Представление спина - Spin representation

В математика, то спиновые представления особенные проективные представления из ортогональный или же специальные ортогональные группы в произвольном измерение и подпись (т.е. включая неопределенные ортогональные группы ). Точнее они представления из спиновые группы, которые двойные обложки специальных ортогональных групп. Их обычно изучают настоящий или же сложные числа, но их можно определить поверх других поля.

Элементы спинового представления называются спиноры. Они играют важную роль в физический описание фермионы такой как электрон.

Спиновые представления могут быть построены несколькими способами, но обычно конструкция включает (возможно, только неявно) выбор максимального изотропное подпространство в векторном представлении группы. Для вещественных чисел это обычно требует использования комплексного представления векторного представления. По этой причине удобно сначала определить представления спина над комплексными числами и получить реальные представления путем введения реальные конструкции.

Свойства спиновых представлений тонким образом зависят от размерности и сигнатуры ортогональной группы. В частности, спиновые представления часто допускают инвариантный билинейные формы, который можно использовать для вставлять спиновые группы в классические группы Ли. В малых размерах эти вложения сюръективный и определить специальные изоморфизмы между спиновыми группами и более знакомыми группами Ли; это проясняет свойства спиноров в этих измерениях.

Настраивать

Позволять V быть конечномерный реальный или сложный векторное пространство с невырожденный квадратичная форма Q. (Реальный или сложный) линейные карты сохранение Q сформировать ортогональная группа O (V, Q). В компонент идентичности группы называется специальной ортогональной группой ТАК(V, Q). (За V вещественных с неопределенной квадратичной формой, эта терминология не является стандартной: специальная ортогональная группа обычно определяется как подгруппа с двумя компонентами в этом случае.) групповой изоморфизм, ТАК(V, Q) имеет уникальный связаны двойная крышка, спиновая группа Вращение(V, Q). Таким образом, существует групповой гомоморфизм час: Вращение(V, Q) → SO (V, Q) чей ядро имеет два элемента, обозначенных {1, −1}, куда 1 это элемент идентичности. Таким образом, элементы группы грамм и −g из Вращение(V, Q) эквивалентны после гомоморфизма ТАК(V, Q); то есть, час(грамм) = час(−g) для любого грамм в Вращение(V, Q).

Группы O (V, Q), ТАК(V, Q) и Вращение(V, Q) все Группы Ли, а для фиксированных (V, Q) у них то же самое Алгебра Ли, так(V, Q). Если V реально, тогда V является вещественным векторным подпространством своего комплексирование V_C = V ⊗_р C, а квадратичная форма Q естественно продолжается до квадратичной формы Q_C на V_C. Это встраивает ТАК(V, Q) как подгруппа из ТАК(V_C, Q_C), и, следовательно, мы можем понять Вращение(V, Q) как подгруппа Вращение(V_C, Q_C). Более того, так(V_C, Q_C) усложнение так(V, Q).

В комплексном случае квадратичные формы однозначно с точностью до изоморфизма определяются размерностью п из V. Конкретно мы можем предположить V = C^п и

${displaystyle Q(z_{1},ldots ,z_{n})=z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+cdots +z_{n}^{2}.}$

Соответствующие группы Ли обозначаются O (п, C), ТАК(п, C), Вращение(п, C) и их алгебру Ли как так(п, C).

В реальном случае квадратичные формы определяются с точностью до изоморфизма парой неотрицательных целых чисел (п, q) куда п = п + q это размер V, и п − q это подпись. Конкретно мы можем предположить V = р^п и

${displaystyle Q(x_{1},ldots ,x_{n})=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+cdots +x_{p}^{2}-(x_{p+1}^{2}+cdots +x_{p+q}^{2}).}$

Соответствующие группы Ли и алгебра Ли обозначаются O (п, q), ТАК(п, q), Вращение(п, q) и так(п, q). Мы пишем р^п,q на месте р^п сделать подпись явной.

Представления спина в некотором смысле являются простейшими представления из Вращение(п, C) и Вращение(п, q) которые не исходят из представлений ТАК(п, C) и ТАК(п, q). Следовательно, спиновое представление - это вещественное или комплексное векторное пространство. S вместе с гомоморфизмом групп ρ из Вращение(п, C) или же Вращение(п, q) к общая линейная группа GL (S) так что элемент −1 является нет в ядре ρ.

