Эффект Франца – Келдыша. - Franz–Keldysh effect

В Эффект Франца – Келдыша. это изменение в оптическое поглощение по полупроводник когда электрическое поле применяется. Эффект назван в честь немецкого физика. Вальтер Франц и русский физик Леонид Келдыш (племянник Мстислав Келдыш ).

Карл В. Бёр первым заметил сдвиг оптического край поглощения с электрическими полями ^[1] во время открытия высокопольных доменов^[2] и назвал это эффектом Франца.^[3] Спустя несколько месяцев, когда появился английский перевод статьи Келдыша, он исправил это до эффекта Франца – Келдыша.^[4]

Первоначально предполагалось, что эффект Франца – Келдыша является результатом волновые функции «просачивание» в запрещенную зону. При приложении электрического поля электрон и дыра волновые функции становятся Воздушные функции а не плоские волны. Функция Эйри включает «хвост», который простирается в классически запрещенную запрещенную зону. В соответствии с Золотое правило Ферми чем больше перекрытие между волновыми функциями свободного электрона и дырки, тем сильнее будет оптическое поглощение. Хвосты Эйри немного перекрываются, даже если электрон и дырка находятся под немного разными потенциалами (немного разные физические положения вдоль поля). Спектр поглощения теперь включает хвост при энергиях ниже запрещенной зоны и некоторые колебания над ней. Это объяснение, однако, не учитывает влияние экситоны, которые могут доминировать над оптическими свойствами вблизи запрещенной зоны.

Эффект Франца – Келдыша возникает в однородных объемных полупроводниках, в отличие от квантово-ограниченный эффект Штарка, для чего требуется квантовая яма. Оба используются для модуляторы электроабсорбции. Эффект Франца – Келдыша обычно требует сотни вольт, что ограничивает его полезность с традиционной электроникой - хотя это не относится к коммерчески доступным модуляторам электропоглощения на эффекте Франца – Келдыша, которые используют геометрию волновода для направления оптического носителя.

Влияние на модуляционную спектроскопию

В коэффициент поглощения относится к диэлектрическая постоянная (особенно сложная часть каппа₂). Из уравнения Максвелла легко найти соотношение

${displaystyle alpha ={frac {2omega k_{0}}{c}}={{omega kappa _{2}} over {n_{0}c}}.}$

п₀ и k₀ - действительная и комплексная части показателя преломления материала. Мы рассмотрим прямой переход электрона из валентной зоны в зона проводимости вызванный падающий свет в идеальный кристалл и попытаемся учесть изменение коэффициента поглощения для каждого гамильтониана с вероятным взаимодействием типа электрон-фотон, электрон-дырка, внешнего поля. Этот подход следует из.^[5] Первой целью мы ставим теоретические основы эффекта Франца – Келдыша и модуляционной спектроскопии третьей производной.

Одноэлектронный гамильтониан в электромагнитном поле

${displaystyle H={1 over 2m}(mathbf {p} +emathbf {A} )^{2}+V(r)}$ (А: векторный потенциал, V(р): периодический потенциал)

${displaystyle A={1 over 2}A_{0}e[e^{i(k_{p}cdot r-omega t)}+e^{-i(k_{p}cdot r-omega t)}]}$(k_п и е - волновой вектор ЭМ поля и единичный вектор.)

Пренебрежение квадратным термином ${displaystyle A^{2}}$ и используя соотношение ${displaystyle Acdot p=pcdot A}$ в кулоновской калибровке ${displaystyle abla cdot A=0}$, мы получаем

${displaystyle Hsim {p^{2} over 2m}+V(r)+{e over m}Acdot p}$

Затем с помощью Функция Блоха ${displaystyle |jkangle =e^{ikcdot r}u_{jk}(r)}$ (j = v, c, что означает валентную зону, зону проводимости)

