Среднее геометрическое-гармоническое - Geometric–harmonic mean

В математика, то среднее геометрическое гармоническое М (Икс, y) двух положительных действительные числа Икс и y определяется следующим образом: мы формируем среднее геометрическое из г₀ = Икс и час₀ = y и назови это г₁, т.е. г₁ это квадратный корень из ху. Мы также формируем гармоническое среднее из Икс и y и назови это час₁, т.е. час₁ это взаимный из среднее арифметическое обратных Икс и y. Это можно делать последовательно (в любом порядке) или одновременно.

Теперь мы можем повторить эту операцию с помощью г₁ заняв место Икс и час₁ заняв место y. Таким образом, два последовательности (г_п) и (час_п) определены:

${\displaystyle g_{n+1}={\sqrt {g_{n}h_{n}}}}$

и

${\displaystyle h_{n+1}={\frac {2}{{\frac {1}{g_{n}}}+{\frac {1}{h_{n}}}}}}$

Обе эти последовательности сходиться на тот же номер, который мы называем среднее геометрическое гармоническое М (Икс, y) из Икс иy. Среднее геометрическое гармоническое также обозначается как гармоническое – геометрическое среднее. (см. ниже Wolfram MathWorld.)

Существование предела можно доказать с помощью Теорема Больцано – Вейерштрасса способом, почти идентичным доказательству существования среднее арифметико-геометрическое.

Свойства

М (Икс, y) представляет собой число между геометрическим и гармоническим средним значением Икс и y; в частности, это между Икс и y. М (Икс, y) это также однородный, т.е. если р > 0, то M (rx, ry) = р М (Икс, y).

Если AG (Икс, y) это среднее арифметико-геометрическое, то мы также имеем

${\displaystyle M(x,y)={\frac {1}{AG({\frac {1}{x}},{\frac {1}{y}})}}}$

Неравенства

Имеется следующее неравенство с пифагоровыми средними {ЧАС, г, А} и повторные пифагорейские средства {HG, HA, GA}:

${\displaystyle \min(x,y)\leq H(x,y)\leq HG(x,y)\leq G(x,y)\leq GA(x,y)\leq A(x,y)\leq \max(x,y)}$

где повторяющиеся средние Пифагора были отождествлены со своими частями {ЧАС, г, А} в прогрессивном порядке:

• ЧАС(Икс, y) - гармоническое среднее,
• HG(Икс, y) - среднее геометрическое гармоническое,
• г(Икс, y) = HA(Икс, y) - среднее геометрическое (которое также является средним гармоническим арифметическим),
• GA(Икс, y) - среднее геометрическое арифметическое,
• А(Икс, y) - среднее арифметическое.

Смотрите также

• Среднее арифметико-геометрическое
• Среднее арифметическое - гармоническое
• Значить

внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Гармонико-геометрическое среднее». MathWorld.