Гипотеза Гана – Гросса – Прасада - Gan–Gross–Prasad conjecture - Wikipedia

Гипотеза Гана – Гросса – Прасада

Поле	Теория представлений
Предполагается	Ган Ви Тек Бенедикт Гросс Дипендра Прасад
Предполагается в	2012

В математика, то Гипотеза Гана – Гросса – Прасада это ограничение проблема в теория представлений вещественных или p-адических групп Ли поставленный Ган Ви Тек, Бенедикт Гросс, и Дипендра Прасад.^[1] Проблема возникла из гипотезы Гросса и Прасада для специальные ортогональные группы но позже был обобщен, чтобы включить все четыре классические группы. В рассмотренных случаях известно, что кратность ограничений не более одного^[2][3][4]и гипотеза описывает, когда кратность в точности равна единице.

Мотивация

Показательным примером является следующая классическая проблема ветвления в теории компактные группы Ли. Позволять ${\displaystyle \pi }$ быть несводимый конечномерное представление компактного унитарная группа ${\displaystyle U(n)}$, и рассмотрим его ограничение на естественно вложенную подгруппу ${\displaystyle U(n-1)}$. Известно, что это ограничение не имеет кратностей, но можно спросить, какие именно неприводимые представления ${\displaystyle U(n-1)}$ возникают в ограничении.

Посредством Теория Картана – Вейля старших весов., существует классификация неприводимых представлений ${\displaystyle U(n)}$ через их самые высокие веса которые находятся в естественной биекции с последовательностями целых чисел ${\displaystyle {\underline {a}}=(a_{1}\leq a_{2}\leq \cdots \leq a_{n})}$.Теперь предположим, что ${\displaystyle \pi }$ имеет наибольший вес ${\displaystyle {\underline {a}}}$. Тогда неприводимое представление ${\displaystyle \tau }$ из ${\displaystyle U(n-1)}$ с наибольшим весом ${\displaystyle {\underline {b}}}$ происходит при ограничении ${\displaystyle \pi }$ к ${\displaystyle U(n-1)}$ (рассматривается как подгруппа ${\displaystyle U(n)}$) если и только если ${\displaystyle {\underline {a}}}$ и ${\displaystyle {\underline {b}}}$ переплетаются, т.е. ${\displaystyle a_{1}\leq b_{1}\leq a_{2}\leq b_{2}\leq \cdots \leq b_{n-1}\leq a_{n}}$.^[5]

Затем гипотеза Гана – Гросса – Прасада рассматривает аналогичную проблему ограничения для других классических групп.^[6]

Заявление

Гипотеза имеет несколько разные формы для разных классических групп. Формулировка для общие унитарные группы как следует.

Настраивать

Позволять ${\displaystyle V}$ - конечномерное векторное пространство над полем ${\displaystyle k}$ не из характеристика ${\displaystyle 2}$ снабженный невырожденным полуторалинейная форма то есть ${\displaystyle \varepsilon }$-симметричный (т.е. ${\displaystyle \varepsilon =1}$ если форма симметричный и ${\displaystyle \varepsilon =-1}$ если форма кососимметрична. Позволять ${\displaystyle W}$ - невырожденное подпространство в ${\displaystyle V}$ такой, что ${\displaystyle V=W\oplus W^{\perp }}$ измерения ${\displaystyle (\varepsilon +1)/2}$. Тогда пусть ${\displaystyle G=G(V)\times G(W)}$, куда ${\displaystyle G(V)}$ - унитарная группа, сохраняющая форму на ${\displaystyle V}$, и разреши ${\displaystyle H=\Delta G(W)}$ быть диагональная подгруппа из ${\displaystyle G(W)}$.

Позволять ${\displaystyle \pi =\pi _{1}\boxtimes \pi _{2}}$ неприводимое гладкое представление ${\displaystyle G}$ и разреши ${\displaystyle \nu }$ быть либо тривиальное представление («дело Бесселя») или Представительство Вейля («случай Фурье – Якоби»). ${\displaystyle \varphi =\varphi _{1}\times \varphi _{2}}$ быть универсальным L-параметр за ${\displaystyle G=G(V)\times G(W)}$, и разреши ${\displaystyle \Pi _{\varphi }}$ - ассоциированный L-пакет Вогана.

