frac {(K-A)\ln(1+Qe^{-B(t-M)})}{\nu ^{2}(1+Qe^{-B(t-M)})^{\frac {1}{\nu }}}}\\\\{\frac {\partial Y}{\partial Q}}&=-{\frac {(K-A)e^{-B(t-M)}}{\nu (1+Qe^{-B(t-M)})^{{\frac {1}{\nu }}+1}}}\\\\{\frac {\partial Y}{\partial M}}&=-{\frac {(K-A)QBe^{-B(t-M)}}{\nu (1+Qe^{-B(t-M)})^{{\frac {1}{\nu }}+1}}}\\\end{aligned}}}$

Применение к эпидемиологическому моделированию COVID-19

Роль параметра формы ${\displaystyle \xi }$ в обобщенной логистической функции

Роли трех параметров в обобщенной логистической функции

Обобщенная логистическая функция (Кривая роста Ричардса) широко используется при моделировании COVID-19 траектории заражения.^[2] Траектория заражения - это (обычно ежедневные) данные временного ряда для совокупного числа инфицированных случаев для субъекта. Темой может быть определенная страна, город, штат и т. Д. В литературе есть варианты перенастройки параметров, и одна из часто используемых форм -

${\displaystyle f(t;\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3},\xi )=\theta _{1}\cdot [1+\xi \cdot \exp\{-\theta _{2}\cdot (t-\theta _{3})\}]^{-1/\xi }}$

куда ${\displaystyle \theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}}$ настоящие числа, и ${\displaystyle \xi }$ положительное действительное число. Гибкость кривой ${\displaystyle f}$ обусловлено параметром ${\displaystyle \xi }$: (i) если ${\displaystyle \xi =1}$ тогда кривая сводится к логистической функции, и (ii) если ${\displaystyle \xi }$ сходится к нулю, то кривая сходится к Функция Гомперца. В эпидемиологическом моделировании параметры ${\displaystyle \theta _{1}}$, ${\displaystyle \theta _{2}}$, и ${\displaystyle \theta _{3}}$ представляют окончательный размер эпидемии, уровень заражения, и фаза задержки, соответственно. См. Правые панели для графического описания примерной траектории заражения, когда ${\displaystyle (\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3})}$ обозначены ${\displaystyle (10,000,0.2,40)}$ при изменении ${\displaystyle \xi }$ быть ${\displaystyle 1\times 10^{-13}\approx 0}$, ${\displaystyle 0.5}$, и ${\displaystyle 1}$, соответственно.

Особые случаи

Следующие функции являются частными случаями кривых Ричардса:

• Логистическая функция
• Кривая Гомперца
• Функция фон Берталанфи
• Мономолекулярная кривая

Сноски

1. Фекедулен, Деста; Майритин П. Мак Сюртейн; Джим Дж. Колберт (1999). "Параметрическая оценка моделей нелинейного роста в лесном хозяйстве" (PDF). Сильва Фенница. 33 (4): 327–336. Архивировано из оригинал (PDF) на 2011-09-29. Получено 2011-05-31.
2. Ли, Се Юн; Лей, Боуэн; Маллик, Бани (2020). «Оценка кривых распространения COVID-19 с учетом глобальных данных и информации о заимствованиях». PLOS ONE. Дои:10.1371 / journal.pone.0236860.

Рекомендации

• Ричардс, Ф. Дж. (1959). «Гибкая функция роста для эмпирического использования». Журнал экспериментальной ботаники. 10 (2): 290–300. Дои:10.1093 / jxb / 10.2.290.
• Pella, J. S .; Томлинсон, П. К. (1969). «Обобщенная модель производства запасов». Бык. Inter-Am. Троп. Tuna Comm. 13: 421–496.
• Lei, Y.C .; Чжан, С. Ю. (2004). «Особенности и частные производные модели роста Берталанфи-Ричардса в лесном хозяйстве». Нелинейный анализ: моделирование и управление. 9 (1): 65–73.
• Ли, Се Юн; Лей, Боуэн; Маллик, Бани (2020). «Оценка кривых распространения COVID-19 с учетом глобальных данных и информации о заимствованиях». PLOS ONE. Дои:10.1371 / journal.pone.0236860.