Обрыв жидкой нити - Fluid thread breakup

Обрыв жидкой нити это процесс, при котором одна масса жидкости распадается на несколько меньших масс жидкости. Процесс характеризуется удлинением жидкой массы с образованием тонких нитевидных областей между более крупными узелками жидкости. Нитевидные области продолжают истончаться, пока не разорвутся, образуя отдельные капельки жидкости.

Разрыв резьбы происходит, когда две жидкости или жидкость в вакууме образуют свободную поверхность с поверхностная энергия. Если имеется большая площадь поверхности, чем минимум, необходимый для удержания объема жидкости, система имеет избыток поверхностная энергия. Система, не находящаяся в состоянии минимальной энергии, будет пытаться перестроиться, чтобы перейти к состоянию с более низкой энергией, что приведет к распаду жидкости на меньшие массы, чтобы минимизировать поверхностную энергию системы за счет уменьшения площади поверхности. Точный результат процесса разрыва потока зависит от поверхностное натяжение, вязкость, плотность, и диаметр разрываемой резьбы.

История

Изучение образования капель имеет долгую историю, впервые восходящую к работе Леонардо да Винчи кто написал:^[1]

«Как вода имеет прочность сама по себе и сцепление между ее частицами. […] Это видно в процессе отделения капли от остатка, когда этот остаток растягивается, насколько это возможно, под тяжестью вытягивающейся капли. это; и после того, как капля была отделена от этой массы, масса возвращается вверх с движением, противоположным природе тяжелых вещей ".

Таким образом, он правильно объяснил падение капель гравитацией, а механизм разрыва нити - связью молекул воды.

Первый правильный анализ разрыва потока жидкости был качественно определен Томас Янг и математически Пьер-Симон Лаплас между 1804 и 1805 гг.^[2][3] Они правильно отнесли драйвер разрыва потока к поверхностное натяжение характеристики. Более того, они также сделали вывод о важности средняя кривизна в создании избыточного давления в потоке жидкости. Проведя свой анализ, они показали, что поверхностное натяжение может вести себя двумя способами: упругий механизм, который может поддерживать висящую каплю, и механизм давления из-за капиллярное давление что способствует разрыву потока.

В 1820-х годах итальянский физик и инженер-гидротехник Джорджио Бидоне исследовали деформацию струй воды, выходящих из отверстий различной формы.^[4] Феликс Савар Затем в 1833 году были проведены экспериментальные работы с использованием стробоскопической техники для количественного измерения разрыва нити.^[5]Он отметил, что разрыв отношений - это спонтанный процесс, происходящий без внешних раздражителей. Эта работа позволила ему определить, что капли образуются из струи, истекающей из резервуара с определенной скоростью, обратно пропорциональной сопло радиус и пропорционален давлению в резервуаре. Эти наблюдения способствовали Плато Джозеф работа, которая установила связь между распадом струи и поверхностная энергия.^[6] Плато удалось определить длину волны наиболее нестабильного возмущения в потоке жидкости, которая позже была пересмотрена Лорд Рэйли для учета динамики струи.

Когда поверхностное возмущение становится большим, необходимо применять нелинейную теорию. Экспериментально поведение струй с большими возмущениями было исследовано Магнус и Ленард.^[7][8] Их эксперименты помогли охарактеризовать спутниковые капли, капли, которые образуются в дополнение к большой основной капле, благодаря внедрению высокоскоростной фотографии. Высокоскоростная фотография в настоящее время является стандартным методом экспериментального анализа разрыва нити.

С появлением большей вычислительной мощности численное моделирование начало заменять экспериментальные усилия в качестве основного средства понимания разрушения жидкости. Однако по-прежнему трудно точно отслеживать свободную поверхность многих жидкостей из-за ее сложного поведения. Наибольший успех был достигнут с жидкостями низкой и высокой вязкости, где метод граничного интеграла может использоваться как Функция Грина для обоих случаев известно. Доммермут и Юэ охарактеризовали этим методом безвихревое, невязкое течение, как и Шулькес.^[9][10] Янгрен и Акривос рассмотрели поведение пузырька в высоковязкой жидкости.^[11] Стоун и Лил расширили эту первоначальную работу, чтобы рассмотреть динамику отдельных капель.^[12] Для жидкостей средней вязкости требуется полное моделирование с использованием уравнений Навье-Стокса с использованием методов определения свободной поверхности, таких как уровень и объем жидкости. Самая ранняя работа с полным моделированием Навье-Стокса была сделана Фроммом, которая сосредоточилась на струйная технология.^[13] Такое моделирование остается активной областью исследований.

