Магический квадрат Фройденталя - Freudenthal magic square

Не путать с магический квадрат.

А Б	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle \mathbb {C} }$	${\displaystyle \mathbb {H} }$	${\displaystyle \mathbb {O} }$
${\displaystyle \mathbb {R} }$	А1	А2	C3	F4
${\displaystyle \mathbb {C} }$	А2	А2 × А2	А5	E6
${\displaystyle \mathbb {H} }$	C3	А5	D6	E7
${\displaystyle \mathbb {O} }$	F4	E6	E7	E8

В математика, то Магический квадрат Фройденталя (или же Магический квадрат Фройденталя – Титса) - конструкция, связывающая несколько Алгебры Ли (и связанные с ними Группы Ли ). Он назван в честь Ганс Фройденталь и Жак Титс, которые разработали идею самостоятельно. Он связывает алгебру Ли с парой алгебр с делением А, B. Полученные алгебры Ли имеют Диаграммы Дынкина согласно таблице справа. «Магия» магического квадрата Фрейденталя состоит в том, что построенная алгебра Ли симметрична относительно А и B, несмотря на то, что первоначальная конструкция не была симметричной, хотя Симметричный метод Винберга дает симметричную конструкцию.

Магический квадрат Фройденталя включает в себя все исключительные группы Ли Помимо грамм₂, и он обеспечивает один из возможных подходов для обоснования утверждения, что «все исключительные группы Ли существуют благодаря октонионы ": грамм₂ сам по себе группа автоморфизмов октонионов (кроме того, это во многом похоже на классическая группа Ли потому что это стабилизатор общей 3-формы в 7-мерном векторном пространстве - см. предоднородное векторное пространство ).

Конструкции

Видеть история для контекста и мотивации. Первоначально они были созданы примерно в 1958 году Фройденталем и Титсом, а в последующие годы были созданы более элегантные формулировки.^[1]

Подход Сиськи

Подход Титса, открытый около 1958 г. и опубликованный в (Сиськи 1966 ), как следует.

Связанный с любым нормированным реальным алгебра с делением А (т.е. R, C, H или O) существует Йорданова алгебра, J₃(А), из 3 × 3 А-Эрмитовы матрицы. Для любой пары (А, B) таких алгебр с делением можно определить Алгебра Ли

${\displaystyle L=\left({\mathfrak {der}}(A)\oplus {\mathfrak {der}}(J_{3}(B))\right)\oplus \left(A_{0}\otimes J_{3}(B)_{0}\right)}$

куда ${\displaystyle {\mathfrak {der}}}$ обозначает алгебру Ли производные алгебры, а индекс 0 обозначает бесследный часть. Алгебра Ли L имеет ${\displaystyle {\mathfrak {der}}(A)\oplus {\mathfrak {der}}(J_{3}(B))}$ как подалгебра, и это естественно действует на ${\displaystyle A_{0}\otimes J_{3}(B)_{0}}$. Скобка Ли на ${\displaystyle A_{0}\otimes J_{3}(B)_{0}}$ (который не является подалгеброй) неочевидно, но Титс показал, как это можно определить, и что он создал следующую таблицу компактные алгебры Ли.

	B	р	C	ЧАС	О
А	дер(А / В)	0	0	${\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{1}}$	${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{2}}$
р	0	${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{3}}$	${\displaystyle {\mathfrak {su}}_{3}}$	${\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{3}}$	${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{4}}$
C	0	${\displaystyle {\mathfrak {su}}_{3}}$	${\displaystyle {\mathfrak {su}}_{3}\oplus {\mathfrak {su}}_{3}}$	${\displaystyle {\mathfrak {su}}_{6}}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{6}}$
ЧАС	${\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{1}}$	${\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{3}}$	${\displaystyle {\mathfrak {su}}_{6}}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{12}}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{7}}$
О	${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{2}}$	${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{4}}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{6}}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{7}}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{8}}$

По построению строка таблицы с А=р дает ${\displaystyle {\mathfrak {der}}(J_{3}(B))}$, и аналогично наоборот.