Если S является таким представлением, то согласно соотношению между группами Ли и алгебрами Ли оно индуцирует Представление алгебры Ли, т.е. Гомоморфизм алгебр Ли из так(п, C) или же так(п, q) к алгебре Ли gl(S) из эндоморфизмы из S с кронштейн коммутатора.

Представления спинов можно анализировать согласно следующей стратегии: если S реальное спиновое представление Вращение(п, q), то его комплексификация представляет собой комплексное спиновое представление Вращение(п, q); как представление так(п, q), поэтому он распространяется на сложное представление так(п, C). Таким образом, действуя в обратном порядке, мы первый построить комплексные спиновые представления Вращение(п, C) и так(п, C), то ограничим их комплексными спиновыми представлениями так(п, q) и Вращение(п, q), а затем, наконец, проанализируйте возможные редукции к реальным представлениям спина.

Сложные представления спина

Позволять V = C^п со стандартной квадратичной формой Q так что

${displaystyle {mathfrak {so}}(V,Q)={mathfrak {so}}(n,mathbb {C} ).}$

В симметричная билинейная форма на V связано с Q к поляризация обозначается ⟨.,.⟩.

Изотропные подпространства и корневые системы

Стандартная конструкция спиновых представлений так(п, C) начинается с выбора пары (W, W^∗)максимального полностью изотропные подпространства (относительно Q) из V с W ∩ W^∗ = 0. Сделаем такой выбор. Если п = 2м или же п = 2м + 1, тогда W и W^∗ оба имеют измерение м. Если п = 2м, тогда V = W ⊕ W^∗, тогда как если п = 2м + 1, тогда V = W ⊕ U ⊕ W^∗, куда U является одномерным ортогональным дополнением к W ⊕ W^∗. Билинейная форма ⟨.,.⟩ связано с Q вызывает спаривание между W и W^∗, который должен быть невырожденным, поскольку W и W^∗ являются вполне изотропными подпространствами и Q невырожденный. Следовательно W и W^∗ находятся двойные векторные пространства.

Более конкретно, пусть а₁, … а_м быть основой для W. Тогда есть уникальная основа α₁, ... α_м из W^∗ такой, что

${displaystyle langle alpha _{i},a_{j}angle =delta _{ij}.}$

Если А является м × м матрица, тогда А индуцирует эндоморфизм W относительно этой основы и транспонировать А^Т вызывает преобразование W^∗ с

${displaystyle langle Aw,w^{*}angle =langle w,A^{mathrm {T} }w^{*}angle }$

для всех ш в W и ш^∗ в W^∗. Отсюда следует, что эндоморфизм ρ_А из V, равно А на W, −А^Т на W^∗ и ноль на U (если п нечетное), перекос,

${displaystyle langle ho _{A}u,vangle =-langle u,ho _{A}vangle }$

для всех ты, v в V, а значит (см. классическая группа ) элемент так(п, C) ⊂ End (V).

Использование диагональных матриц в этой конструкции определяет Подалгебра Картана час из так(п, C): the классифицировать из так(п, C) является м, а диагональ п × п матрицы определяют м-мерная абелева подалгебра.

Позволять ε₁, … ε_м быть основой час^∗ такое, что для диагональной матрицы А, ε_k(ρ_А) это kй диагональный вход А. Ясно, что это основа для час^∗. Поскольку билинейная форма определяет так(п, C) с ${displaystyle wedge ^{2}V}$, явно

${displaystyle xwedge ymapsto varphi _{xwedge y},quad varphi _{xwedge y}(v)=2(langle y,vangle x-langle x,vangle y),quad xwedge yin wedge ^{2}V,quad x,y,vin V,quad varphi _{xwedge y}in {mathfrak {so}}(n,mathbb {C} ),}$^[1]

теперь легко построить корневая система связано с час. В корневые пространства (одновременные собственные подпространства для действия час) охватываются следующими элементами:

${displaystyle a_{i}wedge a_{j},;ieq j,}$ с корень (одновременное собственное значение) ${displaystyle varepsilon _{i}+varepsilon _{j}}$

${displaystyle a_{i}wedge alpha _{j}}$ (который в час если я = j) с корнем ${displaystyle varepsilon _{i}-varepsilon _{j}}$