Физический механизм разрыва потока

Процесс, через который поток жидкости или струя распадается от большей массы к меньшей массе.

Процесс разрушения потока жидкости или струи начинается с появления небольших возмущений на свободной поверхности жидкости. Это известно как линейная теория разрыва потока жидкости. Эти возмущения присутствуют всегда и могут быть вызваны многочисленными источниками, включая колебания емкости с жидкостью или неоднородность напряжения сдвига на свободной поверхности. Как правило, эти возмущения принимают произвольную форму, поэтому их трудно учесть строго. Поэтому полезно преобразование Фурье возмущений, чтобы разложить произвольные возмущения на возмущения различных одиночных длин волн на поверхности нити. При этом это позволяет определить, какие длины волн возмущения будут расти, а какие затухать со временем.^[14]

Увеличение и уменьшение длины волны можно определить, исследуя изменение давления, которое длина волны возмущения оказывает на внутреннюю часть потока жидкости. Изменения внутреннего давления резьбы вызваны капиллярное давление по мере деформации свободной поверхности резьбы. Капиллярное давление зависит от средняя кривизна границы раздела в данном месте на поверхности, то есть давление зависит от двух радиусов кривизны, которые определяют форму поверхности. В пределах утоненной области жидкой нити, подвергающейся разрыву, первый радиус кривизны меньше, чем радиус кривизны в утолщенной области, что приводит к градиенту давления, который будет стремиться вытеснять жидкость из истонченных областей в утолщенные. Однако второй радиус кривизны остается важным для процесса разрушения. Для некоторых длин волн возмущения эффект второго радиуса кривизны может преодолеть эффект давления первого радиуса кривизны, вызывая большее давление в утолщенных областях, чем в утоненных областях. Это вернет жидкость к истонченным участкам и вернет нити ее первоначальную, неизменную форму. Однако для других длин волн возмущения капиллярное давление, вызванное вторым радиусом кривизны, будет усиливать давление первого радиуса кривизны. Это приведет к вытеснению жидкости из утонченных участков в утолщенные и будет способствовать дальнейшему разрыву нити.

Радиусы кривизны резьбы при разрыве. Синий представляет первый радиус кривизны, а красный - второй радиус кривизны в местах утонения и утолщения.

Таким образом, длина волны возмущения является критическим параметром при определении того, будет ли данный поток жидкости распадаться на меньшие массы жидкости. Строгое математическое исследование длин волн возмущения может привести к соотношению, показывающему, какие длины волн являются стабильными для данного потока, а также какие длины волн возмущения будут расти наиболее быстро. Размер жидких масс, возникающих в результате разрыва потока жидкости, можно приблизительно определить по длинам волн возмущения, которые нарастают наиболее быстро.

Нелинейное поведение

В то время как линейная теория полезна при рассмотрении роста малых возмущений на свободной поверхности, когда возмущения нарастают до значительной амплитуды, нелинейные эффекты начинают доминировать в поведении развала. Нелинейное поведение нити определяет ее окончательный разрыв и в конечном итоге определяет окончательную форму и количество образующихся жидких масс.

Нелинейность фиксируется за счет использования самоподобие. Самоподобие предполагает, что поведение потока жидкости, когда радиус приближается к нулю, такое же, как поведение потока жидкости, когда он имеет некоторый конечный радиус. Детальное понимание нелинейного поведения резьбы требует использования асимптотические разложения для создания соответствующего поведения масштабирования. Были найдены многочисленные решения нелинейного поведения потоков текучей среды, основанные на силах, которые имеют значение в определенных обстоятельствах.^[15][16][17]

Важные параметры

То, как поток жидкости или струя разрушается, определяется несколькими параметрами, среди которых Число Рейнольдса, то Число Вебера, Число Онезорге, и беспокойство длина волны. Хотя эти числа являются обычными в гидромеханике, параметры, выбранные в качестве шкалы, должны соответствовать обрыву резьбы. Чаще всего выбирается масштаб длины - это радиус потока жидкости, а за скорость чаще всего берется скорость движения жидкости в объеме. Однако эти масштабы могут меняться в зависимости от характеристик рассматриваемой задачи.