Локальная гипотеза Гана – Гросса – Прасада

Если ${\displaystyle \varphi }$ является локальным L-параметром для ${\displaystyle G}$, тогда

${\displaystyle \sum _{{\text{relevant }}\pi \in \Pi _{\varphi }}\dim \operatorname {Hom} _{H}(\pi \otimes {\overline {\nu }},\mathbb {C} )=1.}$

Сдача ${\displaystyle \eta _{\mathrm {GP} }}$ быть «выдающимся персонажем», определенным в терминах Локальная постоянная Ленглендса – Делиня, то кроме того

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{H}(\pi (\varphi ,\eta )\otimes {\overline {\nu }},\mathbb {C} )\neq 0{\text{ if and only if }}\eta =\eta _{\mathrm {GP} }.}$

Глобальная гипотеза Гана – Гросса – Прасада

Для квадратичного расширения поля ${\displaystyle E/F}$, позволять ${\displaystyle L_{E}(s,\pi _{1}\times \pi _{2}):=L_{E}(s,\pi _{1}\boxtimes \pi _{2},\mathrm {std} _{n}\boxtimes \mathrm {std} _{n-1})}$ куда ${\displaystyle L_{E}}$ - глобальная L-функция, полученная как произведение локальных L-факторов, заданных местные гипотезы Ленглендса Гипотеза утверждает, что следующие утверждения эквивалентны:

1. Интервал периода ${\displaystyle P_{H}}$ отличен от нуля при ограничении ${\displaystyle \pi }$.
2. Для всех мест ${\displaystyle v}$, локальное пространство Hom ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{H(F_{v})}(\pi _{v},\nu _{v})\neq 0}$ и ${\displaystyle L_{E}(1/2,\pi _{1}\times \pi _{2})\neq 0}$.

Текущее состояние

Локальная гипотеза Гана – Гросса – Прасада

В серии из четырех статей с 2010 по 2012 гг. Жан-Лу Вальдспургер доказал локальную гипотезу Гана – Гросса – Прасада для закаленные представления специальных ортогональных групп над p-адические поля.^{[7][8][9][10]} В 2012, Колетт Моэглин а затем Вальдспургер доказал локальную гипотезу Гана – Гросса – Прасада для типичных не темперированных представлений специальных ортогональных групп над p-адическими полями.^[11]

В своей диссертации 2013 года Рафаэль Бойзарт-Плесси доказал локальную гипотезу Гана – Гросса – Прасада для умеренных представлений унитарных групп в p-адическом эрмитовом случае при тех же гипотезах, которые необходимы для установления локальная гипотеза Ленглендса.^[12]

Хоню Хэ доказал гипотезы Гана-Гросса-Прасада для представлений вещественной унитарной группы U (p, q) в виде дискретной серии.^[13]

Глобальная гипотеза Гана – Гросса – Прасада

В серии статей между 2004 и 2009 гг. Давид Гинзбург, Дихуа Цзян, и Стивен Раллис показал, что (1) влечет (2) направление глобальной гипотезы Гана – Гросса – Прасада для всех квазирадельных классических групп.^[14][15][16]

В случае Бесселя глобальной гипотезы Гана – Гросса – Прасада для унитарных групп Вэй Чжан использовал теорию формула относительного следа к Эрве Жаке и работа над основной леммой Чживэй Юнь чтобы доказать, что гипотеза верна, при определенных местных условиях в 2014 г.^[17]

В случае Фурье – Якоби глобальной гипотезы Гана – Гросса – Прасада для унитарных групп Ифэн Лю и Ханг Сюэ показал, что эта гипотеза верна в косоэрмитовом случае при определенных локальных условиях.^[18][19]

В случае Бесселя глобальной гипотезы Гана – Гросса – Прасада для специальных ортогональных групп и унитарных групп Дихуа Цзян и Лей Чжан использовал теорию скрученных автоморфных спусков, чтобы доказать, что (1) влечет (2) в его полной общности, т. е. для любого неприводимого каспидального автоморфного представления с общим глобальным параметром Артура, и что (2) влечет (1) с учетом некое глобальное предположение.^[20]

