Ограниченное представительство - Restricted representation

В теория групп, ограничение образует представление из подгруппа используя известное представление всего группа. Ограничение - фундаментальная конструкция теории представлений групп. Часто ограниченное представление проще понять. Правила разложения ограничения неприводимое представление в неприводимые представления подгруппы называются правилами ветвления и имеют важные приложения в физика. Например, в случае явное нарушение симметрии, то группа симметрии задачи сводится от всей группы к одной из ее подгрупп. В квантовая механика, это снижение симметрии проявляется как расщепление вырожденные уровни энергии в мультиплеты, как в Старк или же Эффект Зеемана.

В индуцированное представление является связанной операцией, которая формирует представление всей группы из представления подгруппы. Связь между ограничением и индукцией описывается следующим образом: Взаимность Фробениуса и теорема Макки. Ограничение на нормальная подгруппа ведет себя особенно хорошо и часто называется Теория Клиффорда по теореме А. Х. Клиффорда.^[1] Ограничение можно распространить на другие групповые гомоморфизмы и другим кольца.

Для любой группы грамм, это подгруппа ЧАС, а линейное представление ρ из грамм, ограничение ρ к ЧАС, обозначенный

${\displaystyle \rho \,{\Big |}_{H}}$

представляет собой представление ЧАС на том же векторное пространство теми же операторами:

${\displaystyle \rho \,{\Big |}_{H}(h)=\rho (h).}$

Классические правила ветвления

Классические правила ветвления описывают ограничение неприводимого комплексного представления (π, V) из классическая группа грамм классической подгруппе ЧАС, т.е. кратность, с которой неприводимое представление (σ, W) из ЧАС происходит вπ. По взаимности Фробениуса компактные группы, это эквивалентно нахождению кратности π в унитарное представление индуцировано из σ. Правила ветвления для классических групп определялись

• Вейль (1946) между последовательными унитарные группы;
• Мурнаган (1938) между последовательными специальные ортогональные группы и унитарные симплектические группы;
• Литтлвуд (1950) от унитарных групп к унитарным симплектическим группам и специальным ортогональным группам.

Результаты обычно выражаются графически с помощью Диаграммы Юнга для кодирования сигнатур, используемых классически для обозначения несократимых представлений, знакомых по классическая теория инвариантов. Герман Вейль и Ричард Брауэр открыл систематический метод определения правила ветвления, когда группы грамм и ЧАС разделять общий максимальный тор: в этом случае Группа Вейля из ЧАС является подгруппой группы грамм, так что правило можно вывести из Формула характера Вейля.^[2][3] Систематическая современная интерпретация дана Хау (1995) в контексте его теории двойные пары. Частный случай, когда σ - тривиальное представление ЧАС впервые широко использовался Хуа в своей работе над Ядра Szeg из ограниченные симметричные области в несколько сложных переменных, где Шиловский рубеж имеет форму грамм/ЧАС.^[4][5] В более общем плане Теорема Картана-Хельгасона дает разложение, когда грамм/ЧАС компактное симметричное пространство, и в этом случае все кратности равны единице;^[6] обобщение на произвольное σ с тех пор было получено Костант (2004). Подобные геометрические соображения также использовались Кнапп (2005) Ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFKnapp2005 (помощь) пересмотреть правила Литтлвуда, в которых участвуют знаменитые Правила Литтлвуда – Ричардсона для тензорных неприводимых представлений унитарных групп.Литтельманн (1995) нашел обобщения этих правил на произвольные компактные полупростые группы Ли, используя модель пути, подход к теории представлений близкий по духу теории кристаллические основы из Люстиг и Кашивара. Его методы дают правила ветвления для ограничений на подгруппы, содержащие максимальный тор. Изучение правил ветвления важно в классической теории инвариантов и ее современном аналоге, алгебраическая комбинаторика.^[7][8]

Пример. Унитарная группа U(N) имеет неприводимые представления, помеченные сигнатурами

${\displaystyle \mathbf {f} \,\colon \,f_{1}\geq f_{2}\geq \cdots \geq f_{N}}$

где ж_я целые числа. Фактически, если унитарная матрица U имеет собственные значения z_я, то характер соответствующего неприводимого представления π_ж дан кем-то

${\displaystyle \operatorname {Tr} \pi _{\mathbf {f} }(U)={\det z_{j}^{f_{i}+N-i} \over \prod _{i<j}(z_{i}-z_{j})}.}$