${displaystyle alpha _{i}wedge alpha _{j},;ieq j,}$ с корнем ${displaystyle -varepsilon _{i}-varepsilon _{j},}$

и если п странно, и ты является ненулевым элементом U,

${displaystyle a_{i}wedge u,}$ с корнем ${displaystyle varepsilon _{i}}$

${displaystyle alpha _{i}wedge u,}$ с корнем ${displaystyle -varepsilon _{i}.}$

Таким образом, относительно базиса ε₁, … ε_м, корнями являются векторы из час^∗ которые являются перестановками

${displaystyle (pm 1,pm 1,0,0,dots ,0)}$

вместе с перестановками

${displaystyle (pm 1,0,0,dots ,0)}$

если п = 2м + 1 странно.

Система положительные корни дан кем-то ε_я + ε_j (я ≠ j), ε_я − ε_j (я < j) и для п странный) ε_я. Соответствующие простые корни находятся

${displaystyle varepsilon _{1}-varepsilon _{2},varepsilon _{2}-varepsilon _{3},ldots ,varepsilon _{m-1}-varepsilon _{m},left{{egin{matrix}varepsilon _{m-1}+varepsilon _{m}&n=2mvarepsilon _{m}&n=2m+1.end{matrix}}ight.}$

Положительные корни представляют собой целые неотрицательные линейные комбинации простых корней.

Представления спинов и их веса

Одна конструкция спиновых представлений так(п, C) использует внешняя алгебра (s)

${displaystyle S=wedge ^{ullet }W}$ и / или ${displaystyle S'=wedge ^{ullet }W^{*}.}$

Есть действие V на S так что для любого элемента v = ш + ш^∗ в W ⊕ W^∗ и любой ψ в S действие задается:

${displaystyle vcdot psi =2^{frac {1}{2}}(wwedge psi +iota (w^{*})psi ),}$

где второй член - сокращение (внутреннее умножение ), определенный с помощью билинейной формы, в которой W и W^∗. Это действие уважает Отношения Клиффорда v² = Q(v)1, а значит, индуцирует гомоморфизм из Алгебра Клиффорда Cl_пC из V к Конец(S). Аналогичное действие можно определить на S′, так что оба S и S′ находятся Модули Клиффорд.

Алгебра Ли так(п, C) изоморфна комплексифицированной алгебре Ли вращение_п^C в Cl_пC через отображение, индуцированное накрытием Вращение(п) → SO (п)

${displaystyle vwedge wmapsto { frac {1}{4}}[v,w].}$

Отсюда следует, что оба S и S′ являются представлениями так(п, C). Они на самом деле эквивалент представительства, поэтому мы делаем упор на S.

Подробное описание показывает, что элементы α_я ∧ а_я подалгебры Картана час действовать на S к

${displaystyle (alpha _{i}wedge a_{i})cdot psi ={ frac {1}{4}}(2^{ frac {1}{2}})^{2}(iota (alpha _{i})(a_{i}wedge psi )-a_{i}wedge (iota (alpha _{i})psi ))={ frac {1}{2}}psi -a_{i}wedge (iota (alpha _{i})psi ).}$

Основа для S задается элементами вида

${displaystyle a_{i_{1}}wedge a_{i_{2}}wedge cdots wedge a_{i_{k}}}$

за 0 ≤ k ≤ м и я₁ < ... < я_k. Эти явно охватывают весовые пространства за действие час: α_я ∧ а_я имеет собственное значение −1/2 на данном базисном векторе, если я = я_j для некоторых j, и имеет собственное значение 1/2 иначе.

Отсюда следует, что веса из S все возможные комбинации

${displaystyle {igl (}pm { frac {1}{2}},pm { frac {1}{2}},ldots pm { frac {1}{2}}{igr )}}$

и каждый весовое пространство одномерно. Элементы S называются Спиноры Дирака.