Симметричный метод Винберга

«Магия» магического квадрата Фрейденталя состоит в том, что построенная алгебра Ли симметрична относительно А и B. Это не очевидно из конструкции Титса. Эрнест Винберг дал явно симметричную конструкцию, в (Винберг 1966 ). Вместо использования йордановой алгебры он использует алгебру косоэрмитовых бесследных матриц с элементами в А ⊗ B, обозначенный ${\displaystyle {\mathfrak {sa}}_{3}(A\otimes B)}$. Винберг определяет структуру алгебры Ли на

${\displaystyle {\mathfrak {der}}(A)\oplus {\mathfrak {der}}(B)\oplus {\mathfrak {sa}}_{3}(A\otimes B).}$

Когда А и B не имеют производных (т.е. р или же C), это просто скобка Ли (коммутатор) на ${\displaystyle {\mathfrak {sa}}_{3}(A\otimes B)}$. При наличии дифференцирований они образуют подалгебру, естественным образом действующую на ${\displaystyle {\mathfrak {sa}}_{3}(A\otimes B)}$ как в конструкции Титса, и бесследная коммутаторная скобка на ${\displaystyle {\mathfrak {sa}}_{3}(A\otimes B)}$ изменяется выражением со значениями в ${\displaystyle {\mathfrak {der}}(A)\oplus {\mathfrak {der}}(B)}$.

Триальность

Более поздняя постройка из-за Пьер Рамон (Рамонд 1976 ) ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFRamond1976 (помощь) и Брюс Эллисон (Эллисон 1978 ) и разработан Крисом Бартоном и Энтони Садбери, использует триальность в форме, разработанной Джон Фрэнк Адамс; это было представлено в (Бартон и Садбери 2000 ), а в упрощенном виде - в (Бартон и Садбери 2003 ). В то время как конструкция Винберга основана на группах автоморфизмов алгебры с делением А (или, скорее, их алгебры дифференцирований Ли), Бартон и Садбери используют группу автоморфизмов соответствующей тройственности. Триальность - это трилинейная карта

${\displaystyle A_{1}\times A_{2}\times A_{3}\to \mathbf {R} }$

получается путем взятия трех копий алгебры с делением А, и используя внутренний продукт на А чтобы дуализировать умножение. Группа автоморфизмов - это подгруппа в SO (А₁) × SO (А₂) × SO (А₃), сохраняющую это трилинейное отображение. Обозначается Tri (А). В следующей таблице сравнивается ее алгебра Ли с алгеброй Ли выводов.

А:	р	C	ЧАС	О
${\displaystyle {\mathfrak {der}}(A)}$	0	0	${\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{1}}$	${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{2}}$
${\displaystyle {\mathfrak {tri}}(A)}$	0	${\displaystyle {\mathfrak {u}}_{1}\oplus {\mathfrak {u}}_{1}}$	${\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{1}\oplus {\mathfrak {sp}}_{1}\oplus {\mathfrak {sp}}_{1}}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{8}}$

Затем Бартон и Садбери идентифицируют алгебру Ли магического квадрата, соответствующую (А,B) со структурой алгебры Ли на векторном пространстве

${\displaystyle {\mathfrak {tri}}(A)\oplus {\mathfrak {tri}}(B)\oplus (A_{1}\otimes B_{1})\oplus (A_{2}\otimes B_{2})\oplus (A_{3}\otimes B_{3}).}$

Скобка Ли совместима с Z₂ × Z₂ оценка, с три(А) и три(B) в степени (0,0), а три копии А ⊗ B в степенях (0,1), (1,0) и (1,1). Скобка сохраняет три(А) и три(B) и они действуют естественным образом на трех копиях А ⊗ B, как и в других конструкциях, но скобки между этими тремя копиями более ограничены.

Например, когда А и B - октонионы, тройственность - это тройственность Спина (8), двойное покрытие SO (8) и описание Бартона-Садбери дает

${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{8}\cong {\mathfrak {so}}_{8}\oplus {\widehat {\mathfrak {so}}}_{8}\oplus (V\otimes {\widehat {V}})\oplus (S_{+}\otimes {\widehat {S}}_{+})\oplus (S_{-}\otimes {\widehat {S}}_{-})}$

где V, S₊ и S₋ являются тремя 8-мерными представлениями ${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{8}}$ (фундаментальное представление и два спиновые представления ), а объекты со шляпой - изоморфная копия.

Что касается одного из Z₂ оценок, первые три слагаемых в совокупности дают ${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{16}}$ а последние два вместе образуют одно из его спиновых представлений Δ₊¹²⁸ (верхний индекс обозначает размер). Это хорошо известный симметричное разложение из E8.