Число Рейнольдса - это соотношение между эффектами инерции и вязкости внутри резьбы. Для больших чисел Рейнольдса эффекты движения нити намного больше, чем вязкая диссипация. Вязкость оказывает лишь минимальное демпфирующее действие на резьбу. Для малых чисел Рейнольдса вязкая диссипация велика, и любые возмущения быстро затухают из резьбы.

Число Вебера - это соотношение между эффектами инерции и поверхностного натяжения резьбы. Когда число Вебера велико, инерция нити велика, что препятствует тенденции поверхностного натяжения к сглаживанию изогнутых поверхностей. Для малых чисел Вебера изменения капиллярного давления из-за поверхностных возмущений велики, и поверхностное натяжение преобладает над поведением нити.

Число Онезорге - это соотношение между эффектами вязкости и поверхностного натяжения в нити. Поскольку это устраняет эффекты инерции и необходимость в шкале скоростей, часто бывает удобнее выражать масштабные отношения в терминах числа Онезорге, а не числа Рейнольдса и Вебера по отдельности.

Длина волны возмущения - это характерная длина возмущения на поверхности струи, предполагая, что любое произвольное возмущение может быть разложено с помощью преобразования Фурье на его составляющие. Длина волны возмущения имеет решающее значение для определения того, будет ли конкретное возмущение расти или затухать со временем.

Особые случаи

Линейная стабильность невязких жидкостей

Линейная стабильность жидкостей с низкой вязкостью была впервые получена Плато в 1873 году.^[14] Однако его решение стало известно как Неустойчивость Рэлея-Плато благодаря расширению теории на Лорд Рэйли для включения жидкостей с вязкостью. Неустойчивость Рэлея-Плато часто используется в качестве вводного примера для гидродинамической устойчивости, а также для анализа возмущений.

Плато рассматривал устойчивость потока жидкости, когда присутствовали только эффекты инерции и поверхностного натяжения. Разложив произвольное возмущение на свободной поверхности на его составляющие гармоники / длины волн, он смог вывести условие устойчивости струи в терминах возмущения:

${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {\sigma k}{\rho a^{2}}}{\frac {I_{1}(ka)}{I_{0}(ka)}}\left(1-k^{2}a^{2}\right),}$

где ω - скорость роста возмущения, σ - поверхностное натяжение жидкости, k - волновое число возмущения, ρ - плотность жидкости, а - начальный радиус невозмущенной жидкости, I - модифицированный Функция Бесселя первого вида. Вычислив скорость роста как функцию волнового числа, можно определить, что наиболее быстро растущая длина волны возмущения имеет место при:

${\displaystyle \lambda _{\text{max}}\approx 9.02a.}$

Длина волны максимальной нестабильности увеличивается с увеличением радиуса потока жидкости. Что важно, нестабильные режимы возможны только когда:

${\displaystyle ka<1.}$

Линейная устойчивость вязких жидкостей

Рейнольдс, а позже Томотика расширили работу Плато, чтобы рассмотреть линейную стабильность вязких нитей. Рэлей решает проблему устойчивости вязкой нити вязкости ${\displaystyle \mu _{A}}$ без наличия внешней жидкости.^[18]Tomokita решила проблему устойчивости потока жидкости в присутствии внешней жидкости с собственной вязкостью ${\displaystyle \mu _{B}}$.^[19]Он рассмотрел три случая, когда вязкость потока жидкости была намного больше, чем вязкость внешней среды, вязкость внешней среды была намного больше, чем вязкость потока жидкости, и общий случай, когда жидкости имели произвольную вязкость.

Жидкая резьба высоковязкая

Для предельного случая, когда поток жидкости намного более вязкий, чем внешняя среда, вязкость внешней среды полностью падает от скорости роста. Таким образом, скорость роста становится функцией только начального радиуса нити, длины волны возмущения, поверхностного натяжения нити и вязкости нити.

${\displaystyle \omega ={\frac {\sigma \left(k^{2}a^{2}-1\right)}{2a\mu _{A}}}{\frac {1}{k^{2}a^{2}+1-k^{2}a^{2}I_{0}^{2}(ka)/I_{1}^{2}(ka)}}}$

Построив это, можно обнаружить, что самые длинные волны являются наиболее нестабильными. Что важно, можно отметить, что вязкость потока жидкости не влияет на то, какие длины волн будут стабильными. Вязкость действует только на уменьшение скорости роста или затухания данного возмущения со временем.

