Уравнение дифракции Фраунгофера - Fraunhofer diffraction equation

Другие статьи с именем физика см. Фраунгофер (значения).

Для более широкого освещения этой темы см. Фраунгофера дифракция.

В оптика, то Уравнение дифракции Фраунгофера используется для моделирования дифракция волн при просмотре дифракционной картины на большом расстоянии от дифрагирующего объекта, а также при наблюдении на фокальная плоскость изображения линза.^[1][2]

Уравнение названо в честь Йозеф фон Фраунгофер хотя на самом деле он не принимал участия в разработке теории.^[3]

В этой статье уравнение приводится в различных математических формах и предоставляются подробные расчеты дифракционной картины Фраунгофера для нескольких различных форм дифрагирующих апертур, особенно для нормально падающей монохроматической плоской волны. Качественное обсуждение дифракции фраунгофера можно найти в другом месте.

Определение

Когда луч света частично блокируется препятствием, часть света рассеивается вокруг объекта, и на краю тени часто видны светлые и темные полосы - этот эффект известен как дифракция.^[4] В Уравнение дифракции Кирхгофа предоставляет выражение, производное от волновое уравнение, который описывает волну, дифрагировавшую на диафрагме; Аналитические решения этого уравнения недоступны для большинства конфигураций.^[5]

Уравнение дифракции Фраунгофера - это приближение, которое может применяться, когда дифрагированная волна наблюдается в дальнее поле, а также когда линза используется для фокусировки дифрагированного света; во многих случаях для уравнения Фраунгофера доступно простое аналитическое решение - некоторые из них выводятся ниже.

В декартовых координатах

Геометрия дифракции, показывающая плоскость апертуры (или дифрагирующего объекта) и плоскость изображения с системой координат.

Если диафрагма в x'y ' плоскость с началом в апертуре и освещается монохромный волна, из длина волны λ, волновое число k с комплексная амплитуда А(Икс ',у '), а дифрагированная волна наблюдается в х, у, г самолет, где л,м являются направляющие косинусы по делу х, у относительно начала координат комплексная амплитуда U(Икс,у) дифрагированной волны задается уравнением дифракции Фраунгофера как:^[6]

${\displaystyle U(x,y,z)\propto \iint _{\text{Aperture}}\,A(x',y')e^{-i{\frac {2\pi }{\lambda }}(lx'+my')}\,dx'\,dy'}$

${\displaystyle U(x,y,z)\propto \iint _{\text{Aperture}}\,A(x',y')e^{-ik(lx'+my')}\,dx'\,dy'}$

Из этого уравнения видно, что форма дифракционной картины зависит только от направления наблюдения, поэтому дифракционная картина изменяется по размеру, но не по форме, при изменении расстояния просмотра.

Уравнение дифракции Фраунгофера может быть выражено в различных математически эквивалентных формах. Например:^[7]

${\displaystyle U(x,y,z)\propto \iint _{\text{Aperture}}\,A(x',y')e^{-i{\frac {2\pi }{\lambda z}}(x'x+y'y)}\,dx'\,dy'}$

${\displaystyle U(x,y,z)\propto \iint _{\text{Aperture}}\,A(x',y')e^{-i{\frac {k(x'x+y'y)}{z}}}\,dx'\,dy'}$

Видно, что интеграл в приведенных выше уравнениях представляет собой преобразование Фурье апертурной функции на частотах^[8]

${\displaystyle f_{x}=x/(\lambda z)=l/\lambda }$

${\displaystyle f_{y}=y/(\lambda z)=m/\lambda }$

Таким образом, мы также можем записать уравнение в терминах преобразование Фурье в качестве:

${\displaystyle U(x,y,z)\propto {\hat {f}}[A(x',y')]_{f_{x}f_{y}}}$

куда Â - преобразование Фурье А. Формулировка преобразования Фурье может быть очень полезна при решении задач дифракции.

Другая форма:

${\displaystyle U(\mathbf {r} )\propto {\int _{\text{Aperture}}A(\mathbf {r'} )e^{-i\mathbf {k} \cdot (\mathbf {r'} -\mathbf {r} )}dr'}={\int _{\text{Aperture}}a_{0}(\mathbf {r'} )e^{i\mathbf {(k_{0}-k)} \cdot (\mathbf {r'} -\mathbf {r} )}dr'}}$

куда р и р' обозначают точку наблюдения и точку в апертуре соответственно, k₀ и k представляют волновые векторы возмущения на апертуре и дифрагированных волн соответственно, и а₀(р' ) представляет величина возмущения в апертуре.