Конструкция Бартона – Садбери распространяет это на другие алгебры Ли в магическом квадрате. В частности, для исключительных алгебр Ли в последней строке (или столбце) симметричные разложения таковы:

${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{4}\cong {\mathfrak {so}}_{9}\oplus \Delta ^{16}}$

${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{6}\cong ({\mathfrak {so}}_{10}\oplus {\mathfrak {u}}_{1})\oplus \Delta ^{32}}$

${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{7}\cong ({\mathfrak {so}}_{12}\oplus {\mathfrak {sp}}_{1})\oplus \Delta _{+}^{64}}$

${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{8}\cong {\mathfrak {so}}_{16}\oplus \Delta _{+}^{128}.}$

Обобщения

Расщепить композиционные алгебры

В добавок к нормированные алгебры с делением, Есть другие композиционные алгебры над р, а именно разделенные комплексные числа, то сплит-кватернионы и сплит-октонионы. Если использовать их вместо комплексных чисел, кватернионов и октонионов, получится следующий вариант магического квадрата (где разделенные версии алгебр с делением обозначены тире).

А Б	р	C '	ЧАС'	О '
р	${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{3}}$	${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{3}(\mathbf {R} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{6}(\mathbf {R} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{4(4)}}$
C '	${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{3}(\mathbf {R} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{3}(\mathbf {R} )\oplus {\mathfrak {sl}}_{3}(\mathbf {R} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{6}(\mathbf {R} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{6(6)}}$
ЧАС'	${\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{6}(\mathbf {R} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{6}(\mathbf {R} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{6,6}}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{7(7)}}$
О '	${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{4(4)}}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{6(6)}}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{7(7)}}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{8(8)}}$

Здесь все алгебры Ли являются разделить реальную форму кроме так₃, но изменение знака в определении скобки Ли можно использовать для получения разделенной формы так_2,1. В частности, для исключительных алгебр Ли максимальные компактные подалгебры следующие:

Разделенная форма	${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{4(4)}}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{6(6)}}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{7(7)}}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{8(8)}}$
Максимально компактный	${\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{3}\oplus {\mathfrak {sp}}_{1}}$	${\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{4}}$	${\displaystyle {\mathfrak {su}}_{8}}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{16}}$

Несимметричная версия магического квадрата также может быть получена путем комбинирования расщепленных алгебр с обычными алгебрами с делением. Согласно Бартону и Садбери, результирующая таблица алгебр Ли выглядит следующим образом.

А Б	р	C	ЧАС	О
р	${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{3}}$	${\displaystyle {\mathfrak {su}}_{3}}$	${\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{3}}$	${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{4}}$
C '	${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{3}(\mathbf {R} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{3}(\mathbf {C} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{3}(\mathbf {H} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{6(-26)}}$
ЧАС'	${\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{6}(\mathbf {R} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {su}}_{3,3}}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{6}^{*}(\mathbf {H} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{7(-25)}}$
О '	${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{4(4)}}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{6(2)}}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{7(-5)}}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{8(-24)}}$

Возникающие здесь вещественные исключительные алгебры Ли снова можно описать их максимальными компактными подалгебрами.

Алгебра Ли	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{6(2)}}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{6(-26)}}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{7(-5)}}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{7(-25)}}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{8(-24)}}$
Максимально компактный	${\displaystyle {\mathfrak {su}}_{6}\oplus {\mathfrak {sp}}_{1}}$	${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{4}}$	${\displaystyle {\mathfrak {su}}_{12}\oplus {\mathfrak {sp}}_{1}}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{6}\oplus {\mathfrak {u}}_{1}}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{7}\oplus {\mathfrak {sp}}_{1}}$

Произвольные поля

Расщепленные формы композиционных алгебр и алгебр Ли могут быть определены над любым поле K. Это дает следующий магический квадрат.

${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{3}(\mathbf {K} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{3}(\mathbf {K} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{6}(\mathbf {K} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{4}(\mathbf {K} )}$
${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{3}(\mathbf {K} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{3}(\mathbf {K} )\oplus {\mathfrak {sl}}_{3}(\mathbf {K} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{6}(\mathbf {K} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{6}(\mathbf {K} )}$
${\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{6}(\mathbf {K} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{6}(\mathbf {K} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{12}(\mathbf {K} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{7}(\mathbf {K} )}$
${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{4}(\mathbf {K} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{6}(\mathbf {K} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{7}(\mathbf {K} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{8}(\mathbf {K} )}$

Здесь есть некоторая двусмысленность, если K не является алгебраически замкнутым. В случае K = C, это комплексификация магических квадратов Фрейденталя для р обсуждали до сих пор.

