Фраунгофера дифракция - Fraunhofer diffraction

В оптика, то Фраунгофера дифракция уравнение используется для моделирования дифракция волн при наблюдении дифракционной картины на большом расстоянии от дифрагирующего объекта (в дальней зоне), а также при просмотре ее со стороны фокальная плоскость изображения линза.^[1][2] Напротив, дифракционная картина, созданная около объекта (в ближнее поле регион) определяется Дифракция Френеля уравнение.

Уравнение названо в честь Йозеф фон Фраунгофер хотя на самом деле он не принимал участия в разработке теории.^[3]

В этой статье объясняется, где можно применить уравнение Фраунгофера, и показан вид дифракционной картины Фраунгофера для различных апертур. Подробное математическое рассмотрение дифракции фраунгофера приведено в Уравнение дифракции Фраунгофера.

Уравнение

Основная статья: Уравнение дифракции Фраунгофера

Когда луч свет частично блокируется препятствием, часть света рассеивается вокруг объекта, на краю тени часто видны светлые и темные полосы - этот эффект известен как дифракция.^[4] Эти эффекты можно смоделировать с помощью Принцип Гюйгенса – Френеля. Гюйгенс постулировал, что каждая точка на первичном волновом фронте действует как источник сферических вторичных вейвлетов, и сумма этих вторичных вейвлетов определяет форму исходящей волны в любое последующее время. Френель разработал уравнение, использующее вейвлеты Гюйгенса вместе с принципом суперпозиции волн, которое достаточно хорошо моделирует эти дифракционные эффекты.

Непросто вычислить смещение (амплитуду), заданное суммой вторичных вейвлетов, каждый из которых имеет свою собственную амплитуду и фазу, поскольку это включает в себя добавление множества волн различной фазы и амплитуды. Когда две волны складываются вместе, общее смещение зависит как от амплитуда и фаза отдельных волн: две волны равного амплитуда которые находятся в фазе, дают смещение, амплитуда которого в два раза больше амплитуды отдельных волн, в то время как две волны, находящиеся в противоположных фазах, дают нулевое смещение. Как правило, необходимо решить двумерный интеграл по комплексным переменным, и во многих случаях аналитическое решение недоступно.^[5]

Уравнение дифракции Фраунгофера представляет собой упрощенную версию уравнения Формула дифракции Кирхгофа и его можно использовать для моделирования дифрагированного света, когда и источник света, и плоскость наблюдения (плоскость наблюдения) фактически находятся на бесконечности относительно дифрагирующей апертуры.^[6] При достаточно удаленном от апертуры источнике света падающий на апертуру свет плоская волна чтобы фаза света в каждой точке апертуры была одинаковой. Фаза вкладов отдельных вейвлетов в апертуре изменяется линейно с положением в апертуре, что делает вычисление суммы вкладов во многих случаях относительно простым.

При удалении источника света от апертуры приближение Фраунгофера может использоваться для моделирования дифрагированной картины на удаленной плоскости наблюдения от апертуры (дальнее поле ). Практически его можно применить к фокальной плоскости положительной линзы.

Дальнее поле

Фраунгофера дифракция происходит, когда: ${\displaystyle {\frac {W^{2}}{L\lambda }}\ll 1}$

${\displaystyle W}$ - размер апертуры или щели, ${\displaystyle \lambda }$ - длина волны, ${\displaystyle L}$ - расстояние от проема

Когда расстояние между апертурой и плоскостью наблюдения (на которой наблюдается дифрагированная картина) достаточно велико, так что длины оптических путей от краев апертуры до точки наблюдения отличаются намного меньше, чем длина волны света, тогда пути распространения отдельных вейвлетов от каждой точки апертуры до точки наблюдения можно рассматривать как параллельные. Это часто называют дальнее поле и определяется как находящийся на расстоянии, значительно превышающем W²/ λ, куда λ это длина волны и W это самый большой размер апертуры. В этом случае для моделирования дифракции можно использовать уравнение Фраунгофера.^[7]

Например, если круглое отверстие диаметром 0,5 мм освещается лазером с длиной волны 0,6 мкм, можно использовать уравнение дифракции Фраунгофера, если расстояние обзора превышает 1000 мм.

Фокальная плоскость положительной линзы как плоскость дальней зоны

Плоская волна, сфокусированная линзой.

