Переход Фредерикса - Fréedericksz transition

В Переход Фредерикса это фаза перехода в жидкие кристаллы производится при достаточно сильном электрический или же магнитное поле наносится на жидкий кристалл в неискаженном состоянии. Ниже определенного порога поля директор остается неискаженным. По мере того, как значение поля постепенно увеличивается от этого порога, директор начинает вращаться, пока не выровняется с полем. Таким образом, переход Фредерикса может происходить в трех различных конфигурациях, известных как геометрии скручивания, изгиба и расширения. В фаза перехода впервые был замечен Фредериксом и Репевой в 1927 году.^[1] В этом их первом эксперименте одна из стенок ячейки была вогнутой, чтобы обеспечить изменение толщины по длине ячейки.^[2] Фазовый переход назван в честь русского физика. Всеволод Фредерикс.

Вывод

Твист Геометрия

Схема, показывающая геометрию закрутки, где ${\displaystyle E_{t}}$ - пороговое электрическое поле.

Если нематический жидкий кристалл, заключенный между двумя параллельными пластинами, которые вызывают планарное сцепление, поместить в достаточно сильное постоянное электрическое поле, то директор будет искажен. Если в нулевом поле директор выровнен по оси x, то при приложении электрического поля по оси y директор будет иметь вид:

${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} =n_{x}\mathbf {\hat {x}} +n_{y}\mathbf {\hat {y}} }$

${\displaystyle n_{x}=\cos {\theta (z)}}$

${\displaystyle n_{y}=\sin {\theta (z)}}$

Согласно этой договоренности плотность энергии без искажений становится:

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{d}={\frac {1}{2}}K_{2}\left({\frac {d\theta }{dz}}\right)^{2}}$

Полная энергия на единицу объема, хранящаяся в искажении и электрическом поле, определяется как:

${\displaystyle U={\frac {1}{2}}K_{2}\left({\frac {d\theta }{dz}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}\epsilon _{0}\Delta \chi _{e}E^{2}\sin ^{2}{\theta }}$

Тогда свободная энергия на единицу площади равна:

${\displaystyle F_{A}=\int _{0}^{d}{\frac {1}{2}}K_{2}\left({\frac {d\theta }{dz}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}\epsilon _{0}\Delta \chi _{e}E^{2}\sin ^{2}{\theta }\,dz\,}$

Минимизация этого с помощью вариационное исчисление дает:

${\displaystyle \left({\frac {\partial U}{\partial \theta }}\right)-{\frac {d}{dz}}\left({\frac {\partial U}{\partial \left({\frac {d\theta }{dz}}\right)}}\right)=0}$

${\displaystyle K_{2}\left({\frac {d^{2}\theta }{dz^{2}}}\right)+\epsilon _{0}\Delta \chi _{e}E^{2}\sin {\theta }\cos {\theta }=0}$

Переписывая это с точки зрения ${\displaystyle \zeta ={\frac {z}{d}}}$ и ${\displaystyle \xi _{d}=d^{-1}{\sqrt {\frac {K_{2}}{\epsilon _{0}\Delta \chi _{e}E^{2}}}}}$ куда ${\displaystyle d}$ расстояние между двумя пластинами приводит к упрощению уравнения до:

${\displaystyle \xi _{d}^{2}\left({\frac {d^{2}\theta }{d\zeta ^{2}}}\right)+\sin {\theta }\cos {\theta }=0}$

Умножив обе части дифференциального уравнения на ${\displaystyle {\frac {d\theta }{d\zeta }}}$ это уравнение можно упростить следующим образом:

${\displaystyle {\frac {d\theta }{d\zeta }}\xi _{d}^{2}\left({\frac {d^{2}\theta }{d\zeta ^{2}}}\right)+{\frac {d\theta }{d\zeta }}\sin {\theta }\cos {\theta }={\frac {1}{2}}\xi _{d}^{2}{\frac {d}{d\zeta }}\left(\left({\frac {d\theta }{d\zeta }}\right)^{2}\right)+{\frac {1}{2}}{\frac {d}{d\zeta }}\left(\sin ^{2}{\theta }\right)=0}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{2}}\xi _{d}^{2}{\frac {d}{d\zeta }}\left(\left({\frac {d\theta }{d\zeta }}\right)^{2}\right)+{\frac {1}{2}}{\frac {d}{d\zeta }}\left(\sin ^{2}{\theta }\right)\,d\zeta \,=0}$

${\displaystyle {\frac {d\theta }{d\zeta }}={\frac {1}{\xi _{d}}}{\sqrt {\sin ^{2}{\theta _{m}}-\sin ^{2}{\theta }}}}$

Значение ${\displaystyle \theta _{m}}$ это ценность ${\displaystyle \theta }$ когда ${\displaystyle \zeta =1/2}$. Подстановка ${\displaystyle k=\sin {\theta _{m}}}$ и ${\displaystyle t={\frac {\sin {\theta }}{\sin {\theta _{m}}}}}$ в уравнение выше и интегрируя по ${\displaystyle t}$ от 0 до 1 дает:

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}\,dt\,\equiv K(k)={\frac {1}{2\xi _{d}}}}$

Величина K (k) - это полный эллиптический интеграл первого рода. Отмечая, что ${\displaystyle K(0)={\frac {\pi }{2}}}$ окончательно получается пороговое электрическое поле ${\displaystyle E_{t}}$.

${\displaystyle E_{t}={\frac {\pi }{d}}{\sqrt {\frac {K_{2}}{\epsilon _{0}\Delta \chi _{e}}}}}$

В результате, измеряя пороговое электрическое поле, можно эффективно измерить крутку Константа франка пока известны анизотропия электрической восприимчивости и расстояния между пластинами.

Примечания

1. Фредерикс и Репева, 1927 г., стр. 532–546
2. Пристли, Войтович и Шенг 1975, п. 115

Рекомендации

• Коллингс, Питер Дж .; Хирд, Майкл (1997). Введение в жидкие кристаллы: химия и физика. Taylor & Francis Ltd. ISBN  0-7484-0643-3.
• де Женн, Пьер-Жиль; Прост, Дж. (10 августа 1995 г.). Физика жидких кристаллов (2-е изд.). Издательство Оксфордского университета. ISBN  0-19-851785-8.
• Fréedericksz, V .; Репева, А. (1927). "Теоретические и экспериментальные данные о Frage nach der Natur der anisotropen Flüssigkeiten". Zeitschrift für Physik. 42 (7): 532–546. Bibcode:1927ZPhy ... 42..532F. Дои:10.1007 / BF01397711. S2CID  119861131.
• Fréedericksz, V .; Золина, В. (1933). «Силы, вызывающие ориентацию анизотропной жидкости». Пер. Фарадей Соц. 29 (140): 919–930. Дои:10.1039 / TF9332900919.
• Priestley, E.B .; Wojtowicz, Peter J .; Шэн, Пинг (1975). Введение в жидкие кристаллы. Пленум Пресс. ISBN  0-306-30858-4.
• Цохер, Х. (1933). «Влияние магнитного поля на нематическое состояние». Труды общества Фарадея. 29 (140): 945–957. Дои:10.1039 / TF9332900945.