Более общие йордановы алгебры

Обсуждаемые до сих пор квадраты связаны с йордановыми алгебрами J₃(А), куда А является алгеброй с делением. Существуют также йордановы алгебры J_п(А) для любого положительного целого числа п, так долго как А ассоциативно. Эти формы разделения доходности (по любому полю K) и компактных форм (над р) обобщенных магических квадратов.

${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{n}(\mathbf {K} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbf {K} ){\text{ or }}{\mathfrak {su}}_{n}}$	${\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{2n}(\mathbf {K} ){\text{ or }}{\mathfrak {sp}}_{n}}$
${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbf {K} ){\text{ or }}{\mathfrak {su}}_{n}}$	${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbf {K} )\oplus {\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbf {K} ){\text{ or }}{\mathfrak {su}}_{n}\oplus {\mathfrak {su}}_{n}}$	${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2n}(\mathbf {K} ){\text{ or }}{\mathfrak {su}}_{2n}}$
${\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{2n}(\mathbf {K} ){\text{ or }}{\mathfrak {sp}}_{n}}$	${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2n}(\mathbf {K} ){\text{ or }}{\mathfrak {su}}_{2n}}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{4n}(\mathbf {K} )}$

За п = 2, Дж₂(О) также является йордановой алгеброй. В компактном корпусе (более р) это дает магический квадрат ортогональных алгебр Ли.

А Б	р	C	ЧАС	О
р	${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2}}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{3}}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{5}}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{9}}$
C	${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{3}}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{4}}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{6}}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{10}}$
ЧАС	${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{5}}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{6}}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{8}}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{12}}$
О	${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{9}}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{10}}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{12}}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{16}}$

Последняя строка и столбец здесь являются частью ортогональной алгебры алгебры изотропии в симметрическом разложении исключительных алгебр Ли, упомянутых ранее.

Эти конструкции тесно связаны с эрмитовы симметричные пространства - ср. предоднородные векторные пространства.

Симметричные пространства

Римановы симметрические пространства, как компактные, так и некомпактные, можно однородно классифицировать с помощью конструкции магического квадрата в (Хуанг и Люн 2011 ) Ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFHuangLeung2011 (помощь). Неприводимые компактные симметрические пространства являются с точностью до конечных покрытий либо компактной простой группой Ли, либо грассманианом, либо Лагранжев грассманиан, или двойной лагранжев грассманиан подпространств ${\displaystyle (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )^{n},}$ для нормированных алгебр с делением А и B. Аналогичная конструкция дает неприводимые некомпактные симметрические пространства.

История

Проективные плоскости Розенфельда

Следующий Рут Муфанг открытие в 1933 г. Проективная плоскость Кэли или «октонионная проективная плоскость» п²(О), группа симметрии которой является исключительной группой Ли F₄, и зная, что грамм₂ - группа автоморфизмов октонионов, она была предложена Розенфельд (1956) что оставшиеся исключительные группы Ли E₆, E₇, и E₈ являются группами изоморфизмов проективных плоскостей над некоторыми алгебрами над октонионами:^[1]

• то биоктонионы, C ⊗ О,
• то кватероктонионы, ЧАС ⊗ О,
• то октооктонионы, О ⊗ О.

Это предложение привлекательно, поскольку есть определенные исключительные компактные Римановы симметрические пространства с желаемыми группами симметрии и размерность которых согласуется с размерностью предполагаемых проективных плоскостей (dim (п²(K ⊗ K′)) = 2 dim (K) тусклый (K′)), И это дало бы единообразную конструкцию исключительных групп Ли как симметрий естественных объектов (т.е. без априорного знания исключительных групп Ли). Римановы симметрические пространства были классифицированы Картаном в 1926 году (метки Картана используются в дальнейшем); видеть классификация для деталей, и соответствующие места:

• то октонионная проективная плоскость - FII, размер 16 = 2 × 8, F₄ симметрия Проективная плоскость Кэли п²(О),
• биоктонионная проективная плоскость - EIII, размерность 32 = 2 × 2 × 8, E₆ симметрия, комплексифицированная проективная плоскость Кэли, п²(C ⊗ О),
• "кватероктонионная проективная плоскость"^[2] - EVI, размер 64 = 2 × 4 × 8, E₇ симметрия п²(ЧАС ⊗ О),
• "октооктонионная проективная плоскость"^[3] - EVIII, размер 128 = 2 × 8 × 8, E₈ симметрия п²(О ⊗ О).