Правило ветвления от U(N) к U(N - 1) утверждает, что

${\displaystyle \pi _{\mathbf {f} }|_{U(N-1)}=\bigoplus _{f_{1}\geq g_{1}\geq f_{2}\geq g_{2}\geq \cdots \geq f_{N-1}\geq g_{N-1}\geq f_{N}}\pi _{\mathbf {g} }}$

Пример. Унитарная симплектическая группа или кватернионная унитарная группа, обозначим Sp (N) или же U(N, ЧАС), - группа всех преобразованийЧАС^N которые коммутируют с правым умножением на кватернионы ЧАС и сохранить ЧАС-значный эрмитский внутренний продукт

${\displaystyle (q_{1},\ldots ,q_{N})\cdot (r_{1},\ldots ,r_{N})=\sum r_{i}^{*}q_{i}}$

на ЧАС^N, куда q* обозначает кватернион, сопряженный с q. Реализуя кватернионы как комплексные матрицы 2 x 2, группа Sp (N) - это просто группа блочные матрицы (q_ij) в SU (2N) с

${\displaystyle q_{ij}={\begin{pmatrix}\alpha _{ij}&\beta _{ij}\\-{\overline {\beta }}_{ij}&{\overline {\alpha }}_{ij}\end{pmatrix}},}$

куда α_ij и β_ij находятся сложные числа.

Каждая матрица U в Sp (N) сопряжена блочно-диагональной матрице с элементами

${\displaystyle q_{i}={\begin{pmatrix}z_{i}&0\\0&{\overline {z}}_{i}\end{pmatrix}},}$

где |z_я| = 1. Таким образом, собственные значения U находятся (z_я^±1). Неприводимые представления Sp (N) помечены подписями

${\displaystyle \mathbf {f} \,\colon \,f_{1}\geq f_{2}\geq \cdots \geq f_{N}\geq 0}$

где ж_я целые числа. Характер соответствующего неприводимого представления σ_ж дан кем-то^[9]

${\displaystyle \operatorname {Tr} \sigma _{\mathbf {f} }(U)={\det z_{j}^{f_{i}+N-i+1}-z_{j}^{-f_{i}-N+i-1} \over \prod (z_{i}-z_{i}^{-1})\cdot \prod _{i<j}(z_{i}+z_{i}^{-1}-z_{j}-z_{j}^{-1})}.}$

Правило ветвления от Sp (N) в Sp (N - 1) утверждает, что^[10]

${\displaystyle \sigma _{\mathbf {f} }|_{\mathrm {Sp} (N-1)}=\bigoplus _{f_{i}\geq g_{i}\geq f_{i+2}}m(\mathbf {f} ,\mathbf {g} )\sigma _{\mathbf {g} }}$

Здесь ж_{N + 1} = 0 и множественность м(ж, грамм) дан кем-то

${\displaystyle m(\mathbf {f} ,\mathbf {g} )=\prod _{i=1}^{N}(a_{i}-b_{i}+1)}$

куда

${\displaystyle a_{1}\geq b_{1}\geq a_{2}\geq b_{2}\geq \cdots \geq a_{N}\geq b_{N}=0}$

является невозрастающей перестановкой 2N неотрицательные целые числа (ж_я), (грамм_j) и 0.

Пример. Ответвление от U (2N) в Sp (N) опирается на два тождества Littlewood:^{[11][12][13][14]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{f_{1}\geq f_{2}\geq f_{N}\geq 0}\operatorname {Tr} \Pi _{\mathbf {f} ,0}(z_{1},z_{1}^{-1},\ldots ,z_{N},z_{N}^{-1})\cdot \operatorname {Tr} \pi _{\mathbf {f} }(t_{1},\ldots ,t_{N})\\[5pt]={}&\sum _{f_{1}\geq f_{2}\geq f_{N}\geq 0}\operatorname {Tr} \sigma _{\mathbf {f} }(z_{1},\ldots ,z_{N})\cdot \operatorname {Tr} \pi _{\mathbf {f} }(t_{1},\ldots ,t_{N})\cdot \prod _{i<j}(1-z_{i}z_{j})^{-1},\end{aligned}}}$

где Π_ж,0 неприводимое представление U(2N) с подписью ж₁ ≥ ··· ≥ ж_N ≥ 0 ≥ ··· ≥ 0.