В полярных координатах

Когда дифрагирующая апертура имеет круговую симметрию, полезно использовать полярный скорее, чем Декартово координаты.^[9]

Точка в апертуре имеет координаты ρ,ω давая:

${\displaystyle ~x'=\rho '\cos \omega ';y'=\rho '\sin \omega '}$

и

${\displaystyle ~x=\rho \cos \omega ;y=\rho \sin \omega }$

Комплексная амплитуда при ρ ' дан кем-то А (р), а площадь dИкс dу превращается в ρ'Dρ'Dω′, давая

${\displaystyle {\begin{aligned}U(\rho ,\omega ,z)&\propto \int _{0}^{\infty }\int _{0}^{2\pi }A(\rho ')e^{-i{\frac {2\pi }{\lambda z}}(\rho \rho '\cos \omega \cos \omega '+\rho \rho '\sin \omega \sin \omega ')}\rho 'd\rho 'd\omega '\\&\propto \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }A(\rho ')e^{-i{\frac {2\pi }{\lambda z}}\rho \rho '\cos(\omega -\omega ')}\,d\omega '\rho '\,d\rho '\end{aligned}}}$

Используя интегральное представление Функция Бесселя:^[10]

${\displaystyle J_{0}(p)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{ip\cos \alpha }\,d\alpha }$

у нас есть

${\displaystyle {\begin{aligned}U(\rho ,z)&\propto 2\pi \int _{0}^{\infty }A(\rho ')J_{0}\left({\frac {2\pi \rho '\rho }{\lambda z}}\right)\rho '\,d\rho '\end{aligned}}}$

где интеграция по ω дает 2π так как уравнение циркулярно симметрично, т.е. нет зависимости от ω.

В этом случае мы имеем U(ρ,z) равно Преобразование Фурье – Бесселя или Ганкеля апертурной функции, А(ρ)

Пример

Здесь приведены примеры дифракции фраунгофера на монохроматической плоской волне, падающей нормально.

В каждом случае дифрагирующий объект находится в z = 0, а комплексная амплитуда падающего плоская волна дан кем-то

${\displaystyle ~A(x',y')=ae^{i2\pi ct/\lambda }=ae^{ikct}}$

куда

а это величина волнового возмущения,

λ это длина волны,

c скорость света,

т время

k = 2 π / λ это волновое число

и фаза равен нулю во время т = 0.

Фактор, зависящий от времени, не учитывается во всех расчетах, поскольку он остается постоянным и усредняется, когда интенсивность рассчитывается. Интенсивность на р пропорциональна амплитуде, умноженной на ее комплексно сопряженный

${\displaystyle I(\mathbf {r} )\propto U(\mathbf {r} ){\overline {U}}(\mathbf {r} )}$

Эти выводы можно найти в большинстве стандартных книг по оптике, в несколько разных формах с использованием разных обозначений. Ссылка дана для каждой из смоделированных здесь систем. Используемые преобразования Фурье можно найти Вот.

Щель бесконечной глубины

График и изображение дифракции на одной щели

Апертура - щель шириной W который расположен вдоль у-ось,

Решение путем интеграции

Предполагая, что центр щели расположен в Икс = 0, первое уравнение выше, для всех значений у, является:^[11]

${\displaystyle {\begin{aligned}U(x,z)&=a\int _{-W/2}^{W/2}e^{{-2\pi ixx'}/(\lambda z)}\,dx'\\[4pt]&=-{\frac {a\lambda z}{2\pi ix}}\left|e^{{-2\pi ixx'}/(\lambda z)}\right|_{-W/2}^{W/2}\end{aligned}}}$

С помощью Формула Эйлера, это можно упростить до:

${\displaystyle {\begin{aligned}U(x,z)&=aW{\frac {\sin \left[{\frac {\pi Wx}{\lambda z}}\right]}{\frac {\pi Wx}{\lambda z}}}\\&=aW\operatorname {sinc} {\frac {\pi Wx}{\lambda z}}\end{aligned}}}$

куда грех (п) = грех (п)/п. В грех функция иногда определяется как грех (πп)/πп и это может вызвать путаницу при рассмотрении производных в разных текстах.