вероятность перехода может быть получена так, что

${displaystyle w_{cv}={2pi over hbar }|langle ck'|{e over m}Acdot p|vkangle |^{2}delta [mathrm {E} _{c}(k')-mathrm {E} _{v}(k)-hbar omega ]}$${displaystyle ={pi e^{2} over 2hbar m^{2}}A_{0}^{2}|langle ck'|exp(ik_{p}cdot r)ecdot p|vkangle |^{2}delta [mathrm {E} _{c}(k')-mathrm {E} _{v}(k)-hbar omega ]}$(${displaystyle k_{p}}$ средства волновой вектор света)${displaystyle ecdot p_{cv}={1 over V}int _{v}e^{i(k_{p}+k-k')cdot r}{u^{*}}_{ck'}(r)ecdot (p+hbar k)u_{vk}(r)d^{3}r}$

Рассеивание мощности электромагнитные волны в единицу времени и единицу объема приводит к следующему уравнению

${displaystyle hbar omega w_{cv}={1 over 2}omega kappa _{2}epsilon _{0}{E_{0}}^{2}}$

Из отношения между электрическое поле и векторный потенциал, ${displaystyle {E}=-{{partial A} over {partial t}}}$мы можем положить ${displaystyle E_{0}=omega A_{0}}$

И, наконец, мы можем получить мнимую часть диэлектрической проницаемости и, конечно, коэффициент поглощения.${displaystyle kappa ={{pi e^{2}} over {epsilon _{0}m^{2}omega ^{2}}}sum _{k,k'}|ecdot p_{cv}|^{2}delta [mathrm {E} _{c}(k')-mathrm {E} _{v}(k)-hbar omega ]delta _{kk'}}$

Двухчастичный (электронно-дырочный) гамильтониан с электромагнитным полем

Электрон в валентная полоса (волновой вектор k) возбуждается поглощением фотона в зону проводимости (волновой вектор в зоне ${displaystyle k'=k_{e}}$) и оставляет дыру в валентной зоне (волновой вектор дыры ${displaystyle k_{h}=-k}$). В этом случае мы учитываем электронно-дырочное взаимодействие.${displaystyle V(r_{e}-r_{h})}$)

Думая о прямом переходе, ${displaystyle |k_{e}|,|k_{h}|}$ почти то же самое. Но предположим, что небольшая разница в импульсе из-за поглощения фотона не игнорируется, и пара связанных состояний-электрон-дырка очень слабая и эффективная масса приближение действительно для лечения. Тогда мы можем составить следующую процедуру, волновую функцию и волновые векторы электрона и дырки

${displaystyle Psi _{ij}(r_{e},r_{h})=psi _{ik_{e}}(r_{e})psi _{jk_{h}}(r_{h})}$ (i, j - индексы зон, r_е, р_час, k_е, k_час - координаты и волновые векторы электрона и дырки соответственно)

И мы можем взять полный волновой вектор K такой, что

${displaystyle K=k_{e}+k_{h}.}$${displaystyle H=H_{e}+H_{h}+V(r_{e}-r_{h})}$

Тогда блоховские функции электрона и дырки можно построить с помощью фазового члена ${displaystyle A_{cv}^{n,K}}$${displaystyle Psi ^{n,K}(r_{e},r_{h})=sum _{c,k_{e},v,k_{h}}A_{cv}^{n,K}(k_{e},k_{h})psi _{ck_{e}}(r_{e})psi _{vk_{h}}(r_{h})}$

Если V медленно изменяется на расстоянии до интеграла, этот член можно трактовать следующим образом.

${displaystyle [mathrm {E} _{c}(k_{e})+mathrm {E} _{h}(k_{h})+V(r_{e}-r_{h})-epsilon ]A_{c,V}^{n,K}(k_{e},k_{h})=0(*)}$

здесь мы предполагаем, что зона проводимости и валентная зона являются параболическими со скалярными массами и что в верхней части валентной зоны ${displaystyle mathrm {E} _{v}=0}$, т.е.${displaystyle mathrm {E} _{c}(k_{e})={{hbar ^{2}k_{e}^{2}} over {2m_{e}}}+mathrm {E} _{G},mathrm {E} _{h}(k_{h})={{hbar ^{2}k_{h}^{2}} over {2m_{h}}}}$ (${displaystyle mathrm {E} _{G}}$ это энергетическая щель)

