Фокальные коники - Focal conics

Определение фокальных коник
A, C: вершины эллипса и фокусы гиперболы
E, F: фокусы эллипса и вершины гиперболы.

Фокальные коники: две параболы
A: вершина красной параболы и фокус синей параболы
F: фокус красной параболы и вершина синей параболы

В геометрия, фокальные коники пара кривых, состоящих из^[1]^[2] либо

ан эллипс и гипербола, где гипербола лежит в плоскости, ортогональной плоскости, содержащей эллипс. Вершины гиперболы - это фокусы эллипса, а ее фокусы - это вершины эллипса (см. Диаграмму).

или же

два параболы, которые содержатся в двух ортогональных плоскостях, а вершина одной параболы является фокусом другой, и наоборот.

Фокальные коники играют важную роль при ответе на вопрос: «Какие правильные круговые конусы содержат данный эллипс, гиперболу или параболу (см. Ниже)».

Фокальные коники используются в качестве направляющих для генерации Циклиды Дюпена в качестве поверхности каналов двумя способами.^[3]^[4]

Фокальные коники можно рассматривать как вырожденные фокальные поверхности: Циклиды Дюпена - единственные поверхности, на которых фокальные поверхности схлопываются до пары кривых, а именно фокальных коник.^[5]

В Физическая химия фокальные коники используются для описания геометрических свойств жидкие кристаллы.^[6]

Нельзя смешивать фокальные коники с конфокальные коники. У последних все те же очаги.

Уравнения и параметрические представления

Эллипс и гипербола

Уравнения

Если описать эллипс в плоскости x-y обычным образом уравнением

{ displaystyle { frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + { frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1 ;,}

то соответствующая фокальная гипербола в плоскости x-z имеет уравнение

{ displaystyle { frac {x ^ {2}} {c ^ {2}}} - { frac {z ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1 ;,}

куда ${ displaystyle c}$ это линейный эксцентриситет эллипса с ${ displaystyle ; c ^ {2} = a ^ {2} -b ^ {2} ;.}$

Параметрические представления: эллипс: ${ Displaystyle quad { vec {u}} ( varphi) = (а соз varphi, b sin varphi, 0) ^ {T} }$ и; гипербола: ${ displaystyle { vec {v}} ( psi) = (c cosh psi, 0, b sinh psi) ^ {T} .}$

Две параболы

Две параболы в плоскости x-y и в плоскости x-z:

1. парабола:

{ displaystyle y ^ {2} = p ^ {2} -2px }

и

2. парабола:

{ displaystyle z ^ {2} = 2px .}

с ${ displaystyle p}$ в полу-латусная прямая кишка обеих парабол.

Правый круговой конус (зеленый) через эллипс (синий)

Правые круговые конусы через эллипс

Вершины правильных круговых конусов через данный эллипс лежат на фокальной гиперболе, принадлежащей эллипсу.

Правые круговые конусы через эллипс

Доказательство

Данный: Эллипс с вершинами ${ displaystyle A, B}$ и фокусы ${ displaystyle E, F}$ и правый круговой конус с вершиной ${ displaystyle S}$ содержащий эллипс (см. диаграмму).

Из-за симметрии ось конуса должна находиться в плоскости, проходящей через фокусы, которая ортогональна плоскости эллипса. Существует Сфера Данделина ${ displaystyle k}$ , который касается плоскости эллипса в фокусе ${ displaystyle F}$ и конус по кругу. Из диаграммы и того факта, что все тангенциальные расстояния точки до сферы равны, получаем:

{ displaystyle | AS | = | AA_ {1} | + | A_ {1} S | = | AF | + | B_ {1} S |}

{ displaystyle | BS | = | BB_ {1} | + | B_ {1} S | = | BF | + | B_ {1} S |}

Следовательно:

{ Displaystyle | AS | - | BS | = | AF | - | BF | = | EF | =}

const.

а множество всех возможных вершин лежат на гиперболе с вершинами ${ displaystyle E, F}$ и фокусы ${ displaystyle A, B}$ .

Аналогично доказываются случаи, когда конусы содержат гиперболу или параболу.^[7]

Фокальные коники - Focal conics

Содержание

Уравнения и параметрические представления

Эллипс и гипербола

Две параболы

Правые круговые конусы через эллипс

Рекомендации