Общий многочлен - Generic polynomial

В математика, а общий многочлен обычно относится к многочлену, коэффициенты которого равны неопределенный. Например, если $а$ , $б$ , и $c$ являются неопределенными, общий многочлен степени два от $Икс$ является ${ displaystyle ax ^ {2} + bx + c.}$

Однако в Теория Галуа, филиал алгебра, а в этой статье термин общий многочлен имеет другое, хотя и родственное, значение: общий многочлен для конечная группа грамм и поле F это монический многочлен п с коэффициентами в поле рациональных функций L = F(т₁, ..., т_п) в п не определяет F, так что поле расщепления M из п имеет Группа Галуа грамм над L, и такое, что каждое расширение K/F с группой Галуа грамм может быть получено как поле расщепления многочлена, который является специализацией п в результате установки п неопределенный п элементы F. Иногда это называют F-родовой или относительно поля F; а Q-общий многочлен, который является общим относительно рациональных чисел, называется просто общим.

Существование и особенно построение полинома общего положения для данной группы Галуа дает полное решение обратная задача Галуа для этой группы. Однако не все группы Галуа имеют полиномы общего положения, контрпримером является циклическая группа порядка восьми.

Группы с типичными многочленами

В симметричная группа S_п. Это тривиально, так как

{ displaystyle x ^ {n} + t_ {1} x ^ {n-1} + cdots + t_ {n}}

является полиномом общего положения для S_п.

Циклические группы C_п, где п не делится на восемь. Ленстра показал, что циклическая группа не имеет многочлена общего положения, если п делится на восемь, и Г. В. Смит явно строит такой многочлен в случае п не делится на восемь.
Конструкция циклической группы приводит к другим классам полиномов общего положения; в частности группа диэдра D_п имеет общий многочлен тогда и только тогда, когда n не делится на восемь.
В группа кватернионов Q₈.
Группы Гейзенберга ${ displaystyle H_ {p ^ {3}}}$ для любого нечетного простого числа п.
Переменная группа А₄.
Переменная группа А₅.
Группы отражения определены над Q, в том числе, в частности, группы корневых систем для E₆, E₇, и E₈.
Любая группа, которая является прямой продукт двух групп, каждая из которых имеет общие многочлены.
Любая группа, которая является венок двух групп, каждая из которых имеет общие многочлены.

Примеры полиномов общего положения

Группа	Общий многочлен
C₂	${ displaystyle x ^ {2} -t}$
C₃	${ Displaystyle х ^ {3} -tx ^ {2} + (т-3) х + 1}$
S₃	${ Displaystyle х ^ {3} -t (х + 1)}$
V	${ Displaystyle (х ^ {2} -s) (х ^ {2} -t)}$
C₄	${ displaystyle x ^ {4} -2s (t ^ {2} +1) x ^ {2} + s ^ {2} t ^ {2} (t ^ {2} +1)}$
D₄	${ displaystyle x ^ {4} -2stx ^ {2} + s ^ {2} t (t-1)}$
S₄	${ displaystyle x ^ {4} + sx ^ {2} -t (x + 1)}$
D₅	${ displaystyle x ^ {5} + (t-3) x ^ {4} + (s-t + 3) x ^ {3} + (t ^ {2} -t-2s-1) x ^ {2 } + sx + t}$
S₅	${ displaystyle x ^ {5} + sx ^ {3} -t (x + 1)}$

Типичные многочлены известны для всех транзитивных групп степени 5 или меньше.

Общее измерение

В общее измерение для конечной группы грамм над полем F, обозначенный ${ displaystyle gd_ {F} G}$ , определяется как минимальное количество параметров в универсальном полиноме для грамм над F, или же ${ displaystyle infty}$ если не существует общего многочлена.

Примеры:

${ displaystyle gd _ { mathbb {Q}} A_ {3} = 1}$
${ displaystyle gd _ { mathbb {Q}} S_ {3} = 1}$
${ displaystyle gd _ { mathbb {Q}} D_ {4} = 2}$
${ displaystyle gd _ { mathbb {Q}} S_ {4} = 2}$
${ displaystyle gd _ { mathbb {Q}} D_ {5} = 2}$
${ displaystyle gd _ { mathbb {Q}} S_ {5} = 2}$

Публикации

Дженсен, Кристиан У., Ледет, Арне, и Юи, Норико, Общие многочлены, Издательство Кембриджского университета, 2002 г.