Примеры того, когда это применимо, - это когда почти любая жидкость претерпевает разрыв нити / струи в воздушной среде.

Внешняя жидкость с высокой вязкостью

Для предельного случая, когда внешняя среда потока текучей среды намного более вязкая, чем сама резьба, вязкость потока текучей среды полностью падает от скорости роста возмущения. Таким образом, скорость роста становится функцией только начального радиуса нити, длины волны возмущения, поверхностного натяжения нити, вязкости внешней среды и второго порядка. Функции Бесселя второго рода.

${\displaystyle \omega ={\frac {\sigma \left(1-k^{2}a^{2}\right)}{2a\mu _{B}}}{\frac {1}{k^{2}a^{2}+1-k^{2}a^{2}K_{0}^{2}(ka)/K_{1}^{2}(ka)}}}$

Если построить график зависимости скорости роста от длины волны возмущения, можно будет обнаружить, что наиболее нестабильные длины волн снова возникают на самых длинных волнах и что вязкость внешней среды будет действовать только для уменьшения скорости роста возмущения или распадаться во времени.

Примеры того, когда это применимо, - когда пузырьки газа попадают в жидкость или когда вода попадает в мед.

Общий случай - произвольное соотношение вязкости

Общий случай для двух вязких жидкостей решить напрямую гораздо сложнее. Томотика выразил свое решение так:

${\displaystyle \omega ={\frac {\sigma \left(1-k^{2}a^{2}\right)}{2a\mu _{B}}}\Phi (ka)}$

куда ${\displaystyle \Phi }$ был определен как:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (ka)={}&{\frac {N(ka)}{D(ka)}}\\N(ka)={}&I_{1}(ka)\Delta _{1}-\{kaI_{0}(ka)-I_{1}(ka)\}\Delta _{2}\\D(ka)={}&{\frac {\mu _{A}}{\mu _{B}}}\{kaI_{0}(ka)-I_{1}(ka)\}\Delta _{1}-{\frac {\mu _{A}}{\mu _{B}}}\left\{\left(k^{2}a^{2}+1\right)I_{1}(ka)-kaI_{0}(ka)\right\}\Delta _{2}\\&-\{kaK_{0}(ka)+K_{1}(ka)\}\Delta _{3}-\left\{\left(k^{2}a^{2}+1\right)K_{1}(ka)+kaK_{0}(ka)\right\}\Delta _{4}\end{aligned}}}$

В ${\displaystyle \Delta }$ коэффициенты проще всего выразить как определители следующих матриц:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta _{1}&={\begin{vmatrix}kaI_{0}(ka)-I_{1}(ka)&K_{1}(ka)&-kaK_{0}(ka)-K_{1}(ka)\\I_{0}(ka)+kaI_{1}(ka)&-K_{0}(ka)&-K_{0}(ka)+kaK_{1}(ka)\\{\frac {\mu _{A}}{\mu _{B}}}kaI_{0}(ka)&K_{1}(ka)&-kaK_{0}(ka)\end{vmatrix}}\\[3pt]\Delta _{2}&={\begin{vmatrix}I_{1}(ka)&K_{1}(ka)&-kaK_{0}(ka)-K_{1}(ka)\\I_{0}(ka)&-K_{0}(ka)&-K_{0}(ka)+kaK_{1}(ka)\\{\frac {\mu _{A}}{\mu _{B}}}I_{1}(ka)&K_{1}(ka)&-kaK_{0}(ka)\end{vmatrix}}\\[3pt]\Delta _{3}&={\begin{vmatrix}I_{1}(ka)&kaI_{0}(ka)-I_{1}(ka)&-kaK_{0}(ka)-K_{1}(ka)\\I_{0}(ka)&I_{0}(ka)+kaI_{1}(ka)&-K_{0}(ka)+kaK_{1}(ka)\\{\frac {\mu _{A}}{\mu _{B}}}I_{1}(ka)&{\frac {\mu _{A}}{\mu _{B}}}kaI_{0}(ka)&-kaK_{0}(ka)\end{vmatrix}}\\[3pt]\Delta _{4}&={\begin{vmatrix}I_{1}(ka)&kaI_{0}(ka)-I_{1}(ka)&K_{1}(ka)\\I_{0}(ka)&I_{0}(ka)+kaI_{1}(ka)&-K_{0}(ka)\\{\frac {\mu _{A}}{\mu _{B}}}I_{1}(ka)&{\frac {\mu _{a}}{\mu _{B}}}kaI_{0}(ka)&K_{1}(ka)\end{vmatrix}}\end{aligned}}}$

Полученное решение остается функцией вязкости резьбы и внешней среды, а также длины волны возмущения. Наиболее нестабильное сочетание вязкости и возмущения возникает при ${\displaystyle \mu _{A}/\mu _{B}\approx 0.28}$ с ${\displaystyle \lambda \approx 10.66a}$.