Когда п даже, S не является неприводимое представление: ${displaystyle S_{+}=wedge ^{mathrm {even} }W}$ и ${displaystyle S_{-}=wedge ^{mathrm {odd} }W}$ являются инвариантными подпространствами. Веса делятся на веса с четным числом знаков минус и веса с нечетным числом знаков минус. Обе S₊ и S₋ неприводимые представления размерности 2^м−1 чьи элементы называются Спиноры Вейля. Они также известны как представления хирального спина или представления полспина. Что касается положительной корневой системы, указанной выше, самые высокие веса из S₊ и S₋ находятся

${displaystyle {igl (}{ frac {1}{2}},{ frac {1}{2}},ldots { frac {1}{2}},{ frac {1}{2}}{igr )}}$ и ${displaystyle {igl (}{ frac {1}{2}},{ frac {1}{2}},ldots { frac {1}{2}},-{ frac {1}{2}}{igr )}}$

соответственно. Действие Клиффорда идентифицирует Cl_пC с концом (S) и даже подалгебра отождествляется с эндоморфизмами, сохраняющими S₊ и S₋. Другой Модуль Клиффорда S' является изоморфный к S в этом случае.

Когда п странно, S неприводимое представление так(п,C) размерности 2^м: действие Клиффорда единичного вектора ты ∈ U дан кем-то

${displaystyle ucdot psi =left{{egin{matrix}psi &{hbox{if }}psi in wedge ^{mathrm {even} }W-psi &{hbox{if }}psi in wedge ^{mathrm {odd} }Wend{matrix}}ight.}$

и так элементы так(п,C) формы ты∧ш или же ты∧ш^∗ не сохраняют четную и нечетную части внешней алгебры W. Самый высокий вес S является

${displaystyle {igl (}{ frac {1}{2}},{ frac {1}{2}},ldots { frac {1}{2}}{igr )}.}$

Действия Клиффорда неверны S: Cl_пC можно отождествить с End (S) ⊕ Конец (S'), куда ты действует с противоположным знаком на S′. Точнее, эти два представления связаны соотношением паритет инволюция α Cl_пC (также известный как главный автоморфизм), который является единицей на четной подалгебре, и за вычетом единицы на нечетной части Cl_пC. Другими словами, есть линейный изоморфизм из S к S′, Который определяет действие А в Cl_пC на S с действием α(А) на S′.

Билинейные формы

если λ это вес S, так это -λ. Следует, что S изоморфен двойное представительство S^∗.

Когда п = 2м + 1 нечетно, изоморфизм B: S → S^∗ уникален в масштабе Лемма Шура, поскольку S неприводима, и она определяет невырожденную инвариантную билинейную форму β на S через

${displaystyle eta (varphi ,psi )=B(varphi )(psi ).}$

Здесь инвариантность означает, что

${displaystyle eta (xi cdot varphi ,psi )+eta (varphi ,xi cdot psi )=0}$

для всех ξ в так(п,C) и φ, ψ в S - другими словами действие ξ перекос относительно β. На самом деле верно больше: S^∗ представляет собой представление противоположный Алгебра Клиффорда, и, следовательно, поскольку Cl_пC всего два нетривиальных простые модули S и S′, Связанный четной инволюцией α, существует антиавтоморфизм τ Cl_пC такой, что

${displaystyle quad eta (Acdot varphi ,psi )=eta (varphi , au (A)cdot psi )qquad (1)}$

для любого А в Cl_пC. Фактически τ является реверсией (антиавтоморфизм, индуцированный тождеством на V) за м четное и сопряжение (антиавтоморфизм, индуцированный минус тождеством на V) за м странный. Эти два антиавтоморфизма связаны четной инволюцией α, который является автоморфизмом, индуцированным минус тождеством на V. Оба удовлетворяют τ(ξ) = −ξ за ξ в так(п,C).

Когда п = 2м, ситуация более чувствительно зависит от четности м. За м даже, вес λ имеет четное количество знаков минус тогда и только тогда, когда -λ делает; следует, что существуют отдельные изоморфизмы B_±: S_± → S_±^∗ каждого полусинового представления с его двойником, каждое определяется однозначно с точностью до масштаба. Их можно объединить в изоморфизм B: S → S^∗. За м странный, λ это вес S₊ если и только если -λ это вес S₋; таким образом, существует изоморфизм от S₊ к S₋^∗, снова уникальный в своем масштабе, и его транспонировать обеспечивает изоморфизм от S₋ к S₊^∗. Их снова можно объединить в изоморфизм B: S → S^∗.

