Принцип Гюйгенса – Френеля - Huygens–Fresnel principle

Волна преломление по образцу Гюйгенса

Дифракция волн по методу Гюйгенса и Френеля

В Принцип Гюйгенса – Френеля (названный в честь нидерландский язык физик Кристиан Гюйгенс и Французский физик Огюстен-Жан Френель ) - метод анализа, применяемый к проблемам распространение волн как в предел дальнего поля и в ближнем поле дифракция а также отражение. В нем говорится, что каждая точка на волновой фронт сам по себе является источником сферических вейвлетов, а вторичные вейвлеты, исходящие из разных точек, взаимно интерферируют.^[1] Сумма этих сферических всплесков образует волновой фронт.

История

Дифракция плоской волны, когда ширина щели равна длине волны

В 1678 году Гюйгенс^[2] предположил, что каждая точка, до которой достигает световое возмущение, становится источником сферической волны; сумма этих вторичных волн определяет форму волны в любой последующий момент времени. Он предположил, что вторичные волны распространяются только в «прямом» направлении, и в теории не объясняется, почему это так. Он смог дать качественное объяснение распространения линейных и сферических волн и вывести законы отражения и преломления, используя этот принцип, но не смог объяснить отклонения от прямолинейного распространения, которые происходят, когда свет встречается с краями, отверстиями и экранами, обычно известными. в качестве дифракция последствия.^[3] Окончательно решение этой ошибки было объяснено Дэвид А. Б. Миллер в 1991 г.^[4] Разрешение таково, что источником является диполь (а не монополь, предполагаемый Гюйгенсом), который сокращается в отраженном направлении.

В 1818 году Френель^[5] показал, что принцип Гюйгенса вместе с его собственным принципом вмешательство может объяснить как прямолинейное распространение света, так и эффекты дифракции. Чтобы получить согласие с экспериментальными результатами, он должен был включить дополнительные произвольные предположения о фазе и амплитуде вторичных волн, а также о коэффициенте угла наклона. Эти предположения не имеют очевидного физического основания, но привели к предсказаниям, которые согласуются со многими экспериментальными наблюдениями, включая Пятно Пуассона.

Пуассон был членом Французской академии, которая рассматривала работы Френеля.^[6] Он использовал теорию Френеля, чтобы предсказать, что яркое пятно должно появиться в центре тени небольшого диска, и заключил из этого, что теория неверна. Однако Араго, другой член комитета, провел эксперимент и показал, что предсказание было верным. (Лайл заметил это пятьдесят лет назад.^[3]) Это было одно из исследований, которое привело к победе волновой теории света над господствовавшей тогда корпускулярная теория.

Принцип Гюйгенса как микроскопическая модель

Принцип Гюйгенса – Френеля обеспечивает разумную основу для понимания и предсказания классического распространения световых волн. Однако у этого принципа есть ограничения, а именно те же приближения, которые были сделаны для получения Формула дифракции Кирхгофа и приближения Ближнее поле из-за Френеля. Их можно резюмировать тем, что длина волны света намного меньше размеров любых встречающихся оптических компонентов.^[6]

Формула дифракции Кирхгофа обеспечивает строгую математическую основу дифракции на основе волнового уравнения. Произвольные предположения, сделанные Френелем для получения уравнения Гюйгенса – Френеля, автоматически вытекают из математики этого вывода.^[7]

Простой пример работы этого принципа можно увидеть, когда открытый дверной проем соединяет две комнаты, и звук издается в удаленном углу одной из них. Человек в другой комнате услышит звук, как будто он исходит из дверного проема. Что касается второй комнаты, источником звука является вибрирующий воздух в дверном проеме.

Интерпретации современной физики

Не все эксперты согласны с тем, что принцип Гюйгенса является точным микроскопическим представлением реальности. Например, Мелвин Шварц утверждал, что «принцип Гюйгенса действительно дает правильный ответ, но по неправильным причинам».^[1]

Это можно отразить в следующих фактах:

• Микроскопическая механика создания фотонов и излучения в целом - это, по сути, ускорение электронов.^[1]
• Оригинальный анализ Гюйгенса ^[8] только включенные амплитуды, он не включает ни фазы, ни волны, распространяющиеся с разными скоростями (из-за дифракции в сплошных средах), и поэтому не учитывает интерференцию.
• Анализ Гюйгенса также не включает поляризацию для света, которая подразумевает векторный потенциал, где вместо этого звуковые волны могут быть описаны с помощью скалярного потенциала, и нет однозначного и естественного перехода между ними.^[9]
• в Гюйгенс описание нет объяснения, почему мы выбираем только вперед, т.е. Замедленная волна или прямая огибающая волновых фронтов по сравнению с распространяющимися назад Расширенная волна т.е. обратный конверт.^[9]
• В приближении Френеля существует концепция нелокального поведения из-за суммы сферических волн с разными фазами, которые исходят из разных точек волнового фронта, а нелокальные теории являются предметом многих споров (например, Ковариант Лоренца ) и из активное исследование
• Приближение Френеля можно интерпретировать квантово-вероятностным образом, но неясно, насколько эта сумма состояний (то есть всплесков на фронте волны) является полной. список штатов которые имеют физический смысл или представляют собой скорее приближение к общему основа как в ЛКАО метод.