${\displaystyle \prod _{i<j}(1-z_{i}z_{j})^{-1}=\sum _{f_{2i-1}=f_{2i}}\operatorname {Tr} \pi _{f}(z_{1},\ldots ,z_{N}),}$

куда ж_я ≥ 0.

Правило ветвления от U (2N) в Sp (N) дан кем-то

${\displaystyle \Pi _{\mathbf {f} ,0}|_{\mathrm {Sp} (N)}=\bigoplus _{\mathbf {h} ,\,\,\mathbf {g} ,\,\,g_{2i-1}=g_{2i}}M(\mathbf {g} ,\mathbf {h} ;\mathbf {f} )\sigma _{\mathbf {h} }}$

где все сигнатуры неотрицательны, а коэффициент M (грамм, час; k) - кратность неприводимого представления π_k из U(N) в тензорном произведении π_грамм ${\displaystyle \otimes }$ π_час. Комбинаторно оно задается правилом Литтлвуда – Ричардсона, количество перестановок решетки наклонная диаграмма k/час веса грамм.^[8]

Существует расширение правила ветвления Литтельвуда на произвольные подписи из-за Сундарам (1990, п. 203). Коэффициенты Литтлвуда – Ричардсона M (грамм, час; ж) расширены, чтобы позволить подпись ж иметь 2N части, но ограничивающие грамм иметь четную длину столбца (грамм_{2я – 1} = грамм_2я). В этом случае формула имеет вид

${\displaystyle \Pi _{\mathbf {f} }|_{\operatorname {Sp} (N)}=\bigoplus _{\mathbf {h} ,\,\,\mathbf {g} ,\,\,g_{2i-1}=g_{2i}}M_{N}(\mathbf {g} ,\mathbf {h} ;\mathbf {f} )\sigma _{\mathbf {h} }}$

куда M_N (грамм, час; ж) подсчитывает количество перестановок решетки ж/час веса грамм засчитываются, для которых 2j +1 появляется не ниже строки N + j из ж для 1 ≤ j ≤ |грамм|/2.

Пример. Специальная ортогональная группа SO (N) имеет неприводимые обыкновенные и спиновые представления помечены подписями^{[2][7][15][16]}

• ${\displaystyle f_{1}\geq f_{2}\geq \cdots \geq f_{n-1}\geq |f_{n}|}$ за N = 2п;
• ${\displaystyle f_{1}\geq f_{2}\geq \cdots \geq f_{n}\geq 0}$ за N = 2п+1.

В ж_я взяты в Z для обычных представлений и в ½ + Z для спиновых представлений. Фактически, если ортогональная матрица U имеет собственные значения z_я^±1 для 1 ≤ я ≤ п, то характер соответствующего неприводимого представления π_ж дан кем-то

${\displaystyle \operatorname {Tr} \,\pi _{\mathbf {f} }(U)={\det(z_{j}^{f_{i}+n-i}+z_{j}^{-f_{i}-n+i}) \over \prod _{i<j}(z_{i}+z_{i}^{-1}-z_{j}-z_{j}^{-1})}}$

за N = 2п и по

${\displaystyle \operatorname {Tr} \pi _{\mathbf {f} }(U)={\det(z_{j}^{f_{i}+1/2+n-i}-z_{j}^{-f_{i}-1/2-n+i}) \over \prod _{i<j}(z_{i}+z_{i}^{-1}-z_{j}-z_{j}^{-1})\cdot \prod _{k}(z_{k}^{1/2}-z_{k}^{-1/2})}}$

за N = 2п+1.

Правила ветвления от SO (N) в SO (N - 1) утверждают, что^[17]

${\displaystyle \pi _{\mathbf {f} }|_{SO(2n)}=\bigoplus _{f_{1}\geq g_{1}\geq f_{2}\geq g_{2}\geq \cdots \geq f_{n-1}\geq g_{n-1}\geq f_{n}\geq |g_{n}|}\pi _{\mathbf {g} }}$

за N = 2п + 1 и

${\displaystyle \pi _{\mathbf {f} }|_{SO(2n-1)}=\bigoplus _{f_{1}\geq g_{1}\geq f_{2}\geq g_{2}\geq \cdots \geq f_{n-1}\geq g_{n-1}\geq |f_{n}|}\pi _{\mathbf {g} }}$

за N = 2п, где различия ж_я − грамм_я должны быть целыми числами.