В дальней зоне пути распространения вейвлетов от каждой точки апертуры до точки наблюдения приблизительно параллельны, а положительная линза (фокусирующая линза) фокусирует параллельные лучи по направлению к линзе в точку на фокальной плоскости (положение точки фокусировки на фокальной плоскости зависит от угла падения параллельных лучей по отношению к оптической оси). Таким образом, если положительная линза с достаточно длинным фокусным расстоянием (так, чтобы различие между ориентациями электрического поля для вейвлетов в фокусе можно было игнорировать) помещается после апертуры, то линза практически создает дифракционную картину Фраунгофера апертуры на ее фокусе. плоскости, поскольку параллельные лучи встречаются в фокусе.^[8]

Примеры дифракции фраунгофера

В каждом из этих примеров отверстие освещается монохроматической плоской волной при нормальном падении.

Дифракция на щели бесконечной глубины

График и изображение дифракции на одной щели

Ширина щели W. Дифракционная картина Фраунгофера показана на изображении вместе с графиком зависимости интенсивности от угла. θ.^[9] Рисунок имеет максимальную интенсивность при θ = 0, а также серия пиков убывающей интенсивности. Большая часть дифрагированного света попадает между первыми минимумами. Угол, α, охватываемая этими двумя минимумами, определяется выражением:^[10]

${\displaystyle \alpha \approx {\frac {2\lambda }{W}}}$

Таким образом, чем меньше апертура, тем больше угол α покрытые дифракционными полосами. Размер центральной полосы на расстоянии z дан кем-то

${\displaystyle d_{f}={\frac {2\lambda z}{W}}}$

Например, когда щель шириной 0,5 мм освещается светом с длиной волны 0,6 мкм и просматривается с расстояния 1000 мм, ширина центральной полосы на дифракционной картине составляет 2,4 мм.

Полосы уходят в бесконечность в у направление, так как щель и освещение также простираются до бесконечности.

Если W <λ, интенсивность дифрагированного света не падает до нуля, а если D << λдифрагированная волна имеет цилиндрическую форму.

Полуколичественный анализ дифракции на одной щели

Геометрия дифракции на одной щели

Мы можем найти угол, при котором получается первый минимум в дифрагированном свете, по следующим соображениям. Рассмотрим свет, дифрагированный под углом θ где расстояние CD равна длине волны освещающего света. Ширина щели - это расстояние AC. Компонент вейвлета, излучаемый из точки A, движется в θ направление находится в противофазный с волной из точки B в середине щели, так что чистый вклад под углом θ от этих двух волн равен нулю. То же самое относится к точкам чуть ниже А и B, и так далее. Следовательно, амплитуда полной волны, бегущей в направлении θ равно нулю. У нас есть:

${\displaystyle \theta _{\text{min}}\approx {\frac {CD}{AC}}={\frac {\lambda }{W}}.}$

Угол между первыми минимумами по обе стороны от центра будет таким, как указано выше:

${\displaystyle \alpha =2\theta _{\text{min}}={\frac {2\lambda }{W}}.}$

Нет такого простого аргумента, который позволил бы найти максимумы дифракционной картины.

Дифракция электрического поля на одной щели с использованием принципа Гюйгенса

Непрерывный поперечный массив точечных источников длины а.

Мы можем разработать выражение для дальнего поля непрерывного массива точечных источников с одинаковой амплитудой и одинаковой фазой. Пусть массив длины а быть параллельным оси y с центром в начале координат, как показано на рисунке справа. Тогда дифференциал поле является:^[11]

${\displaystyle dE={\frac {A}{r_{1}}}e^{j\omega [t-(r_{1}/c)]}dy={\frac {A}{r_{1}}}e^{j(\omega t-\beta r_{1})}dy}$

куда ${\displaystyle \beta =\omega /c=2\pi /\lambda }$. тем не мение ${\displaystyle r_{1}=r-y\sin \theta }$и интеграция из ${\displaystyle -a/2}$ к ${\displaystyle a/2}$,

${\displaystyle E=A^{'}\int \limits _{-a/2}^{a/2}e^{j\beta y\sin \theta }dy}$

куда ${\displaystyle A^{'}={\frac {Ae^{j(\omega t-\beta r)}}{r_{1}}}}$.

Интегрируя, получаем

${\displaystyle E={\frac {2A^{'}}{\beta \sin \theta }}\sin({\frac {\beta a}{2}}\sin \theta )}$

Сдача ${\displaystyle \psi ^{'}=\beta a\sin \theta =\alpha _{r}\sin \theta }$где длина массива в рад${\displaystyle a_{r}=\beta a=2\pi a/\lambda }$, тогда,

${\displaystyle E={\frac {\sin(\psi ^{'}/2)}{\psi ^{'}/2}}}$^[11]

Дифракция на прямоугольной апертуре

Компьютерное моделирование дифракции фраунгофера на прямоугольной апертуре

Форма дифракционной картины, заданной прямоугольной апертурой, показана на рисунке справа (или выше, в формате планшета).^[12] Это центральный полупрямоугольный пик с рядом горизонтальных и вертикальных полос. Размеры центральной полосы связаны с размерами щели тем же соотношением, что и для одиночной щели, так что больший размер в дифрагированном изображении соответствует меньшему размеру в щели. Расстояние между полосами также обратно пропорционально размеру щели.