Сложность этого предложения состоит в том, что хотя октонионы являются алгеброй с делением, и, таким образом, над ними определена проективная плоскость, биоктонионы, кватероктонионы и октооктонионы не являются алгебрами с делением, и, таким образом, обычное определение проективной плоскости не работает. Это может быть разрешено для биоктонионов, в результате чего проективная плоскость является комплексифицированной плоскостью Кэли, но конструкции не работают для кватероктонионов и октооктонионов, и рассматриваемые пространства не подчиняются обычным аксиомам проективных плоскостей,^[1] отсюда и кавычки на «(предполагаемой) проективной плоскости». Однако касательное пространство в каждой точке этих пространств можно отождествить с плоскостью (ЧАС ⊗ О)², или же (О ⊗ О)² дальнейшее обоснование интуиции, что это форма обобщенной проективной плоскости.^[2][3] Соответственно, полученные пробелы иногда называют Проективные плоскости Розенфельда и обозначены, как если бы они были проективными плоскостями. В более широком смысле эти компактные формы являются Эллиптические проективные плоскости Розенфельда, а дуальные некомпактные формы - это Гиперболические проективные плоскости Розенфельда. Более современное изложение идей Розенфельда находится в (Розенфельд 1997 ), а краткая заметка об этих «плоскостях» - в (Besse 1987 С. 313–316).^[4]

Пространства могут быть построены с использованием теории зданий Титса, которая позволяет построить геометрию с любой заданной алгебраической группой в качестве симметрии, но для этого нужно начинать с групп Ли и строить из них геометрию, а не строить геометрию независимо от знание групп Ли.^[1]

Магический квадрат

На уровне многообразий и групп Ли построение проективной плоскости п²(K ⊗ K′) Двух нормированных алгебр с делением не работает, соответствующая конструкция на уровне алгебр Ли делает работай. То есть, если разложить алгебру Ли инфинитезимальных изометрий проективной плоскости п²(K) и применяет тот же анализ к п²(K ⊗ K′), Можно использовать это разложение, которое имеет место, когда п²(K ⊗ K′) На самом деле можно определить как проективную плоскость, как определение "магической квадратной алгебры Ли" M(K,K′). Это определение чисто алгебраическое и справедливо даже без предположения о существовании соответствующего геометрического пространства. Это было сделано независимо примерно в 1958 году в (Сиськи 1966 ) и Фройденталя в серии из 11 статей, начиная с (Фройденталь 1954 г. ) ошибка harv: несколько целей (2 ×): CITEREFFreudenthal1954 (помощь) и заканчивая (Фройденталь 1963 г. ), хотя описанная здесь упрощенная конструкция обусловлена ​​(Винберг 1966 ).^[1]

Смотрите также

• E8 (математика)
• E7 (математика)
• E6 (математика)
• F4 (математика)
• G2 (математика)
• Тройная система Иордана
• Евклидова алгебра Гурвица
• Евклидова йорданова алгебра

Примечания

1. (Baez 2002, 4.3 Волшебный квадрат )
2. (Baez 2002, 4.5 E₇ )
3. (Baez 2002, 4.6 E₈ )
4. "Результаты этой недели по математической физике - неделя 106 ", Джон Баэз 23 июля 1997 г.