Принцип Гюйгенса по существу совместим с квантовой теорией поля в приближение дальнего поля, учитывая эффективные поля в центре рассеяния, учитывая небольшие возмущения, и в том же смысле, что квантовая оптика совместим с Классическая оптика, другие интерпретации являются предметом дискуссий и активных исследований.

Модель Фейнмана, в которой каждая точка воображаемого волнового фронта размером с комнату генерирует вейвлет, также должна интерпретироваться в этих приближениях. ^[10] и в вероятностном контексте в этом контексте удаленные точки могут вносить только минимальный вклад в общую амплитуду вероятности.

Квантовая теория поля не включает никаких микроскопических моделей для создания фотонов, и концепция одиночного фотона также подвергается тщательному анализу на теоретическом уровне.

См. Обобщенный принцип Гюйгенса и функцию современной волны фотона ниже.

Математическое выражение принципа

Геометрическое расположение для расчета Френеля

Рассмотрим случай точечного источника, расположенного в точке п₀, вибрируя на частота ж. Возмущение можно описать сложной переменной U₀ известный как комплексная амплитуда. Он производит сферическую волну с длина волны λ, волновое число k = 2π / λ. В пределах постоянной пропорциональности комплексная амплитуда первичной волны в точке Q расположен на расстоянии р₀ из п₀ является:

${displaystyle U(r_{0})propto {frac {U_{0}e^{ikr_{0}}}{r_{0}}}.}$

Обратите внимание, что величина уменьшается обратно пропорционально пройденному расстоянию, а фаза изменяется как k умноженное на пройденное расстояние.

Используя теорию Гюйгенса и принцип суперпозиции волн, комплексная амплитуда в следующей точке п находится путем суммирования вкладов каждой точки на сфере радиуса р₀. Чтобы достичь согласия с экспериментальными результатами, Френель обнаружил, что отдельные вклады вторичных волн на сфере должны быть умножены на константу -я/ λ, и за счет дополнительного коэффициента наклона K(χ). Первое предположение означает, что вторичные волны колеблются в противофазе на четверть цикла по отношению к первичной волне, и что величина вторичных волн находится в отношении 1: λ к первичной волне. Он также предположил, что K(χ) имела максимальное значение при χ = 0 и равнялось нулю при χ = π / 2, где χ - угол между нормалью фронта первичной волны и нормалью фронта вторичной волны. Комплексная амплитуда при п, из-за вклада вторичных волн, тогда определяется как:

${displaystyle U(P)=-{frac {i}{lambda }}U(r_{0})int _{S}{frac {e^{iks}}{s}}K(chi ),dS}$

куда S описывает поверхность сферы, а s это расстояние между Q и п.

Френель использовал метод построения зон, чтобы найти приблизительные значения K для разных зон,^[6] что позволило ему делать прогнозы, которые соответствовали экспериментальным результатам.

Различные предположения, сделанные Френелем, автоматически возникают в Формула дифракции Кирхгофа,^[6] к которому принцип Гюйгенса – Френеля можно рассматривать как приближение. Кирхгоф дал следующее выражение для K(χ):

${displaystyle ~K(chi )={frac {1}{2}}(1+cos chi )}$

K имеет максимальное значение при χ = 0, как в принципе Гюйгенса – Френеля; тем не мение, K не равна нулю при χ = π / 2, но при χ = π.

Обобщенный принцип Гюйгенса

Многие книги и ссылки, например. ^[11] и ^[12]относятся к Обобщенному принципу Гюйгенса как к принципу, упомянутому Фейнман в этой публикации ^[13]

Фейнман определяет обобщенный принцип следующим образом:

«На самом деле принцип Гюйгенса неверен в оптике. Он заменен модификацией Кирхгофа, которая требует, чтобы на прилегающей поверхности были известны как амплитуда, так и ее производная. Это является следствием того факта, что волновое уравнение в оптике имеет второй порядок во времени. Волновое уравнение квантовой механики имеет первый порядок по времени, поэтому принцип Гюйгенса верен для волн материи, действие заменяет время ».