Базис Гельфанда – Цетлина

Смотрите также: Интегрируемая система Гельфанда – Цетлина.

Поскольку правила ветвления от U(N) в U (N - 1) или SO (N) в SO (N - 1) имеют кратность 1, неприводимые слагаемые соответствуют все меньшим и меньшим N в конечном итоге оканчивается одномерными подпространствами. Таким образом Гельфанд и Цетлину удалось получить базис любого неприводимого представления U (N) или так(N), помеченный цепочкой перемежающихся подписей, называемой Паттерн Гельфанда – Цетлина.Явные формулы действия алгебры Ли на Базис Гельфанда – Цетлина даны в Желобенко (1973).

Для оставшейся классической группы Sp (N) ветвление перестает быть свободным от кратностей, так что если V и W являются неприводимым представлением Sp (N - 1) и Sp (N) пространство сплетников Hom_{Sp (N – 1)}(V,W) может иметь размерность больше единицы. Оказывается, Янгиан Y(${\displaystyle {\mathfrak {gl}}}$₂), а Алгебра Хопфа представлен Людвиг Фаддеев и соавторы, действует неприводимо на этом пространстве кратностей, что позволило Молев (2006) распространить конструкцию базисов Гельфанда – Цетлина на Sp (N).^[18]

Теорема Клиффорда

Основная статья: Теория Клиффорда

В 1937 г. Альфред Х. Клиффорд доказал следующий результат об ограничении конечномерных неприводимых представлений из группы грамм к нормальной подгруппе N конечных индекс:^[19]

Теорема. Позволять π: грамм ${\displaystyle \rightarrow }$ GL (п,K) - неприводимое представление с K а поле. Тогда ограничение π к N распадается на прямую сумму неэквивалентных неприводимых представлений N равных размеров. Эти неприводимые представления N лежат на одной орбите для действия грамм сопряжением на классах эквивалентности неприводимых представлений N. В частности, количество различных слагаемых не превышает индекса N вграмм.

Двадцать лет спустя Джордж Макки нашел более точную версию этого результата для ограничения неприводимых унитарные представления из локально компактные группы в замкнутые нормальные подгруппы в том, что стало известно как «машина Макки» или «анализ нормальных подгрупп Макки».^[20]

Абстрактная алгебраическая постановка

Основная статья: Взаимность Фробениуса

С точки зрения теория категорий, ограничение является экземпляром забывчивый функтор. Этот функтор точный, и это левый сопряженный функтор называется индукция. Связь между ограничением и индукцией в различных контекстах называется взаимностью Фробениуса. Взятые вместе, операции индукции и ограничения образуют мощный набор инструментов для анализа представлений. Это особенно верно, когда представления обладают свойством полная сводимость, например, в теория представлений конечных групп через поле из характеристика ноль.

Обобщения

Эта довольно очевидная конструкция может быть расширена многими и значительными способами. Например, мы можем взять любой гомоморфизм группы φ из ЧАС к грамм, вместо карта включения, и определим ограниченное представление ЧАС по составу

${\displaystyle \rho \circ \varphi \,}$

Мы также можем применить эту идею к другим категориям в абстрактная алгебра: ассоциативные алгебры, кольца, Алгебры Ли, Супералгебры Ли, Алгебры Хопфа и многие другие. Представления или модули ограничивать к подобъектам или через гомоморфизмы.

Примечания

1. Вейль 1946 С. 159–160.
2. Вейль 1946
3. Челобенко 1963 ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFŽelobenko1963 (помощь)
4. Хелгасон 1978
5. Хуа 1963
6. Хельгасон 1984, стр. 534–543
7. Гудман и Уоллах 1998
8. Макдональд 1979
9. Вейль 1946, п. 218
10. Гудман и Уоллах 1998, стр. 351–352, 365–370
11. Литтлвуд 1950
12. Вейль 1946, стр. 216–222
13. Коике и Терада 1987
14. Макдональд 1979, п. 46
15. Литтельвуд 1950, стр. 223–263 ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFLittelwood1950 (помощь)
16. Мурнаган 1938
17. Гудман и Уоллах, п. 351 Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFGoodmanWallach (помощь)
18. Г. И. Ольшанский показал, что искривленный янгиан ${\displaystyle Y^{-}({\mathfrak {gl}}_{2})}$, алгебра субхопфа ${\displaystyle Y({\mathfrak {gl}}_{2})}$, естественно действует на пространстве сплетников. Его естественные неприводимые представления соответствуют тензорным произведениям композиции точечных оценок с неприводимыми представлениями ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}}$₂. Они распространяются на янгиан ${\displaystyle Y({\mathfrak {gl}})}$ и дать теоретическое объяснение формы произведения коэффициентов ветвления.
19. Вейль 1946, стр. 159–160, 311
20. Макки, Джордж У. (1976), Теория представлений унитарных групп, Чикагские лекции по математике, ISBN  978-0-226-50052-2