Теперь преобразование Фурье из ${displaystyle A_{cv}^{n,K}(k_{e},k_{h})}$ и выше (*) уравнение для эффективной массы экситона можно записать в виде

${displaystyle [(-{hbar ^{2} over 2M}abla ^{2})+(-{hbar ^{2} over 2mu }abla ^{2}-{e^{2} over 4pi epsilon r})]Phi ^{n,k}(r,R)=[mathrm {E} -mathrm {E} _{G}]cdot Phi ^{n,K}(r,R)}$

${displaystyle r=r_{e}-r_{h},R={{m_{e}r_{e}+m_{h}r_{h}} over {m_{e}+m_{h}}},{1 over mu }={1 over m_{e}}+{1 over m_{h}},M=m_{e}+m_{h}}$

тогда решение уравнения дается формулой

${displaystyle Psi ^{n,K}(r,R)=Psi _{K}(R)psi _{n}(r)}$${displaystyle Psi ^{n,K}(r,R)={1 over {sqrt {V}}}exp(iKcdot R)phi _{n}(r)}$

${displaystyle phi _{n}(r)}$ называется огибающей экситона. Основное состояние экситона задается аналогично атом водорода.

тогда диэлектрическая функция является

${displaystyle kappa _{2}(omega )={pi e^{2} over {epsilon _{0}m^{2}omega ^{2}}}|ecdot p_{cv}|^{2}sum _{lambda }|phi _{lambda }(0)|^{2}delta (mathrm {E} _{G}+mathrm {E} _{lambda }-hbar omega )(**)}$

подробный расчет есть в.^[5]

Эффект Франца-Келдыша означает, что электрон в валентной зоне может быть возбужден в зону проводимости путем поглощения фотона с его энергией ниже запрещенной зоны. Теперь мы думаем об уравнении эффективной массы для относительное движение из электронная дыра пара при приложении к кристаллу внешнего поля. Но мы не должны брать в гамильтониан взаимный потенциал электронно-дырочной пары.

Если пренебречь кулоновским взаимодействием, уравнение для эффективной массы имеет вид

${displaystyle [-{hbar ^{2} over 2mu }abla ^{2}-eEcdot r]psi (r)=epsilon psi (r)}$.

И уравнение можно выразить так:

${displaystyle [-{hbar ^{2} over 2mu }{d^{2} over {dr_{i}^{2}}}-eE_{i}r_{i}-epsilon _{i}]psi (r_{i})=0}$( куда ${displaystyle mu _{i}}$ - значение в направлении главной оси тензора приведенной эффективной массы)

Используя замену переменных:

${displaystyle hbar heta _{i}=({{e^{2}E_{i}^{2}hbar ^{2}} over {2mu _{i}}})^{1/3},xi _{i}={{epsilon _{i}+eE_{i}r_{i}} over {hbar heta _{i}}}}$

тогда решение

${displaystyle psi (xi _{x},xi _{y},xi _{z})=C_{x}C_{y}C_{z}Ai(-xi _{x})Ai(-xi _{y})Ai(-xi _{z})}$

куда ${displaystyle C_{i}={{sqrt {e|E_{i}|}} over {hbar heta }}}$

Например, ${displaystyle E_{y}=E_{z}=0,E_{x}}$ решение дается

${displaystyle psi (x,y,z)=Ccdot Ai({{-eEx-epsilon +hbar ^{2}k_{y}^{2}/2mu _{y}+hbar ^{2}k_{z}^{2}/2mu _{z}} over {hbar heta _{x}}})}$

Диэлектрическую проницаемость можно получить, вставив это уравнение в (**) (блок выше) и изменив суммирование по λ на ${displaystyle int _{-infty }^{infty }depsilon _{x}depsilon _{y}depsilon _{z}}$

Интеграл по ${displaystyle depsilon _{x}depsilon _{y}}$ дается совместным плотность состояний для двумерного диапазона. (Совместная плотность состояний - это не что иное, как значение плотности состояний как электрона, так и дырки одновременно.)

