Калибровочная группа (математика) - Gauge group (mathematics)

А группа датчиков это группа калибровочные симметрии из Калибровочная теория Янга - Миллса из основные связи на основной пакет. Учитывая основной пучок ${\displaystyle P\to X}$ со структурной группой Ли ${\displaystyle G}$, калибровочная группа определяется как группа ее вертикальных автоморфизмов. Эта группа изоморфна группе ${\displaystyle G(X)}$ глобальных сечений связанного группового расслоения ${\displaystyle {\widetilde {P}}\to X}$ типичное волокно которого представляет собой группу ${\displaystyle G}$ которая действует сама на себя присоединенное представительство. Единичный элемент ${\displaystyle G(X)}$ постоянное единичное сечение ${\displaystyle g(x)=1}$ из ${\displaystyle {\widetilde {P}}\to X}$.

В то же время, калибровочная теория гравитации иллюстрирует теория поля по принципу комплект кадров чьи калибровочные симметрии общековариантные преобразования которые не являются элементами калибровочной группы.

В физической литературе по калибровочная теория, структурную группу главного расслоения часто называют группа датчиков.

В квантовая калибровочная теория, рассматривается нормальная подгруппа ${\displaystyle G^{0}(X)}$ калибровочной группы ${\displaystyle G(X)}$ который является стабилизатором

${\displaystyle G^{0}(X)=\{g(x)\in G(X)\quad :\quad g(x_{0})=1\in {\widetilde {P}}_{x_{0}}\}}$

в какой-то момент ${\displaystyle 1\in {\widetilde {P}}_{x_{0}}}$ группового расслоения ${\displaystyle {\widetilde {P}}\to X}$. Это называется группа точечных калибров. Эта группа свободно действует в пространстве главных связностей. Очевидно, ${\displaystyle G(X)/G^{0}(X)=G}$. Один также вводит эффективная калибровочная группа ${\displaystyle {\overline {G}}(X)=G(X)/Z}$ где ${\displaystyle Z}$ центр калибровочной группы ${\displaystyle G(X)}$. Эта группа ${\displaystyle {\overline {G}}(X)}$ действует свободно на пространстве неприводимых главных связностей.

Если структурная группа ${\displaystyle G}$ сложный полупростой матричная группа, то Соболева достройка ${\displaystyle {\overline {G}}_{k}(X)}$ калибровочной группы ${\displaystyle G(X)}$ может быть введен. Это группа Ли. Ключевым моментом является то, что действие ${\displaystyle {\overline {G}}_{k}(X)}$ по достройке Соболева ${\displaystyle A_{k}}$ пространства главных связностей гладко, а пространство орбит ${\displaystyle A_{k}/{\overline {G}}_{k}(X)}$ это Гильбертово пространство. Это конфигурационное пространство квантовой калибровочной теории.

использованная литература

• Миттер П., Виалле К. О расслоении связностей и многообразии калибровочных орбит в теории Янга - Миллса. Commun. Математика. Phys. 79 (1981) 457.
• Марате, К., Мартуччи, Г., Математические основы калибровочных теорий (Северная Голландия, 1992) ISBN  0-444-89708-9.
• Манджиаротти, Л., Сарданашвили, Г., Связи в классической и квантовой теории поля (World Scientific, 2000) ISBN  981-02-2013-8

Смотрите также

• Калибровочная теория (математика)
• Калибровочная теория
• Основной пакет
• Калибровочная симметрия (математика)