Рекомендации

• Гудман, Роу; Уоллах, Нолан (1998), Представления и инварианты классических групп., Энциклопедия математики. Appl., 68, Издательство Кембриджского университета
• Хельгасон, Сигурдур (1978), Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства, Academic Press
• Хельгасон, Сигурдур (1984), Группы и геометрический анализ: интегральная геометрия, инвариантные дифференциальные операторы и сферические функции, Чистая и прикладная математика, 113, Academic Press, ISBN  978-0-12-338301-3
• Хау, Роджер (1995), Перспективы теории инвариантов, лекции Шура, 1992, Израиль Math. Конф. Proc., 8, Американское математическое общество, стр. 1–182.
• Хау, Роджер; Тан, Энг-Чи; Вилленбринг, Джеб Ф. (2005), "Стабильные правила ветвления для классических симметрических пар", Пер. Амер. Математика. Soc., 357 (4): 1601–1626, Дои:10.1090 / S0002-9947-04-03722-5
• Хуа, Л. (1963), Гармонический анализ функций многих комплексных переменных в классических областях, Американское математическое общество
• Кнапп, Энтони В. (2003), «Геометрические интерпретации двух теорем Д. Э. Литтлвуда о ветвлении», Журнал алгебры, 270 (2): 728–754, Дои:10.1016 / j.jalgebra.2002.11.001
• Коике, Кадзухико; Терада, Итару (1987), "Диаграмматические методы Юнга для теории представлений классических групп типа B"._п, С_п, D_п", Журнал алгебры, 107 (2): 466–511, Дои:10.1016/0021-8693(87)90099-8
• Костант, Бетрам (2004), Закон ветвления для подгрупп, фиксируемых инволюцией, и некомпактный аналог теоремы Бореля-Вейля, Прогр. Математика, 220, Birkhäuser, стр. 291–353, arXiv:math.RT / 0205283, Bibcode:2002математика ...... 5283K
• Литтельманн, Питер (1995), "Пути и корневые операторы в теории представлений", Анналы математики, 142 (3): 499–525, Дои:10.2307/2118553, JSTOR  2118553
• Литтлвуд, Дадли Э. (1950), "Теория характеров групп и матричные представления групп", Природа, 146 (3709): 699, Bibcode:1940Натура.146..699H, Дои:10.1038 / 146699a0
• Макдональд, Ян Г. (1979), Симметричные функции и многочлены Холла, Oxford University Press
• Молев, А.И. (1999), "Базис для представлений симплектических алгебр Ли", Comm. Математика. Phys., 201 (3): 591–618, arXiv:математика / 9804127, Bibcode:1999CMaPh.201..591M, Дои:10.1007 / s002200050570
• Молев, А.И. (2006), "Базисы Гельфанда-Цетлина для классических алгебр Ли", В «Справочнике по алгебре», т. 4, (М. Hazewinkel, Ed.), Elsevier, Pp. 109-170, Справочник по алгебре, Elsevier, 4: 109–170, arXiv:математика / 0211289, Bibcode:2002математика ..... 11289M, ISBN  978-0-444-52213-9
• Мурнаган, Фрэнсис Д. (1938), Теория представлений групп, Johns Hopkins Press
• Слански, Ричард (1981), "Теория групп для построения единой модели", Отчеты по физике, 79 (1): 1–128, Bibcode:1981ФР .... 79 .... 1С, CiteSeerX  10.1.1.126.1581, Дои:10.1016/0370-1573(81)90092-2 доступно онлайн
• Сундарам, Шейла (1990), "Таблицы в теории представлений классических групп Ли", Институт математики и ее приложений, IMA Vol. Математика. Appl., 19: 191–225, Bibcode:1990IMA .... 19..191S
• Вейль, Германн (1946), Классические группы, Princeton University Press
• Желобенко, Д. П. (1973), Компактные группы Ли и их представления, Переводы математических монографий, 40, Американское математическое общество