Если освещающий луч не освещает всю вертикальную длину щели, расстояние между вертикальными полосами определяется размерами освещающего луча. Внимательное изучение дифракционной картины с двумя щелями ниже показывает, что есть очень тонкие горизонтальные дифракционные полосы выше и ниже основного пятна, а также более очевидные горизонтальные полосы.

Дифракция на круглом отверстии

Компьютерное моделирование дифракционной картины Эйри

Дифракционная картина от круглой апертуры показана на рисунке справа.^[13] Это известно как Дифракционная картина Эйри. Видно, что большая часть света находится в центральном диске. Угол, образованный этим диском, известный как диск Эйри, равен

${\displaystyle \alpha \approx {\frac {1.22\lambda }{W}}}$

куда W диаметр апертуры.

Диск Эйри может быть важным параметром в ограничение возможности системы визуализации для разрешения близко расположенных объектов.

Дифракция на апертуре с гауссовым профилем

Интенсивность плоской волны, дифрагированной через отверстие с гауссовым профилем

Дифракционная картина, полученная от апертуры с Гауссовский профиль, например, фото слайд, пропускающая способность имеет гауссовскую вариацию, также является гауссовой функцией. Форма функции представлена ​​справа (вверху для планшета), и видно, что, в отличие от дифракционных картин, создаваемых прямоугольными или круглыми отверстиями, она не имеет вторичных колец.^[14] Этот метод можно использовать в процессе, называемом аподизация - апертура закрывается гауссовым фильтром, что дает дифракционную картину без вторичных колец.

Выходной профиль одномодового лазерного луча может иметь Гауссовский профиль интенсивности и уравнение дифракции могут использоваться, чтобы показать, что он сохраняет этот профиль, как бы далеко он ни распространяется от источника.^[15]

Дифракция на двойной щели

Двухщелевые бахрома с натриевой подсветкой

в двухщелевой эксперимент, две щели освещаются одним световым лучом. Если ширина щелей достаточно мала (меньше длины волны света), щели рассеивают свет на цилиндрические волны. Эти два цилиндрических волновых фронта накладываются друг на друга, и амплитуда, а следовательно, и интенсивность в любой точке объединенных волновых фронтов зависит как от величины, так и от фазы двух волновых фронтов.^[16] Эти полосы часто называют Бахрома Янга.

Угловой интервал между полосами определяется выражением

${\displaystyle \theta _{\text{f}}=\lambda /d.}$

Шаг бахромы на расстоянии z из щелей дается^[17]

${\displaystyle w_{\text{f}}=z\theta _{f}=z\lambda /d,}$

куда d это разделение щелей.

Полосы на изображении были получены с использованием желтого света натриевого света (длина волны = 589 нм) со щелями, разделенными на 0,25 мм, и проецировались непосредственно на плоскость изображения цифровой камеры.

Двухщелевые интерференционные полосы можно наблюдать, вырезая две прорези в куске карты, освещая их лазерной указкой и наблюдая дифрагированный свет на расстоянии 1 м. Если расстояние между щелями составляет 0,5 мм, а длина волны лазера составляет 600 нм, то расстояние между полосами, видимыми с расстояния 1 м, будет 1,2 мм.

Полуколичественное объяснение двухщелевых полос

Геометрия полос в дальней зоне

Разница в фазах между двумя волнами определяется разницей в расстоянии, пройденном двумя волнами.

Если расстояние просмотра велико по сравнению с расстоянием между щелями ( дальнее поле ), разность фаз можно найти, используя геометрию, показанную на рисунке. Разница в пути между двумя волнами, бегущими под углом θ дан кем-то

${\displaystyle d\sin \theta \approx d\theta .}$

Когда две волны находятся в фазе, то есть разность хода равна целому числу длин волн, суммарная амплитуда и, следовательно, суммарная интенсивность максимальны, а когда они находятся в противофазе, то есть разность хода равна половине длина волны, полторы длины волны и т. д., затем две волны компенсируются, и суммарная интенсивность равна нулю. Этот эффект известен как вмешательство.