${displaystyle {kappa (omega ,E)}={{pi ^{2}} over {epsilon _{0}m^{2}omega ^{2}}}|ecdot p_{c}v|^{2}{{e|E_{x}|} over {hbar heta _{x}^{2}}}int _{-infty }^{infty }{J^{2D}}_{cv}(hbar omega -epsilon _{G}-epsilon _{x})cdot |Ai(-{{epsilon _{x}} over {hbar heta }})^{2}|depsilon _{x}.}$

куда ${displaystyle J_{cv}^{2D}(hbar omega )={(mu _{y}mu _{z})^{1/2} over pi hbar ^{2}},hbar omega >epsilon _{G}.}$

${displaystyle =0,hbar omega <epsilon _{G}.}$

Затем мы положили ${displaystyle eta ={{hbar omega -epsilon _{G}} over {hbar heta _{x}}}}$

И подумайте о случае, который мы находим ${displaystyle eta <<0}$, таким образом ${displaystyle hbar omega <<epsilon _{G}}$ с асимптотическим решением для Функция Эйри в этом пределе.

Ну наконец то,${displaystyle kappa _{2}(omega ,E_{x})={1/2}kappa _{2}(omega )exp[{-4 over 3}({{epsilon _{G}-hbar omega } over {hbar heta _{x}}})]}$

Следовательно, диэлектрическая проницаемость падающий фотон энергия ниже запрещенной зоны существует! Эти результаты показывают, что происходит поглощение падающего фотона.

Смотрите также

• Квантово-ограниченный эффект Штарка

Примечания

1. Böer, K. W .; Hänsch, H.J .; Кюммель, У. (1958). "Methode zum Sichtbarmachen von Leitfähigkeitsinhomogenitäten von Halbleitern". Die Naturwissenschaften (на немецком). ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 45 (19): 460–460. Дои:10.1007 / bf00632716. ISSN  0028-1042.
2. Карл В. Бёр Монатсбер. Deutsch.Akad. d.Wissensch. 1272 (1959)
3. Беер, К. В. (1959). "Inhomogen Feldverteilung in CdS-Einkristallen im Bereich hoher Feldstärken". Zeitschrift für Physik (на немецком). ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 155 (2): 184–194. Дои:10.1007 / bf01337935. ISSN  1434-6001.
4. Böer, K. W .; Hänsch, H.J .; Кюммель, У. (1959). "Anwendung elektro-optischer Effekte zur Analyze des Elektrischen Leitungsvorganges in CdS-Einkristallen". Zeitschrift für Physik (на немецком). ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 155 (2): 170–183. Дои:10.1007 / bf01337934. ISSN  1434-6001.
5. К. Хамагучи, "Основы физики полупроводников", Springer (2001)

Рекомендации

• В. Франц, Einfluß eines elektrischen Feldes auf eine optische Absorptionskante, Z. Naturforschung 13а (1958) 484–489.
• Л. В. Келдыш, Поведение неметаллических кристаллов в сильных электрических полях., J. Exptl. Теорет. Phys. (СССР) 33 (1957) 994–1003, перевод: ЖЭТФ «Советская физика». 6 (1958) 763–770.
• Л. В. Келдыш, Ионизация в поле сильной электромагнитной волны., J. Exptl. Теорет. Phys. (СССР) 47 (1964) 1945–1957, перевод: ЖЭТФ «Советская физика». 20 (1965) 1307–1314.
• Уильямс, Ричард (1960-03-15). «Индуцированное электрическим полем поглощение света в CdS». Физический обзор. Американское физическое общество (APS). 117 (6): 1487–1490. Дои:10.1103 / Physrev.117.1487. ISSN  0031-899X.
• Ю. И. Панкове, Оптические процессы в полупроводниках, Dover Publications Inc., Нью-Йорк (1971).
• Х. Хауг и С. В. Кох, "Квантовая теория оптических и электронных свойств полупроводников", Всемирный научный (1994).
• К. Киттель, "Введение в физику твердого тела", Wiley (1996).