Это также можно записать как:

${\displaystyle U(\theta )=aW\operatorname {sinc} \left[{\frac {\pi W\sin \theta }{\lambda }}\right]}$

куда θ угол между z-ось и линия, соединяющая x с началом координат и грех θ ≈ Икс/z когда θ << 1.

Решение преобразования Фурье

Щель может быть представлена прямоугольник функционировать как:^[12]

${\displaystyle ~\operatorname {rect} \left({\frac {x}{W}}\right)}$

В преобразование Фурье этой функции дается выражением

${\displaystyle {\hat {f}}(\operatorname {rect} (ax))=\displaystyle {\frac {1}{|a|}}\cdot \operatorname {sinc} \left({\frac {\xi }{a}}\right)}$

куда ξ - частота преобразования Фурье, а грех функция здесь определяется как sin (πИкс)/(πИкс)

Частота преобразования Фурье здесь Икс/λz, давая

${\displaystyle {\begin{aligned}U(x,z)&\propto {\frac {\sin {\frac {\pi Wx}{\lambda z}}}{\frac {\pi Wx}{\lambda z}}}\\&\propto W\operatorname {sinc} {\frac {\pi Wx}{\lambda z}}\\&\propto W\operatorname {sinc} {\frac {\pi W\sin \theta }{\lambda }}\\&\propto W\operatorname {sinc} (kW\sin \theta /2)\end{aligned}}}$

Обратите внимание, что грех функция здесь определяется как sin (Икс)/(Икс) для поддержания согласованности.

Интенсивность

В интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды, и поэтому^[13]

${\displaystyle {\begin{aligned}I(\theta )&\propto \operatorname {sinc} ^{2}\left[{\frac {\pi W\sin \theta }{\lambda }}\right]\\&\propto \operatorname {sinc} ^{2}\left[{\frac {kW\sin \theta }{2}}\right]\end{aligned}}}$

Проемы

Прямоугольная апертура

Компьютерное моделирование дифракции фраунгофера на прямоугольной апертуре

Когда щель шириной W и высота ЧАС горит нормально монохромный плоская волна длины волны λ, комплексную амплитуду можно найти с помощью анализа, аналогичного анализу в предыдущем разделе, применительно к двум независимым измерениям, как:^[14][15]

${\displaystyle {\begin{aligned}U(\theta ,\phi )&\propto \operatorname {sinc} \left({\frac {\pi W\sin \theta }{\lambda }}\right)\operatorname {sinc} \left({\frac {\pi H\sin \phi }{\lambda }}\right)\\&\propto \operatorname {sinc} \left({\frac {kW\sin \theta }{2}}\right)\operatorname {sinc} \left({\frac {kH\sin \phi }{2}}\right)\end{aligned}}}$

Интенсивность определяется как

${\displaystyle {\begin{aligned}I(\theta ,\phi )&\propto \operatorname {sinc} ^{2}\left({\frac {\pi W\sin \theta }{\lambda }}\right)\operatorname {sinc} ^{2}\left({\frac {\pi H\sin \phi }{\lambda }}\right)\\&\propto \operatorname {sinc} ^{2}\left({\frac {kW\sin \theta }{2}}\right)\operatorname {sinc} ^{2}\left({\frac {kH\sin \phi }{2}}\right)\end{aligned}}}$

куда θ и φ углы между Икс и z топоры и у и z оси соответственно.

На практике все щели имеют конечную длину и поэтому вызывают дифракцию в обоих направлениях. Если длина щели намного больше ее ширины, то расстояние между горизонтальными дифракционными полосами будет намного меньше, чем расстояние между вертикальными полосами. Если освещающий луч не освещает всю длину щели, расстояние между горизонтальными полосами определяется размерами лазерного луча. При внимательном рассмотрении картины с двумя щелями ниже видно, что есть очень тонкие горизонтальные дифракционные полосы выше и ниже основного пятна, а также более очевидные вертикальные полосы.