Для большинства приложений использование общего случая не требуется, поскольку две рассматриваемые жидкости имеют существенно разные вязкости, что позволяет использовать один из предельных случаев. Однако в некоторых случаях, таких как смешивание масел или масел с водой, может потребоваться использование общего случая.

Формирование спутниковой капли

Вода течет из крана, образуя как одну большую каплю, так и несколько капель-спутников.

Сателлитные капли, также известные как вторичные капли, представляют собой капли, образующиеся в процессе разрыва нити в дополнение к большой основной капле. Капли образуются, когда нить, на которой основная капля, свисающая с большей массы жидкости, сама отрывается от массы жидкости. Жидкость, содержащаяся в нити, может оставаться в виде единой массы или распада из-за возмущений отдачи, наложенных на нее при отделении основной капли. Хотя образование спутниковых капель можно предсказать на основе свойств жидкости, их точное местоположение и объем предсказать невозможно.^[20][21]

В общем, вторичные капли - нежелательное явление, особенно в приложениях, где важно точное осаждение капель. Производство капель-сателлитов регулируется нелинейной динамикой проблемы вблизи конечных стадий разрыва нити.

Примеры

Вязкость меда достаточно велика, чтобы гасить все поверхностные возмущения, которые могут привести к разрыву нити на капли.

В повседневной жизни существует множество примеров разрыва жидких нитей. Это одно из наиболее распространенных явлений механики жидкости, с которым мы сталкиваемся, и поэтому большинство из них мало думают о процессе.

Поток из крана

Капля воды - обычное дело. Когда вода покидает кран, нить, прикрепленная к крану, начинает спускаться вниз, в конечном итоге до такой степени, что основная капля отделяется от поверхности. Нить не может достаточно быстро втянуться к крану, чтобы предотвратить разрыв, и, таким образом, распадается на несколько небольших спутниковых капель.

Пузырьки воздуха

Пузырьки воздуха - еще одно распространенное явление распада. Когда воздух попадает в резервуар с жидкостью, например, в резервуар для рыбы, нить снова сужается у основания, образуя пузырь. Выдувание пузырей из соломинки в стакан ведет себя примерно так же.

Эксперимент с падением высоты звука

В эксперимент с падением высоты звука это известный эксперимент по разложению жидкости с использованием высоковязкой смолы. Скорость распада снижена до такой степени, что с 1927 года выпало всего 11 капель.

Капли меда

Мед достаточно вязкий, поэтому поверхностные возмущения, приводящие к разрыву, почти полностью поглощаются медовыми нитями. Это приводит к образованию длинных нитей меда, а не отдельных капель.