Рекомендации

1. Ган, Ви Тек; Gross, Benedict H .; Прасад, Дипендра (2012), "Симплектические локальные корневые числа, центральные критические L-значения и проблемы ограничений в теории представлений классических групп", Astérisque, 346: 1–109, ISBN  978-2-85629-348-5, МИСТЕР  3202556
2. Айзенбуд, Авраам; Гуревич, Дмитрий; Раллис, Стивен; Schiffmann, Gérard (2010), "Теоремы об единице кратности", Анналы математики, 172 (2): 1407–1434, arXiv:0709.4215, Дои:10.4007 / анналы.2010.172.1413, МИСТЕР  2680495
3. Sun, Binyong (2012), "Теоремы об единице кратности для моделей Фурье – Якоби", Американский журнал математики, 134 (6): 1655–1678, arXiv:0903.1417, Дои:10.1353 / ajm.2012.0044
4. Солнце, Биньонг; Чжу, Чен-Бо (2012), "Теоремы об единице кратности: Архимедов случай", Анналы математики, 175 (1): 23–44, Дои:10.4007 / анналы.2012.175.1.2, МИСТЕР  2874638
5. Вейль, Германн (1946), Классические группы, Princeton University Press
6. Ган, Ви Тек (2014), «Недавний прогресс в отношении гипотезы Гросса-Прасада», Acta Mathematica Vietnamica, 39 (1): 11–33, Дои:10.1007 / s40306-014-0047-2, ISSN  2315-4144
7. Вальдспургер, Жан-Лу (2012), "Une Formule intégrale reliée à la conjecture locale de Gross-Prasad.", Compositio Mathematica, 146: 1180–1290
8. Waldspurger, Жан-Лу (2012), "Une Formule intégrale reliée à la conjecture locale de Gross-Prasad, 2ème partie: extension aux représentations tempérées.", Astérisque, 347: 171–311
9. Вальдспургер, Жан-Лу (2012 г.), «Локальная гипотеза Гросс-Прасада для временных представлений ортогональных групп», Astérisque, 347: 103–166
10. Waldspurger, Жан-Лу (2012), «Calcul d'une valeur d'un facteur epsilon par une formule intégrale.», Astérisque, 347
11. Моэглин, Колетт; Вальдспургер, Жан-Лу (2012 г.), «La conjecture locale de Gross-Prasad pour les groupes spéciaux orthogonaux: le cas général», Astérisque, 347
12. Beuzart-Plessis, Raphaël (2012), "La conjecture locale de Gross-Prasad pour les représentations tempérées des groupes unitaires", Кандидатская диссертация
13. Хе, Хунъюй (2017), «О гипотезах Ган-Гросса-Прасада для U (p, q)», Изобретать. Математика., 209 (3): 837–884, arXiv:1508.02032, Дои:10.1007 / s00222-017-0720-х
14. Гинзбург, Давид; Цзян, Дихуа; Раллис, Стивен (2004), "О ненулевом центральном значении L-функций Ранкина – Сельберга", Журнал Американского математического общества, 17 (3): 679–722
15. Гинзбург, Давид; Цзян, Дихуа; Раллис, Стивен (2005), "О ненулевом центральном значении L-функций Ранкина – Сельберга, II.", Автоморфные представления, L-функции и приложения: достижения и перспективы, Берлин: Университет штата Огайо. Математика. Res. Inst. Publ. 11, de Gruyter: 157–191
16. Гинзбург, Давид; Цзян, Дихуа; Раллис, Стивен (2009), "Модели для некоторых остаточных представлений унитарных групп. Автоморфные формы и L-функции I.", Глобальные аспекты, Провиденс, Род-Айленд: Contemp. Матем., 488, амер. Математика. Соц .: 125–146
17. Чжан, Вэй (2014), "Преобразование Фурье и глобальная гипотеза Гана – Гросса – Прасада для унитарных групп.", Анналы математики, 180 (3): 971–1049, Дои:10.4007 / анналы.2012.175.1.2, МИСТЕР  2874638
18. Лю, Ифэн (2014), "Формулы относительного следа к периодам Бесселя и Фурье – Якоби унитарных групп.", Manuscripta Mathematica, 145 (1–2): 1–69, arXiv:1012.4538, Дои:10.1007 / s00229-014-0666-x
19. Сюэ, Ханг (2014), "Гипотеза Гана – Гросса – Прасада для U (n) × U (n).", Успехи в математике, 262: 1130–1191, Дои:10.1016 / j.aim.2014.06.010, МИСТЕР  3228451
20. Цзян, Дихуа; Чжан, Лэй (2020), "Параметры Артура и каспидальные автоморфные модули классических групп.", Анналы математики, 191 (3): 739–827, arXiv:1508.03205, Дои:10.4007 / летопись.2020.191.3.2