Круглая апертура

Дифракционная картина Эйри

Отверстие имеет диаметр W. Комплексная амплитуда в плоскости наблюдения определяется выражением

${\displaystyle {\begin{aligned}U(\rho ,z)&=2\pi a\int _{0}^{W/2}J_{0}\left({\frac {2\pi \rho '\rho }{\lambda z}}\right)\rho '\,d\rho '\end{aligned}}}$

Решение путем интеграции

Использование отношения повторения^[16]

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[x^{n+1}J_{n+1}(x)\right]=x^{n+1}J_{n}(x)}$

давать

${\displaystyle \int _{0}^{x}x'J_{0}(x')\,dx'=xJ_{1}(x)}$

Если мы заменим

${\displaystyle x'={\frac {2\pi \rho }{\lambda z}}\rho '}$

и пределы интегрирования становятся 0 и πρW / λz, мы получили

${\displaystyle U(\rho ,z)\propto {\frac {J_{1}(\pi W\rho /\lambda z)}{\pi W\rho /\lambda z}}}$

Положив ρ /z = грехθ, мы получили

${\displaystyle U(\theta )\propto {\frac {J_{1}(\pi W\sin \theta /\lambda )}{\pi W\sin \theta /\lambda }}}$

Решение с использованием преобразования Фурье – Бесселя.

Мы можем записать апертурную функцию как ступенчатая функция

${\displaystyle ~\Pi (W/2)}$

Преобразование Фурье – Бесселя для этой функции дается соотношением

${\displaystyle ~F[\Pi (r/a)]={\frac {2\pi J_{1}(qa)}{q}}}$

куда q / 2π - частота преобразования, равная ρ / λz и а = W/2.

Таким образом, мы получаем

${\displaystyle {\begin{aligned}U(\rho )&={\frac {2\pi J_{1}(\pi W\rho /\lambda z)}{2\pi W\rho /\lambda z}}\\&={\frac {2\pi J_{1}(\pi W\sin \theta /\lambda )}{W\sin \theta /\lambda }}\\&={\frac {2\pi J_{1}(kW\sin \theta /2)}{kW\sin \theta /2}}\end{aligned}}}$

Интенсивность

Интенсивность определяется:^[17]

${\displaystyle {\begin{aligned}I(\theta )&\propto \left[{\frac {J_{1}(\pi W\sin \theta /\lambda )}{\pi W\sin \theta /\lambda )}}\right]^{2}\\&\propto \left[{\frac {J_{1}(kW\sin \theta /2)}{(kW\sin \theta /2)}}\right]^{2}\end{aligned}}}$

Форма дифракционной картины

Это известно как Дифракционная картина Эйри

Дифрагированная картина симметрична относительно нормали.

Апертура с гауссовым профилем

Интенсивность плоской волны, дифрагированной через апертуру с гауссовым профилем

Апертура с гауссовым профилем, например, фотографический слайд, пропускание которого имеет гауссовское изменение, так что амплитуда в точке апертуры, расположенной на расстоянии р' от происхождения дается

${\displaystyle A(\rho ')=\exp {\left(-\left[{\frac {\rho '}{\sigma }}\right]^{2}\right)}}$

давая

${\displaystyle U(\rho ,z)=2\pi a\int _{0}^{\infty }\exp {\left(-\left[{\frac {\rho '}{\sigma }}\right]^{2}\right)}J_{0}(2\pi \rho '\rho /\lambda z)\rho '\,d\rho '}$

Решение с использованием преобразования Фурье – Бесселя.

В Фурье-Бессель или Ганкель преобразование определяется как

${\displaystyle F_{\nu }(k)=\int _{0}^{\infty }f(r)J_{\nu }(kr)\,r\,dr}$

куда J_ν это Функция Бесселя первого рода порядка ν с ν ≥ −1/2.

В Преобразование Ганкеля является

${\displaystyle F_{\nu }[e^{(ar)^{2}/2}]={\frac {e^{-k^{2}/2a^{2}}}{a^{2}}}}$

давая

${\displaystyle {\begin{aligned}U(\rho ,z)&\propto e^{-[{\frac {\pi \rho \sigma }{\lambda z}}]^{2}}\end{aligned}}}$

и

${\displaystyle U(\theta )\propto e^{-[{\frac {\pi \sigma \sin \theta }{\lambda }}]^{2}}}$

Интенсивность

Интенсивность определяется:^[18]

${\displaystyle I(\theta )\propto e^{-[{\frac {2\pi \sigma \sin \theta }{\lambda }}]}}$

Эта функция изображена справа, и видно, что, в отличие от дифракционных картин, создаваемых прямоугольными или круглыми апертурами, она не имеет вторичных колец. Это можно использовать в процессе, называемом аподизация - апертура закрыта фильтром, пропускание которого изменяется как функция Гаусса, что дает дифракционную картину без вторичных колец:^[19][20]

Щели

Две щели

Картина, которая возникает, когда свет, дифрагированный от двух щелей, перекрывается, представляет значительный интерес для физики, во-первых, из-за ее важности в установлении волновой теории света через Интерференционный эксперимент Юнга, а во-вторых, из-за его роли мысленного эксперимента в двухщелевой эксперимент в квантовой механике.