Рекомендации

• Адамс, Джон Франк (1996). Махмуд, Зафер; Мимура, Мамора (ред.). Лекции об исключительных группах Ли. Чикагские лекции по математике. Издательство Чикагского университета. ISBN  978-0-226-00527-0.
• Эллисон, Б. (1978). «Структурируемые алгебры». Математика. Анна. 237 (2): 133–156. Дои:10.1007 / bf01351677.
• Баэз, Джон С. (2002). "Октонионы". Бюллетень Американского математического общества. 39 (2): 145–205. arXiv:математика / 0105155. Дои:10.1090 / S0273-0979-01-00934-X. ISSN  0273-0979. МИСТЕР  1886087. – 4.3: Волшебный квадрат
• Баэз, Джон С. (2005). "Исправление для Октонионы" (PDF). Бюллетень Американского математического общества. 42 (2): 213–214. Дои:10.1090 / S0273-0979-05-01052-9.
• Barton, C.H .; Садбери, А. (2000). "Магические квадраты алгебр Ли". arXiv:математика / 0001083.
• Barton, C.H .; Садбери, А. (2003). «Магические квадраты и матричные модели алгебр Ли». Успехи в математике. 180 (2): 596–647. arXiv:math.RA / 0203010. Дои:10.1016 / S0001-8708 (03) 00015-X.
• Бесс, Артур Л. (1987). Многообразия Эйнштейна. Берлин: Springer. ISBN  978-3-540-15279-8.
• Фройденталь, Ганс (1954). "Beziehungen der E₇ унд E₈ zur Oktavenebene. Я". Indagationes Math. (на немецком). 16: 218–230. МИСТЕР  0063358.
• Фройденталь, Ганс (1954). "Beziehungen der E₇ унд E₈ zur Oktavenebene. II ». Indagationes Math. (на немецком). 16: 363–368. МИСТЕР  0068549.
• Фройденталь, Ганс (1955). "Beziehungen der E₇ унд E₈ zur Oktavenebene. III ». Indagationes Math. (на немецком). 17: 151–157. МИСТЕР  0068550.
• Фройденталь, Ганс (1955). "Beziehungen der E₇ унд E₈ zur Oktavenebene. IV ». Indagationes Math. (на немецком). 17: 277–285. МИСТЕР  0068551.
• Фройденталь, Ганс (1959). "Beziehungen der E₇ унд E₈ zur Oktavenebene. V – IX ». Indagationes Math. (на немецком). 21: 165–201, 447–474.
• Фройденталь, Ганс (1963). "Beziehungen der E₇ унд E₈ zur Oktavenebene. X, XI ". Indagationes Math. (на немецком). 25: 457–471, 472–487. МИСТЕР  0163203.
• Фройденталь, Ганс (1951), Oktaven, Ausnahmegruppen und Oktavengeometrie, Mathematisch Instituut der Rijksuniversiteit te Utrecht
• Фройденталь, Ганс (1985), "Oktaven, Ausnahmegruppen und Oktavengeometrie", Геом. Dedicata, 19: 7–63, Дои:10.1007 / bf00233101 (перепечатка статьи 1951 г.)
• Хуанг, Юндун; Леунг, Найчунг Конан (2010). «Единообразное описание компактных симметрических пространств как грассманианов с помощью магического квадрата» (PDF). Mathematische Annalen. 350 (1): 79–106. Дои:10.1007 / s00208-010-0549-8.
• Ландсберг, Дж. М .; Манивел, Л. (2001). «Проективная геометрия волшебного квадрата Фрейденталя». Журнал алгебры. 239 (2): 477–512. arXiv:math.AG/9908039. Дои:10.1006 / jabr.2000.8697.
• Постников, М. (1986), Группы Ли и алгебры Ли. Лекции по геометрии. Семестр V, Мир
• Пьер Рамон (1976), Введение в исключительные группы и алгебры Ли, CALT-68-577, Калифорнийский технологический институт, Пасадена.
• Розенфельд, Борис А. (1956). "[Геометрическая интерпретация компактных простых групп Ли класса E]". Докл. Акад. АН СССР (на русском). 106: 600–603.
• Розенфельд, Борис А. (1997). Геометрия групп Ли. Математика и ее приложения. 393. Дордрехт: Kluwer Academic Publishers Group. С. xviii + 393. ISBN  978-0-7923-4390-5.
• Сиськи, Жак (1966). «Альтернативы Альжебра, алгебры Жордана и исключительные алгебры Ли» [Альтернативные алгебры, йордановы алгебры и исключительные алгебры Ли]. Indagationes Math. (На французском). 28: 223–237. МИСТЕР  0219578.
• Винберг, Э. (1966). «[Построение исключительных простых алгебр Ли]». Труды сем. Vekt. Тенз. Анальный. (на русском). 13: 7–9.
• Винберг, Э. (2005). «Построение исключительных простых алгебр Ли». Амер. Математика. Soc. Перевод. 213: 241–242.
• Йокота, Ичиро (1985). «Несимметрия магического квадрата Фрейденталя». J. Fac. Sci. Шиншу Унив. 20: 13–13.