Геодезическое отклонение - Geodesic deviation - Wikipedia

В общая теория относительности, геодезическое отклонение описывает тенденцию объектов приближаться или удаляться друг от друга при движении под воздействием пространственно изменяющихся гравитационное поле. Иными словами, если два объекта приводятся в движение по двум изначально параллельным траекториям, наличие приливная гравитационная сила приведет к изгибу траекторий навстречу или от друг друга, создавая относительный ускорение между объектами.[1]

Математически приливная сила в общей теории относительности описывается Тензор кривизны Римана,[1] а траектория движения объекта исключительно под действием силы тяжести называется геодезический. В уравнение геодезического отклонения связывает тензор кривизны Римана с относительным ускорением двух соседних геодезических. В дифференциальная геометрия, уравнение геодезического отклонения более известно как Уравнение Якоби.

Математическое определение

Чтобы количественно оценить геодезическое отклонение, нужно начать с создания семейства близко расположенных геодезических, индексированных непрерывной переменной. s и параметризуется аффинный параметр τ. То есть для каждого фиксированного sкривая, заметаемая γs(τ) при изменении τ является геодезической. При рассмотрении геодезической массивного объекта часто бывает удобно выбрать τ в качестве значения объекта. подходящее время. Если Иксμ(s, τ) - координаты геодезической γs(τ), то касательный вектор этой геодезической

Если τ - собственное время, то Тμ это четыре скорости объекта, движущегося по геодезической.

Также можно определить вектор отклонения, который представляет собой смещение двух объектов, движущихся по двум бесконечно удаленным геодезическим:

В относительное ускорение Аμ двух объектов определяется, грубо говоря, как вторая производная вектора разделения Иксμ по мере продвижения объектов по своим геодезическим. Конкретно, Аμ находится путем взятия направленного ковариантная производная из Икс вдоль Т дважды:

Уравнение геодезического отклонения связывает Аμ, Тμ, Иксμ, а тензор Римана рμνρσ:[2]

Альтернативное обозначение ковариантной производной по направлению является , поэтому уравнение геодезического отклонения также можно записать как

Уравнение геодезического отклонения может быть получено из второй вариант точечной частицы Лагранжиан по геодезическим или из первой вариации комбинированного лагранжиана.[требуется разъяснение ] У лагранжевого подхода есть два преимущества. Во-первых, он позволяет использовать различные формальные подходы квантование для применения в системе геодезических отклонений. Во-вторых, он позволяет сформулировать отклонение для гораздо более общих объектов, чем геодезические (любые динамическая система который имеет один пространство-время индексированный импульс, по-видимому, имеет соответствующее обобщение геодезического отклонения).[нужна цитата ]

Предел слабого поля

Связь между геодезическим отклонением и приливным ускорением можно более четко увидеть, исследуя геодезическое отклонение в предел слабого поля, где метрика приблизительно равна Минковскому, а скорости пробных частиц предполагаются намного меньше, чем c. Тогда касательный вектор Тμ приблизительно (1, 0, 0, 0); т.е. отлична от нуля только времениподобная компонента.

Тогда пространственные компоненты относительного ускорения определяются выражением

куда я и j пробегают только пространственные индексы 1, 2 и 3.

В частном случае метрики, соответствующей ньютоновскому потенциалу Φ (Икс, у, z) массивного объекта на Икс = у = z = 0 имеем

какой приливный тензор ньютоновского потенциала.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ а б Оганян, Ганс (1976). Гравитация и пространство-время (1-е изд.). С. 271–6.
  2. ^ Кэрролл, Шон (2004). Пространство-время и геометрия. С. 144–6.

внешняя ссылка