Узкие прорези

Геометрия двухщелевой дифракции

Двухщелевая интерференция с использованием красного лазера

Предположим, у нас есть две длинные щели, освещенные плоской волной с длиной волны λ. Прорези в z = 0 плоскость, параллельная у ось, разделенная расстоянием S и симметричны относительно начала координат. Ширина щелей мала по сравнению с длиной волны.

Решение путем интеграции

Падающий свет преломляется щелями на однородные сферические волны. Волны, бегущие в заданном направлении θ от двух щелей имеют разные фазы. Фаза волн из верхней и нижней щелей относительно начала координат определяется выражением (2π / λ) (S / 2) sin θ и - (2π / λ) (S / 2) sin θ

Комплексная амплитуда суммированных волн определяется как:^[21]

${\displaystyle {\begin{aligned}U(\theta )&=ae^{\frac {i\pi S\sin \theta }{\lambda }}+ae^{-{\frac {i\pi S\sin \theta }{\lambda }}}\\&=a(\cos {\frac {\pi S\sin \theta }{\lambda }}+i\sin {\frac {\pi S\sin \theta }{\lambda }})+a(\cos {\frac {\pi S\sin \theta }{\lambda }}-i\sin {\frac {\pi S\sin \theta }{\lambda }})\\&=2a\cos {\frac {\pi S\sin \theta }{\lambda }}\end{aligned}}}$

Решение с использованием преобразования Фурье

Апертуру можно представить функцией:^[22]

${\displaystyle ~a[\delta {(x-S/2)}+\delta {(x+S/2)}]}$

куда δ это дельта-функция.

Мы имеют

${\displaystyle {\hat {f}}[\delta (x)]=1}$

и

${\displaystyle {\hat {f}}[g(x-a)]=e^{-2\pi iaf_{x}}{\hat {f}}[g(x)]}$

давая

${\displaystyle {\begin{aligned}U(x,z)&={\hat {f}}[\delta {(x-S/2)}+\delta {(x+S/2)}]\\&=e^{-i\pi Sx/2\lambda }+e^{i\pi Sx/2\lambda }\\&=2\cos {\frac {\pi Sx}{2\lambda }}\end{aligned}}}$

${\displaystyle U(\theta )=2\cos {\frac {\pi S\sin \theta }{2\lambda }}}$

Это то же выражение, что и полученное выше путем интегрирования.

Интенсивность

Это дает интенсивность комбинированных волн как:^[23]

${\displaystyle {\begin{aligned}I(\theta )&\propto \cos ^{2}\left[{\frac {\pi S\sin \theta }{\lambda }}\right]\\&\propto \cos ^{2}{\left[{\frac {kS\sin \theta }{2}}\right]}\end{aligned}}}$

Щели конечной ширины

Дифракция с одной и двумя щелями - расстояние между щелями составляет 0,7 мм, а ширина щелей составляет 0,1 мм.

Ширина прорезей, W конечно.

Решение путем интеграции

Дифрагированная картина определяется выражением:^[24]

${\displaystyle {\begin{aligned}U(\theta )&=a\left[e^{\frac {i\pi S\sin \theta }{\lambda }}+e^{-{\frac {i\pi S\sin \theta }{\lambda }}}\right]\int _{-W/2}^{W/2}e^{{-2\pi ix'\sin \theta }/(\lambda )}\,dx'\\&=2a\cos {\frac {\pi S\sin \theta }{\lambda }}W\operatorname {sinc} {\frac {\pi W\sin \theta }{\lambda }}\end{aligned}}}$

Решение с использованием преобразования Фурье

Функция диафрагмы определяется выражением:^[25]

${\displaystyle a\left[\operatorname {rect} \left({\frac {x-S/2}{W}}\right)+\operatorname {rect} \left({\frac {x+S/2}{W}}\right)\right]}$

В преобразование Фурье этой функции дается выражением

${\displaystyle {\hat {f}}(\operatorname {rect} (ax))=\displaystyle {\frac {1}{|a|}}\cdot \operatorname {sinc} \left({\frac {\xi }{a}}\right)}$

куда ξ - частота преобразования Фурье, а грех функция здесь определяется как sin (πx)/(πx)