Это проясняет тот факт, что в данном контексте обобщенный принцип отражает линейность квантовой механики и тот факт, что уравнения квантовой механики имеют первый порядок во времени. Наконец, только в этом случае полностью применим принцип суперпозиции, т.е. волновая функция в точке P может быть разложена как суперпозиция волн на граничной поверхности, окружающей P. Волновые функции могут быть интерпретированы в обычном квантовомеханическом смысле как плотности вероятности, где формализм Функции Грина и пропагаторы подать заявление. Примечательно, что этот обобщенный принцип применим для «волн материи», а не для световых волн. Фазовый коэффициент теперь уточняется, как указано в действие и нет больше путаницы, почему фазы вейвлетов отличаются от фазы исходной волны и изменены дополнительными параметрами Френеля.

По Грайнеру ^[11] обобщенный принцип может быть выражен для ${displaystyle t'>t}$ в виде:

${displaystyle psi '(mathbf {x} ',t')=iint {}{}d^{3}xG(mathbf {x} ',t';mathbf {x} ,t)psi (mathbf {x} ,t)}$

Где G - обычная функция Грина, распространяющаяся во времени, волновая функция ${displaystyle psi }$. Это описание напоминает и обобщает исходную формулу Френеля классической модели.

Теория Гюйгенса и современная волновая функция фотона

Теория Гюйгенса послужила фундаментальным объяснением волновой природы световой интерференции и получила дальнейшее развитие Френелем и Янгом, но не решила полностью все наблюдения, такие как слабая интенсивность двухщелевой эксперимент впервые в исполнении Г. И. Тейлора в 1909 г. Только в начале и середине 1900-х гг. дискуссии по квантовой теории, особенно первые дискуссии на Брюссельской конференции 1927 г. Сольвей Конференция, куда Луи де Бройль предложил свою гипотезу де Бройля о том, что фотон управляется волновой функцией.^[14] Волновая функция представляет собой совершенно другое объяснение наблюдаемых светлых и темных полос в эксперименте с двумя щелями. В этой концепции фотон следует по пути, который является случайным выбором одного из многих возможных путей. Эти возможные пути образуют шаблон: в темных областях фотоны не приземляются, а в светлых областях приземляется много фотонов. Набор возможных путей фотона определяется окружающей средой: точкой происхождения фотона (атомом), щелью и экраном. Волновая функция является решением этой геометрии. Подход волновой функции был дополнительно подтвержден дополнительными экспериментами с двумя щелями в Италии и Японии в 1970-х и 1980-х годах с электронами.^[15]

Принцип Гюйгенса и квантовая теория поля

Принцип Гюйгенса можно рассматривать как следствие однородность пространства - пространство едино во всех местах.^[16] Любое возмущение, создаваемое в достаточно небольшой области однородного пространства (или в однородной среде), распространяется из этой области во всех геодезических направлениях. Волны, создаваемые этим возмущением, в свою очередь, создают возмущения в других регионах и так далее. В суперпозиция всех волн приводит к наблюдаемой картине распространения волн.

Однородность пространства важна для квантовая теория поля (QFT) где волновая функция любого объекта распространяется по всем доступным беспрепятственным путям. Когда интегрированы по всем возможным путям, с фаза коэффициент, пропорциональный действие, интерференция волновых функций правильно предсказывает наблюдаемые явления. Каждая точка на волновом фронте действует как источник вторичных вейвлетов, которые распространяются в световом конусе с той же скоростью, что и волна. Новый волновой фронт находится путем построения поверхности, касательной к вторичным вейвлетам.

В других пространственных измерениях

В 1900 г. Жак Адамар заметил, что принцип Гюйгенса нарушается, когда число пространственных измерений четное.^[17][18][19] Исходя из этого, он разработал ряд предположений, которые остаются активной темой исследований.^[20][21] В частности, было обнаружено, что принцип Гюйгенса справедлив на большом классе однородные пространства полученный из Группа Коксетера (так, например, Группы Вейля простых Алгебры Ли ).^[16][22]

Традиционная формулировка принципа Гюйгенса для Даламбертиан дает начало KdV иерархия; аналогично Оператор Дирака дает начало AKNS иерархия.^[23][24]

Смотрите также

• Фраунгофера дифракция
• Формула дифракции Кирхгофа
• Функция Грина
• Теорема Грина
• Личность Грина
• Картина дифракции в ближней зоне
• Двухщелевой эксперимент
• Эффект лезвия ножа
• Принцип Ферма
• Фурье-оптика
• Синтез волнового поля