Для обоих м даже и м странно, свобода в выборе B может быть ограничен общим масштабом, настаивая на том, что билинейная форма β соответствующий B удовлетворяет (1), где τ - фиксированный антиавтоморфизм (либо реверсия, либо сопряжение).

Симметрия и тензорный квадрат

Свойства симметрии β: S ⊗ S → C может быть определено с помощью алгебр Клиффорда или теории представлений. На самом деле можно сказать гораздо больше: тензорный квадрат S ⊗ S должен разложиться на прямую сумму k-форма на V для различных k, потому что его веса - это все элементы в час^∗ компоненты которого принадлежат {−1,0,1}. Сейчас же эквивариантный линейные карты S ⊗ S → ∧^kV^∗ биективно соответствуют инвариантным отображениям ∧^kV ⊗ S ⊗ S → C и ненулевые такие отображения можно построить с помощью включения ∧^kV в алгебру Клиффорда. Кроме того, если β(φ,ψ) = ε β(ψ,φ) и τ имеет знак ε_k на ∧^kV тогда

${displaystyle eta (Acdot varphi ,psi )=varepsilon varepsilon _{k}eta (Acdot psi ,varphi )}$

за А в ∧^kV.

Если п = 2м+1 нечетно, то из леммы Шура следует, что

${displaystyle Sotimes Scong igoplus _{j=0}^{m}wedge ^{2j}V^{*}}$

(обе стороны имеют размер 2^2м и представления справа неэквивалентны). Поскольку симметрии регулируются инволюцией τ то есть либо сопряжение, либо реверсия, симметрия ∧^2jV^∗ компонент чередуется с j. Элементарная комбинаторика дает

${displaystyle sum _{j=0}^{m}(-1)^{j}dim wedge ^{2j}mathbb {C} ^{2m+1}=(-1)^{{frac {1}{2}}m(m+1)}2^{m}=(-1)^{{frac {1}{2}}m(m+1)}(dim mathrm {S} ^{2}S-dim wedge ^{2}S)}$

а знак определяет, какие представления входят в S²S и которые встречаются в ∧²S.^[2] Особенно

${displaystyle eta (phi ,psi )=(-1)^{{frac {1}{2}}m(m+1)}eta (psi ,phi ),}$ и

${displaystyle eta (vcdot phi ,psi )=(-1)^{m}(-1)^{{frac {1}{2}}m(m+1)}eta (vcdot psi ,phi )=(-1)^{m}eta (phi ,vcdot psi )}$

за v ∈ V (который изоморфен ∧^2мV), подтверждая, что τ это реверсия для м даже, и спряжение для м странный.

Если п = 2м четное, тогда анализ будет более сложным, но результатом будет более тонкая декомпозиция: S²S_±, ∧²S_± и S₊ ⊗ S₋ каждый может быть разложен как прямая сумма k-forms (где для k = м происходит дальнейшее разложение на самодвойственные и антисамодуальные м-формы).

Главный итог - реализация так(п,C) как подалгебру классической алгебры Ли на S, в зависимости от п по модулю 8, согласно следующей таблице:

п мод 8	0	1	2	3	4	5	6	7
Спинорная алгебра	${displaystyle {mathfrak {so}}(S_{+})oplus {mathfrak {so}}(S_{-})}$	${displaystyle {mathfrak {so}}(S)}$	${displaystyle {mathfrak {gl}}(S_{pm })}$	${displaystyle {mathfrak {sp}}(S)}$	${displaystyle {mathfrak {sp}}(S_{+})oplus {mathfrak {sp}}(S_{-})}$	${displaystyle {mathfrak {sp}}(S)}$	${displaystyle {mathfrak {gl}}(S_{pm })}$	${displaystyle {mathfrak {so}}(S)}$

За п ≤ 6, эти вложения являются изоморфизмами (на сл скорее, чем gl за п = 6):

${displaystyle {mathfrak {so}}(2,mathbb {C} )cong {mathfrak {gl}}(1,mathbb {C} )qquad (=mathbb {C} )}$

${displaystyle {mathfrak {so}}(3,mathbb {C} )cong {mathfrak {sp}}(2,mathbb {C} )qquad (={mathfrak {sl}}(2,mathbb {C} ))}$