и

${\displaystyle {\hat {f}}[g(x-a)]=e^{-2\pi iaf_{x}}{\hat {f}}[g(x)]}$

У нас есть

${\displaystyle {\begin{aligned}U(x,z)&={\hat {f}}\left[a\left[\operatorname {rect} \left({\frac {x-S/2}{W}}\right)+\operatorname {rect} \left({\frac {x+S/2}{W}}\right)\right]\right]\\&=2W\left[e^{-i\pi Sx/\lambda z}+e^{i\pi Sx/\lambda z}\right]{\frac {\sin {\frac {\pi Wx}{\lambda z}}}{\frac {\pi Wx}{\lambda z}}}\\&=2a\cos {\frac {\pi Sx}{\lambda z}}W\operatorname {sinc} {\frac {\pi Wx}{\lambda z}}\end{aligned}}}$

или же

${\displaystyle U(\theta )=2a\cos {\frac {\pi S\sin \theta }{\lambda }}W\operatorname {sinc} {\frac {\pi W\sin \theta }{\lambda }}}$

Это то же выражение, которое было получено интегрированием.

Интенсивность

Интенсивность определяется:^[26]

${\displaystyle {\begin{aligned}I(\theta )&\propto \cos ^{2}\left[{\frac {\pi S\sin \theta }{\lambda }}\right]\operatorname {sinc} ^{2}\left[{\frac {\pi W\sin \theta }{\lambda }}\right]\\&\propto \cos ^{2}\left[{\frac {kS\sin \theta }{2}}\right]\operatorname {sinc} ^{2}\left[{\frac {kW\sin \theta }{2}}\right]\end{aligned}}}$

Можно видеть, что форма картины интенсивности является результатом дифракционной картины отдельной щели и интерференционной картины, которая может быть получена с щелями пренебрежимо малой ширины. Это проиллюстрировано на изображении справа, на котором показана дифракция лазерного луча на одной щели, а также картина дифракции / интерференции, заданная двумя одинаковыми щелями.

Решетки

Решетка определяется у Борна и Вольфа как «любое устройство, которое накладывает на падающую волну периодическое изменение амплитуды или фазы, либо того и другого».^[27]

Решетка с узкой щелью

Простая решетка состоит из экрана с N щелями, ширина которых значительно меньше длины волны падающего света, с расстоянием между щелями S.

Решение путем интеграции

Комплексная амплитуда дифрагированной волны под углом θ дан кем-то:^[28]

${\displaystyle {\begin{aligned}U(\theta )&=a\sum _{n=1}^{N}e^{\frac {-i2\pi nS\sin \theta }{\lambda }}\\&={\frac {1-e^{-i2\pi NS\sin \theta /\lambda }}{1-e^{-i2\pi S\sin \theta /\lambda }}}\end{aligned}}}$

так как это сумма геометрическая серия.

Решение с использованием преобразования Фурье

Апертура определяется как

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N}\delta (x-nS)}$

Преобразование Фурье этой функции:^[29]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {f}}\left[\sum _{n=0}^{N}\delta (x-nS)\right]&=\sum _{n=0}^{N}e^{-if_{x}nS}\\&={\frac {1-e^{-i2\pi NS\sin \theta /\lambda }}{1-e^{-i2\pi S\sin \theta /\lambda }}}\end{aligned}}}$

Интенсивность

Дифрактограмма для узкощелевой решетки 50

Деталь основного максимума на дифрактограммах на 20 и 50 узких щелевых решетках

Интенсивность определяется:^[30]

${\displaystyle {\begin{aligned}I(\theta )&\propto {\frac {1-\cos(2\pi NS\sin \theta /\lambda )}{1-\cos(2\pi S\sin \theta /\lambda )}}\\&\propto {\frac {\sin ^{2}(\pi NS\sin \theta /\lambda )}{\sin ^{2}(\pi S\sin \theta /\lambda )}}\end{aligned}}}$

Эта функция имеет серию максимумов и минимумов. Есть регулярно расположенные «главные максимумы» и ряд гораздо меньших максимумов между основными максимумами. Основные максимумы возникают, когда

${\displaystyle \pi S\sin _{n}\theta /\lambda =n\pi ,n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots }$

и поэтому основные дифрагированные лучи возникают под углами:

${\displaystyle \sin \theta _{n}={\frac {n\lambda }{S}},n=0,\pm 1\pm 2,\ldots }$

Это уравнение решетки для нормального падающего света.

Количество малых промежуточных максимумов равно количеству щелей, N - 1, а их размер и форма также определяются N.