Рекомендации

1. да Винчи, Леонардо; МакКарди, Эдвард, пер. и изд. (1958). Записные книжки Леонардо да Винчи. т. 2. Нью-Йорк, Нью-Йорк, США: Джордж Бразиллер. п.748.
2. де Лаплас, П.С. (1805). Добавка Mechanique Celeste au X Libre. Париж: Курьер.
3. Янг, Т. (1805). «Эссе о сцеплении жидкостей». Философские труды Лондонского королевского общества. 95: 65–87. Дои:10.1098 / рстл.1805.0005. S2CID  116124581.
4. Видеть:
   • Бидон, Джордж (1822). Опыт водолазов с сокращением вен флюида, и устранение сужения в манере сужения в расчете на глубину отверстий [Эксперименты с различными случаями сжатия потока жидкости и заметки о том, как учитывать сжатие при расчете истечения отверстий.] (На французском). Турин (Италия): Imprimerie Royale.
   • Бидон, Джордж (1830). "Expériences sur la forme et sur la direction des veines et des courants d'eau lancés par diverses ouverture" [Опыты по форме и направлению потоков и потоков воды, выходящих из различных отверстий]. Memorie della Reale Accademia delle Scienze di Torino (На французском). 34: 229–363.
5. Савар, Феликс (1833). "Mémoire sur la конституция жидких вен, Lancées par des orifices circaires en mince paroi" [Воспоминание о форме струй жидкости, исходящих из круглых отверстий в тонкой стенке]. Анналы химии и тела. 2-я серия (на французском языке). 53: 337–386.
6. Плато, Дж. (1850). "Ueber die Gränze der Stabilität eines flüssigen Cylinders" [О пределе устойчивости жидкостного цилиндра]. Annalen der Physik und Chemie. 2-я серия (на немецком языке). 80 (8): 566–569. Bibcode:1850АнП ... 156..566П. Дои:10.1002 / andp.18501560808.
7. Магнус, Г. (1859). "Hydraulische Untersuchungen; zweiter Theil" [Гидравлические исследования; вторая часть]. Annalen der Physik und Chemie. 2-я серия (на немецком языке). 106 (1): 1–32. Bibcode:1859AnP ... 182 .... 1M. Дои:10.1002 / andp.18591820102.
8. Ленард, Филипп (1887). "Ueber die Schwingungen fallender Tropfen" [О колебаниях падающих капель]. Annalen der Physik und Chemie. 3-я серия (на немецком языке). 30 (2): 209–243. Bibcode:1887AnP ... 266..209L. Дои:10.1002 / andp.18872660202.
9. Dommermuth, DG; Юэ ДКП (1987). «Численное моделирование нелинейных осесимметричных течений со свободной поверхностью». Журнал гидромеханики. 178: 195–219. Bibcode:1987JFM ... 178..195D. Дои:10.1017 / s0022112087001186.
10. Шулкес, RMS (1994). «Эволюция капиллярных фонтанов». Журнал гидромеханики. 261: 223–252. Bibcode:1994JFM ... 261..223S. Дои:10.1017 / s0022112094000327.
11. Янгрен, Г.К .; Акривос А (1975). «Стоксово течение частицы произвольной формы: численный метод решения». Журнал гидромеханики. 69 (2): 377–403. Bibcode:1975JFM .... 69..377Y. Дои:10.1017 / s0022112075001486.
12. Камень, HA; Leal LG (1989). «Расслабление и разрушение первоначально протяженной капли в неподвижной жидкости» (PDF). Журнал гидромеханики. 198: 399. Bibcode:1989JFM ... 198..399S. Дои:10,1017 / с0022112089000194.
13. Фромм, Дж. Э. (1984). «Численный расчет гидродинамики капельных струй». Журнал исследований и разработок IBM. 28 (3): 322–333. Дои:10.1147 / rd.283.0322.
14. Плато, J (1850 г.). "Ueber die Gränze der Stabilität eines flüssigen Cylinders". Annalen der Physik. 80 (8): 566–569. Bibcode:1850АнП ... 156..566П. Дои:10.1002 / andp.18501560808.
15. Тинг, Л; Келлер JB (1990). «Тонкие струи и тонкие листы с поверхностным натяжением». Журнал SIAM по прикладной математике. 50 (6): 1533–1546. Дои:10.1137/0150090.
16. Папагеоргиу, Д. Т. (1995). «О разрыве нитей вязкой жидкости». Физика жидкостей. 7 (7): 1529–1544. Bibcode:1995ФФл .... 7.1529П. CiteSeerX  10.1.1.407.478. Дои:10.1063/1.868540.
17. Листер, младший; Стоун HA (1998). «Капиллярный разрыв вязкой нити, окруженной другой вязкой жидкостью». Физика жидкостей. 10 (11): 2758–2764. Bibcode:1998ФФл ... 10.2758Л. Дои:10.1063/1.869799.
18. Рэлей, лорд (1892). «XVI. О неустойчивости цилиндра вязкой жидкости под действием капиллярной силы». Философский журнал. 34 (207): 145–154. Дои:10.1080/14786449208620301.
19. Томотика, С (1935). «О неустойчивости цилиндрической нити вязкой жидкости в окружении другой вязкой жидкости». Труды Лондонского королевского общества A. 150 (870): 322–337. Bibcode:1935RSPSA.150..322T. Дои:10.1098 / rspa.1935.0104.
20. Сингх, Гаурав. "Спутниковая капля". Получено 18 ноября 2013.
21. Хендерсон, Д.; Причард В; Смолка Линда (1997). «О защемлении висящей капли вязкой жидкости». Физика жидкостей. 9 (11): 3188. Bibcode:1997ФФл .... 9.3188Н. Дои:10.1063/1.869435.