${displaystyle {mathfrak {so}}(4,mathbb {C} )cong {mathfrak {sp}}(2,mathbb {C} )oplus {mathfrak {sp}}(2,mathbb {C} )}$

${displaystyle {mathfrak {so}}(5,mathbb {C} )cong {mathfrak {sp}}(4,mathbb {C} )}$

${displaystyle {mathfrak {so}}(6,mathbb {C} )cong {mathfrak {sl}}(4,mathbb {C} ).}$

Реальные представления

Комплексные спиновые представления так(п,C) дают реальные представления S из так(п,q), ограничив действие действительными подалгебрами. Однако есть дополнительные структуры «реальности», которые инвариантны относительно действия реальных алгебр Ли. Они бывают трех типов.

1. Существует инвариантное комплексное антилинейное отображение р: S → S с р² = id_S. Набор фиксированной точки р тогда является вещественным векторным подпространством S_р из S с S_р ⊗ C = S. Это называется реальная структура.
2. Существует инвариантное комплексное антилинейное отображение j: S → S с j² = −id_S. Отсюда следует, что тройка я, j и k:=ij делать S в кватернионное векторное пространство S_ЧАС. Это называется кватернионная структура.
3. Существует инвариантное комплексное антилинейное отображение б: S → S^∗ что обратимо. Это определяет псевдогермитову билинейную форму на S и называется эрмитская структура.

Тип структуры, инвариантный относительно так(п,q) зависит только от подписи п − q по модулю 8 и дается следующей таблицей.

п−q мод 8	0	1	2	3	4	5	6	7
Структура	р + р	р	C	ЧАС	ЧАС + ЧАС	ЧАС	C	р

Здесь р, C и ЧАС обозначают реальные, эрмитовые и кватернионные структуры соответственно, и р + р и ЧАС + ЧАС указывают на то, что представления половинного спина допускают реальную или кватернионную структуру соответственно.

Описание и таблицы

Чтобы завершить описание реального представления, мы должны описать, как эти структуры взаимодействуют с инвариантными билинейными формами. С п = п + q ≅ п − q mod 2, есть два случая: размер и сигнатура четные, а размер и сигнатура нечетные.

Нечетный случай проще, есть только одно сложное спиновое представление S, а эрмитовые структуры не встречаются. Помимо тривиального случая п = 1, S всегда четный, скажем тусклый S = 2N. Реальные формы так(2N,C) находятся так(K,L) с K + L = 2N и так^∗(N,ЧАС), а реальные формы зр(2N,C) находятся зр(2N,р) и зр(K,L) с K + L = N. Наличие действия Клиффорда V на S силы K = L в обоих случаях, если pq = 0, и в этом случае KL= 0, что обозначается просто так(2N) или же зр(N). Следовательно, представления нечетного спина можно обобщить в следующей таблице.

	п мод 8	1, 7	3, 5
п-q мод 8		так(2N,C)	зр(2N,C)
1, 7	р	так(N,N) или же так(2N)	зр(2N,р)
3, 5	ЧАС	так^∗(N,ЧАС)	зр(N/2,N/2)^† или же зр(N)

(†) N даже для п > 3 и для п = 3, это зр(1).

Четномерный случай аналогичен. За п > 2, комплексные полусиновые представления четномерны. Мы должны дополнительно заняться эрмитовыми структурами и настоящими формами сл(2N, C), которые сл(2N, р), вс(K, L) с K + L = 2N, и сл(N, ЧАС). Результирующие представления четного спина резюмируются следующим образом.

	п мод 8	0	2, 6	4
п-q мод 8		так(2N,C)+так(2N,C)	сл(2N,C)	зр(2N,C)+зр(2N,C)
0	р+р	так(N,N)+так(N,N)^∗	сл(2N,р)	зр(2N,р)+зр(2N,р)
2, 6	C	так(2N,C)	вс(N,N)	зр(2N,C)
4	ЧАС+ЧАС	так^∗(N,ЧАС)+так^∗(N,ЧАС)	сл(N,ЧАС)	зр(N/2,N/2)+зр(N/2,N/2)^†

(*) За pq = 0вместо этого у нас есть так(2N) + так(2N)

(†) N даже для п > 4 и для pq = 0 (который включает п = 4 с N = 1) вместо зр(N) + зр(N)

Изоморфизмы малой размерности в комплексном случае имеют следующие вещественные формы.