Форма выкройки для N= 50 показано на первом рисунке.

Подробная структура решеток с 20 и 50 щелями проиллюстрирована на второй схеме.

Щелевая решетка конечной ширины

Дифракционная картина от решетки с прорезями конечной ширины

Решетка теперь имеет N щели шириной W и интервал S

Решение с использованием интеграции

Амплитуда определяется как:^[31]

${\displaystyle {\begin{aligned}U(\theta ,\phi )&\propto a\sum _{n=1}^{N}e^{\frac {-i2\pi nS\sin \theta }{\lambda }}\int _{-W/2}^{W/2}e^{{-2\pi ixx'}/(\lambda z)}\,dx'\\&\propto a\operatorname {sinc} \left({\frac {\pi W\sin \theta }{\lambda }}\right){\frac {1-e^{-i2\pi NS\sin \theta /\lambda }}{1-e^{-i2\pi S\sin \theta /\lambda }}}\end{aligned}}}$

Решение с использованием преобразования Фурье

Функцию апертуры можно записать как:^[32]

${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}\operatorname {rect} \left[{\frac {x'-nS}{W}}\right]}$

С использованием теорема свертки, который говорит, что если у нас есть две функции ж(Икс) и грамм(Икс), и у нас есть

${\displaystyle h(x)=(f*g)(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f(y)g(x-y)\,dy,}$

где ∗ обозначает операцию свертки, то также имеем

${\displaystyle {\hat {h}}(\xi )={\hat {f}}(\xi )\cdot {\hat {g}}(\xi ).}$

мы можем записать апертурную функцию как

${\displaystyle \operatorname {rect} (x'/W)*\sum _{n=0}^{N}\delta (x'-nS)}$

Амплитуда тогда определяется преобразованием Фурье этого выражения как:

${\displaystyle {\begin{aligned}U(x,z)&={\hat {f}}[\operatorname {rect} (x'/W)]{\hat {f}}\left[\sum _{n=0}^{N}\delta (x'-nS)\right]\\&=a\operatorname {sinc} \left({\frac {W\sin \theta }{\lambda }}\right){\frac {1-e^{-i2\pi NS\sin \theta /\lambda }}{1-e^{-i2\pi S\sin \theta /\lambda }}}\end{aligned}}}$

Интенсивность

Интенсивность определяется:^[33]

${\displaystyle {\begin{aligned}I(\theta )&\propto \operatorname {sinc} ^{2}\left({\frac {W\sin \theta }{\lambda }}\right){\frac {\sin ^{2}(\pi NS\sin \theta /\lambda )}{\sin ^{2}(\pi S\sin \theta /\lambda )}}\end{aligned}}}$

На диаграмме показана дифракционная картина для решетки с 20 щелями, ширина щелей которой составляет 1/5 расстояния между щелями. Размер основных дифрагированных пиков модулируется дифракционной картиной отдельных щелей.

Другие решетки

Вышеупомянутый метод преобразования Фурье может использоваться для нахождения формы дифракции для любой периодической структуры, для которой известно преобразование Фурье структуры. Хороший человек^[34] использует этот метод для получения выражений для дифракционной картины, полученной с помощью решеток с синусоидальной амплитудой и фазовой модуляцией. Они представляют особый интерес в голография.

Расширения

Ненормальное освещение

Если проем освещен плоской монохроматической волной, падающей в направлении (л₀,м₀, п₀), первая версия приведенного выше уравнения Фраунгофера принимает следующий вид:^[35]

${\displaystyle {\begin{aligned}U(x,y,z)&\propto \iint _{\text{Aperture}}\,A(x',y')e^{-i{\frac {2\pi }{\lambda }}[(l-l_{0})x'+(m-m_{0})y']}\,dx'\,dy'\\&\propto \iint _{\text{Aperture}}\,A(x',y')e^{-ik[(l-l_{0})x'+(m-m_{0})y']}\,dx'\,dy'\end{aligned}}}$

Уравнения, используемые для моделирования каждой из вышеперечисленных систем, изменяются только путем изменения констант, умножающих Икс и у, поэтому дифрагированные световые узоры будут иметь форму, за исключением того, что теперь они будут центрированы вокруг направления падающей плоской волны.