Максимумы интерференционных полос возникают при углах

${\displaystyle d\theta _{n}=n\lambda ,\quad n=0,1,2,\ldots ,}$

где λ - длина волны света. Угловой интервал между полосами определяется выражением

${\displaystyle \theta _{\text{f}}\approx \lambda /d.}$

Когда расстояние между прорезями и плоскостью просмотра равно z, шаг полос равен zθ и то же, что и выше:

${\displaystyle w=z\lambda /d.}$

Дифракция на решетке

Дифракция лазерного луча на решетке

Решетка определяется у Борна и Вольфа как «любое устройство, которое накладывает на падающую волну периодическое изменение амплитуды или фазы, либо того и другого».

Решетка, элементы которой разделены S преломляет обычно падающий луч света на набор лучей под углами θ_п предоставлено:^[18]

${\displaystyle ~\sin \theta _{n}=n\lambda /S,n=0,\pm 1,\pm 2......}$

Это известно как уравнение решетки. Чем меньше шаг решеток, тем больше угловое разделение дифрагированных лучей.

Если свет падает под углом θ₀, уравнение решетки:

${\displaystyle \sin \theta _{n}={\frac {n\lambda }{S}}+\sin \theta _{0},n=0,\pm 1,\pm 2....}$

Детальная структура повторяющегося рисунка определяет форму отдельных дифрагированных лучей, а также их относительную интенсивность, в то время как расстояние между решетками всегда определяет углы дифрагированных лучей.

На изображении справа показан лазерный луч, дифрагированный решеткой на п = 0 и ± 1 балок. Углы лучей первого порядка около 20 °; если предположить, что длина волны лазерного луча равна 600 нм, мы можем сделать вывод, что шаг решетки составляет около 1,8 мкм.

Полуколичественное объяснение

Простая решетка состоит из ряда щелей в экране. Если свет движется под углом θ от каждой щели имеет разность хода в одну длину волны относительно соседней щели, все эти волны складываются вместе, так что максимальная интенсивность дифрагированного света достигается, когда:

${\displaystyle W\sin \theta =n\lambda ,n=0,\pm 1,\pm 2,.....}$

Это те же отношения, что указаны выше.

Смотрите также

• Дифракция Фраунгофера (математика)
• Дифракция
• Принцип Гюйгенса – Френеля
• Формула дифракции Кирхгофа
• Дифракция Френеля
• Воздушный диск
• Фурье-оптика

Рекомендации

1. Born & Wolf, 1999, стр. 427.
2. Дженкинс и Уайт, 1957, стр.288.
3. http://scienceworld.wolfram.com/biography/Fraunhofer.html
4. Heavens and Ditchburn, 1996, стр. 62
5. Born & Wolf, 1999, стр. 425
6. Jenkins & White, 1957, раздел 15.1, стр. 288
7. Липсон, Липсон и Липсон, 2011 г., стр. 203
8. Hecht, 2002, стр. 448
9. Hecht, 2002, рисунки 10.6 (b) и 10.7 (e)
10. Jenkins & White, 1957, стр. 297
11. Краус, Джон Дэниел; Мархефка, Рональд Дж. (2002). Антенны для всех приложений. Макгроу-Хилл. ISBN  9780072321036.
12. Born & Wolf, 1999, рис. 8.10.
13. Born & Wolf, 1999, рис. 8.12.
14. Hecht, 2002, рисунок 11.33
15. Hecht, 2002, рисунок 13.14
16. Born & Wolf, 1999, рис. 7.4.
17. Hecht, 2002, ур. (9.30).
18. Longhurst, 1957, уравнение (12.1)

^[1]

Источники

• Родился М & Волк E, Принципы оптики, 1999, 7-е издание, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-64222-4
• Heavens OS и Ditchburn W., Insight into Optics, 1991, Longman and Sons, Чичестер. ISBN  978-0-471-92769-3
• Хехт Юджин, Оптика, 2002, Аддисон Уэсли, ISBN  0-321-18878-0
• Jenkins FA и White HE, Основы оптики, 1957, 3-е издание, McGraw Hill, Нью-Йорк.
• Липсон А., Липсон С.Г., Lipson H, Оптическая физика, 4-е изд., 2011 г., Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-49345-1
• Longhurst RS, Геометрическая и физическая оптика, 1967, 2-е издание, Longmans, Лондон

внешняя ссылка

• Фраунгофера дифракция на ScienceWorld
• Фраунгофера дифракция на Гиперфизика

1. Гудман, Джозеф В. (1996). Введение в фурье-оптику (второе изд.). Сингапур: McGraw-HillCompanies, Inc., стр. 73. ISBN  0-07-024254-2.