Евклидова подпись	Подпись Минковского	Другие подписи
${displaystyle {mathfrak {so}}(2)cong {mathfrak {u}}(1)}$	${displaystyle {mathfrak {so}}(1,1)cong mathbb {R} }$
${displaystyle {mathfrak {so}}(3)cong {mathfrak {sp}}(1)}$	${displaystyle {mathfrak {so}}(2,1)cong {mathfrak {sl}}(2,mathbb {R} )}$
${displaystyle {mathfrak {so}}(4)cong {mathfrak {sp}}(1)oplus {mathfrak {sp}}(1)}$	${displaystyle {mathfrak {so}}(3,1)cong {mathfrak {sl}}(2,mathbb {C} )}$	${displaystyle {mathfrak {so}}(2,2)cong {mathfrak {sl}}(2,mathbb {R} )oplus {mathfrak {sl}}(2,mathbb {R} )}$
${displaystyle {mathfrak {so}}(5)cong {mathfrak {sp}}(2)}$	${displaystyle {mathfrak {so}}(4,1)cong {mathfrak {sp}}(1,1)}$	${displaystyle {mathfrak {so}}(3,2)cong {mathfrak {sp}}(4,mathbb {R} )}$
${displaystyle {mathfrak {so}}(6)cong {mathfrak {su}}(4)}$	${displaystyle {mathfrak {so}}(5,1)cong {mathfrak {sl}}(2,mathbb {H} )}$	${displaystyle {mathfrak {so}}(4,2)cong {mathfrak {su}}(2,2)}$	${displaystyle {mathfrak {so}}(3,3)cong {mathfrak {sl}}(4,mathbb {R} )}$

Единственные специальные изоморфизмы вещественных алгебр Ли, отсутствующие в этой таблице, - это${displaystyle {mathfrak {so}}^{*}(3,mathbb {H} )cong {mathfrak {su}}(3,1)}$ и ${displaystyle {mathfrak {so}}^{*}(4,mathbb {H} )cong {mathfrak {so}}(6,2).}$

Примечания

1. Фултон и Харрис 1991 Глава 20, с.303. Фактор 2 не важен, он нужен для согласования с конструкцией алгебры Клиффорда.
2. Этот знак также можно определить из наблюдения, что если φ вектор старшего веса для S тогда φ⊗φ вектор старшего веса для ∧^мV ≅ ∧^м+1V, поэтому это слагаемое должно входить в S²S.

Рекомендации

• Брауэр, Ричард; Вейль, Германн (1935), «Спиноры в n измерениях», Американский журнал математики, Американский журнал математики, Vol. 57, №2, 57 (2): 425–449, Дои:10.2307/2371218, JSTOR  2371218.
• Картан, Эли (1966), Теория спиноров, Paris, Hermann (переиздано в 1981 г., Dover Publications), ISBN  978-0-486-64070-9.
• Шевалле, Клод (1954), Алгебраическая теория спиноров и алгебр Клиффорда, Columbia University Press (переиздано в 1996 г., Springer), ISBN  978-3-540-57063-9.
• Делинь, Пьер (1999), «Заметки о спинорах», у П. Делиня; П. Этингоф; Д. С. Фрид; Л. С. Джеффри; Д. Каждан; Дж. У. Морган; Д. Р. Моррисон; Э. Виттен (ред.), Квантовые поля и струны: курс математиков, Провиденс: Американское математическое общество, стр. 99–135.. Смотрите также сайт программы для предварительной версии.
• Фултон, Уильям; Харрис, Джо (1991), Теория представлений. Первый курс, Тексты для выпускников по математике, Чтения по математике, 129, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  0-387-97495-4, МИСТЕР  1153249.
• Харви, Ф. Риз (1990), Спиноры и калибровки, Academic Press, ISBN  978-0-12-329650-4.
• Лоусон, Х. Блейн; Мишельсон, Мария-Луиза (1989), Спиновая геометрия, Издательство Принстонского университета, ISBN  0-691-08542-0.
• Вейль, Герман (1946), Классические группы: их инварианты и представления (2-е изд.), Princeton University Press (переиздано в 1997 г.), ISBN  978-0-691-05756-9.