Рекомендации

1. «Принцип Гюйгенса». MathPages. Получено 2017-10-03.
2. Chr. Гюйгенс, Traité de la Lumière (составлен в 1678 году; опубликован в Лейдене Ван дер Аа в 1690 году), переведен Сильванус П. Томпсон в качестве Трактат о свете (Лондон: Macmillan, 1912; Издание Project Gutenberg, 2005), с.19.
3. Небеса, О. С .; Дитчберн, Р. В. (1987). Взгляд в оптику. Чичестер: Wiley & Sons. ISBN  0-471-92769-4.
4. Миллер, Дэвид А. Б. (1991). «Поправлен принцип распространения волн Гюйгенса». Письма об оптике. 16 (18): 1370–1372. Bibcode:1991OptL ... 16.1370M. Дои:10.1364 / OL.16.001370. PMID  19776972. S2CID  16872264.
5. А. Френель, "Mémoire sur la diffraction de la lumière" (депонирован в 1818 г., "увенчан" в 1819 г.), в Oeuvres Complete (Париж: Imprimerie impériale, 1866–70), том 1, стр. 247–363; частично переведено как «Мемуары Френеля о дифракции света» в Х. Крю (ред.), Волновая теория света: мемуары Гюйгенса, Янга и Френеля, American Book Co., 1900, стр. 81–144. (Не путать с более ранней работой того же названия в Annales de Chimie et de Physique, 1:238–81, 1816.)
6. Родился, Макс; Вольф, Эмиль (1999). Принципы оптики. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-64222-4.
7. Klein, M. V .; Фуртак, Т. Э. (1986). Оптика (2-е изд.). Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья. ISBN  0-471-84311-3.
8. "Гюйгенс". Archive.org. Получено 2020-07-02.
9. "Теория Гюйгенса". Archive.org.
10. "Лос-Аламос Сайенс". 2002.
11. Грейнер В. Квантовая электродинамика. Спрингер, 2002.
12. «Принцип Гюйгенса как универсальная модель размножения» (PDF).
13. Фейнман, Р. П. "Пространственно-временной подход к нерелятивистской квантовой механике".
14. Бэгготт, Джим (2011). Квантовая история. Oxford Press. п.116. ISBN  978-0-19-965597-7.
15. Питер, Роджерс (сентябрь 2002 г.). «Двухщелевой эксперимент». www.physicsworld.com. Мир физики. Получено 10 сен 2018.
16. Веселов, Александр П. (1995). «Принцип Гюйгенса и интегрируемые системы». Physica D: нелинейные явления. 87 (1–4): 9–13. Bibcode:1995 ФИД ... 87 .... 9В. Дои:10.1016/0167-2789(95)00166-2.
17. Веселов, Александр П. (2002). «Принцип Гюйгенса» (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) 21 февраля 2016 г.
18. «Волновое уравнение в высших измерениях» (PDF). Заметки для класса по математике 220а. Стэндфордский Университет.
19. Belger, M .; Schimming, R .; Вюнш В. (1997). «Обзор принципа Гюйгенса». Zeitschrift für Analysis und ihre Anwendungen. 16 (1): 9–36. Дои:10.4171 / ZAA / 747.
20. Асгейрссон, Лейфур (1956). «Некоторые намеки на принцип Гюйгенса и гипотезу Адамара». Сообщения по чистой и прикладной математике. 9 (3): 307–326. Дои:10.1002 / cpa.3160090304.
21. Гюнтер, Пол (1991). «Принцип Гюйгенса и гипотеза Адамара». Математический интеллект. 13 (2): 56–63. Дои:10.1007 / BF03024088. S2CID  120446795.
22. Берест, Ю. Ю.; Веселов, А. П. (1994). «Проблема Адамара и группы Кокстера: новые примеры уравнений Гюйгенса». Функциональный анализ и его приложения. 28 (1): 3–12. Дои:10.1007 / BF01079005. S2CID  121842251.
23. Chalub, Fabio A.C.C .; Зубелли, Хорхе П. (2006). «Принцип Гюйгенса для гиперболических операторов и интегрируемых иерархий». Physica D: нелинейные явления. 213 (2): 231–245. Bibcode:2006PhyD..213..231C. Дои:10.1016 / j.physd.2005.11.008.
24. Берест Юрий Юрьевич; Луценко, Игорь М. (1997). "Принцип Гюйгенса в пространствах Минковского и солитонные решения уравнения Кортевега-де Фриза". Коммуникации по математической физике. 190 (1): 113–132. arXiv:solv-int / 9704012. Bibcode:1997CMaPh.190..113B. Дои:10.1007 / s002200050235. S2CID  14271642.

дальнейшее чтение

• Страттон, Джулиус Адамс: Электромагнитная теория, McGraw-Hill, 1941. (переиздано Wiley - IEEE Press, ISBN  978-0-470-13153-4).
• Б. Б. Бейкер и Э. Копсон, Математическая теория принципа Гюйгенса, Оксфорд, 1939, 1950; AMS Chelsea, 1987.