Уравнение решетки принимает вид^[36]

${\displaystyle \sin \theta _{n}={\frac {n\lambda }{S}}+\sin \theta _{0},n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots }$

Немонохроматическое освещение

Во всех приведенных выше примерах дифракции фраунгофера эффект увеличения длины волны освещающего света заключается в уменьшении размера дифракционной структуры, и, наоборот, когда длина волны уменьшается, размер рисунка увеличивается. Если свет не является монохроматическим, то есть он состоит из диапазона разных длин волн, каждая длина волны дифрагируется в узор немного другого размера по сравнению с его соседями. Если разброс длин волн значительно меньше средней длины волны, отдельные узоры будут очень мало отличаться по размеру, и поэтому основная дифракция все равно будет проявляться с немного уменьшенным контрастом. По мере увеличения разброса длин волн количество наблюдаемых полос уменьшается.

Смотрите также

• Формула дифракции Кирхгофа
• Дифракция Френеля
• Принцип Гюйгенса
• Воздушный диск
• Фурье-оптика

Рекомендации

1. Born & Wolf, 1999, стр. 427.
2. Дженкинс и Уайт, 1957, стр.288.
3. http://scienceworld.wolfram.com/biography/Fraunhofer.html
4. Heavens & Ditchburn, 1996, стр.62.
5. Born & Wolf, 2002, стр. 425.
6. Lipson et al., 2011, уравнение (8.8), стр. 231
7. Hecht, 2002, уравнение (11.63), стр. 529
8. Hecht, 2002, уравнение (11.67), стр. 540
9. Born & Wolf, 2002, раздел 8.5.2, уравнения (6–8), стр. 439
10. Абрамовиц и Стегун, 1964, раздел 9.1.21, стр. 360
11. Born & Wolf, 1999, Раздел 8.5.1, стр. 436
12. Hecht, 2002, стр. 540.
13. Hecht, 2002, уравнения (10.17) (10.18), стр. 453
14. Лонгхерст, 1967, стр. 217.
15. Гудман, уравнение (4.28), стр. 76
16. Уиттакер и Ватсон, пример 2, стр. 360
17. Hecht, 2002, уравнение (10.56), стр. 469
18. Hecht, 2002, уравнение (11.2), стр. 521
19. Heavens & Ditchburn, 1991, стр.68.
20. Hecht, 2002, рисунок (11.33), стр. 543
21. Jenkins & White, 1957, уравнение (16c), стр. 312
22. Hecht, 2002, уравнение (11.4328), стр. 5
23. Lipson et al., 2011, уравнение (9.3), стр. 280
24. Hecht, 2002, раздел 10.2.2, стр. 451
25. Hecht, 2002, стр. 541
26. Дженкинс и Уайт, 1967, уравнение (16c), стр. 313
27. Born & Wolf, 1999, Раздел 8.6.1, стр. 446
28. Jenkins & White, 1957, уравнение (17a), стр. 330
29. Lipson et al., 2011, уравнение (4.41), стр.106
30. Born & Wolf, 1999, уравнение (5a), стр. 448
31. Born & Wolf, раздел 8.6.1, уравнение (5), стр. 448
32. Гехт, Теорема о массивах, стр. 543
33. Born & Wolf, 2002, раздел 8.6, уравнение (10), стр. 451
34. Goodman, 2005, разделы 4.4.3 и 4.4.4, стр. 78
35. Lipson et al., 2011, раздел 8.2.2, стр. 232
36. Born & Wolf, 1999, уравнение (8), стр. 449

Справочные источники

• Абрамовиц Милтон и Стегун Ирен А., 1964, Dover Publications Inc., Нью-Йорк.
• Родился М И волк E, Принципы оптики, 1999, 7-е издание, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-64222-4
• Гудман Джозеф, 2005 г., Введение в оптику Фурье, Roberts & Co. ISBN  0-9747077-2-4 или онлайн Вот
• Heavens OS и Ditchburn W., 1991, Insight into Optics, Longman and Sons, Чичестер ISBN  978-0-471-92769-3
• Хехт Юджин, Оптика, 2002, Аддисон Уэсли, ISBN  0-321-18878-0
• Дженкинс Ф.А. и Уайт Х.Э., 1957, Основы оптики, 3-е издание, МакГроу Хилл, Нью-Йорк
• Липсон А, Липсон С.Г., Lipson H, 2011, Оптическая физика, 4-е изд., Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-49345-1
• Longhurst RS, 1967, Геометрическая и физическая оптика, 2-е издание, Longmans, Лондон
• Уиттакер и Ватсон, 1962, современный анализ, Cambridge University Press.