Геометрическая фаза - Geometric phase

В классический и квантовая механика, геометрическая фаза это фаза разница, полученная в течение цикл, когда система подвергается циклическому адиабатические процессы, который следует из геометрических свойств пространство параметров из Гамильтониан.^[1] Явление было независимо открыто С. Панчаратнам (1956)^[2] и по Х. К. Лонге-Хиггинс (1958)^[3] а затем обобщен Сэр Майкл Берри (1984).^[4] Он также известен как Фаза Панчаратнам – Берри, Фаза Панчаратнам, или же Ягодная фазаЭто можно увидеть в коническое пересечение из поверхности потенциальной энергии^[3][5] и в Эффект Ааронова – Бома. Геометрическая фаза вокруг конического пересечения, включающая основное электронное состояние C₆ЧАС₃F₃⁺ молекулярный ион обсуждается на страницах 385–386 учебника Банкера и Дженсена.^[6]В случае эффекта Ааронова – Бома адиабатическим параметром является магнитное поле окружен двумя путями интерференции, и он является циклическим в том смысле, что эти два пути образуют петлю. В случае конического пересечения адиабатический параметры являются молекулярные координаты. Помимо квантовой механики, он возникает во множестве других волна системы, такие как классические оптика. Как показывает опыт, это может произойти, когда есть по крайней мере два параметра, характеризующие волну вблизи какой-либо сингулярности или дыры в топологии; два параметра необходимы, потому что либо набор неособых состояний не будет односвязный, или будет ненулевое голономия.

Волны характеризуются амплитуда и фаза, и может варьироваться в зависимости от этих параметров. Геометрическая фаза возникает, когда оба параметра изменяются одновременно, но очень медленно (адиабатически) и в конечном итоге возвращаются к исходной конфигурации. В квантовой механике это может включать не только вращения, но и перемещения частиц, которые, по-видимому, отменяются в конце. Можно было бы ожидать, что волны в системе вернутся в исходное состояние, которое характеризуется амплитудами и фазами (и с учетом течения времени). Однако, если скачки параметров соответствуют петле, а не самовосстанавливающемуся возвратно-поступательному изменению, то возможно, что начальное и конечное состояния различаются по фазам. Эта разность фаз является геометрической фазой, и ее появление обычно указывает на то, что зависимость параметров системы единственное число (его состояние не определено) для некоторой комбинации параметров.

К мера геометрическая фаза в волновой системе, вмешательство эксперимент необходимо. В Маятник Фуко это пример из классическая механика это иногда используется для иллюстрации геометрической фазы. Этот механический аналог геометрической фазы известен как Угол Ханнея.

Фаза Берри в квантовой механике

В квантовой системе на n-м собственное состояние, адиабатический эволюция Гамильтониан видит, что система остается в n-м собственном состоянии гамильтониана, а также получает фазовый множитель. Полученная фаза имеет вклад от временной эволюции состояния, а другой - от изменения собственного состояния с изменением гамильтониана. Второй член соответствует фазе Берри, и для нециклических вариаций гамильтониана он может быть обращен в нуль с помощью другого выбора фазы, связанной с собственными состояниями гамильтониана в каждой точке эволюции.

Однако, если изменение циклическое, фазу Берри нельзя отменить; это инвариантный и становится наблюдаемым свойством системы. Рассматривая доказательство адиабатическая теорема данный Макс Борн и Владимир Фок, в Zeitschrift für Physik 51, 165 (1928), мы могли бы охарактеризовать все превращение адиабатического процесса в фазовый член. В адиабатическом приближении коэффициент n-го собственного состояния при адиабатическом процессе определяется выражением

${\displaystyle C_{n}(t)=C_{n}(0)\exp \left[-\int _{0}^{t}\langle \psi _{n}(t')|{\dot {\psi }}_{n}(t')\rangle dt'\right]=C_{n}(0)e^{i\gamma _{n}(t)}}$

куда ${\displaystyle \gamma _{n}(t)}$ - фаза Берри по параметру t. Преобразуя переменную t в обобщенные параметры, мы могли бы переписать фазу Берри в виде

${\displaystyle \gamma _{n}[C]=i\oint _{C}\!\langle n,t|\left(\nabla _{R}|n,t\right\rangle )\,dR\,}$

куда ${\displaystyle R}$ параметризует циклический адиабатический процесс. Он идет по замкнутому пути ${\displaystyle C}$ в соответствующем пространстве параметров. Геометрическая фаза по замкнутой траектории ${\displaystyle C}$ можно также вычислить, интегрировав Кривизна ягод над поверхностью, окруженной ${\displaystyle C}$.

Примеры геометрических фаз

Маятник Фуко

Один из самых простых примеров - Маятник Фуко. Простое объяснение с точки зрения геометрических фаз дают Вильчек и Шапере. ^[7]

Как маятник прецессирует, когда он движется по общей траектории C? Для перевозки по экватор, маятник не прецессирует. [...] Теперь, если C состоит из геодезический сегменты, прецессия все будет происходить с углов, где встречаются сегменты геодезических; полная прецессия равна чистой угол дефицита что, в свою очередь, равно телесный угол заключен в C по модулю 2π. Наконец, мы можем аппроксимировать любую петлю последовательностью геодезических отрезков, поэтому наиболее общий результат (на поверхности сферы или за ее пределами) состоит в том, что суммарная прецессия равна замкнутому телесному углу.

Другими словами, нет инерционных сил, которые могли бы вызвать прецессию маятника, поэтому прецессия (относительно направления движения пути, по которому маятник перемещается) полностью обусловлена ​​поворотом этого пути. Таким образом, ориентация маятника претерпевает параллельный транспорт. Для исходного маятника Фуко путь представляет собой круг широты, а Теорема Гаусса – Бонне, фазовый сдвиг задается замкнутым телесным углом.^[8]

Поляризованный свет в оптоволокне

Второй пример - линейно поляризованный свет, попадающий в одномодовое оптическое волокно. Предположим, что волокно прокладывает некоторый путь в пространстве, и свет выходит из волокна в том же направлении, в котором он входил. Затем сравните начальную и конечную поляризации. В полуклассическом приближении слой функционирует как волновод и импульс света всегда касается волокна. Поляризацию можно представить как ориентацию, перпендикулярную импульсу. Когда волокно прослеживает свой путь, вектор импульса света прослеживает путь на сфере в импульсное пространство. Путь замкнут, так как начальное и конечное направления света совпадают, а поляризация - это вектор, касательный к сфере. Переход к импульсному пространству эквивалентен взятию Карта Гаусса. Нет никаких сил, которые могли бы повернуть поляризацию, только ограничение оставаться касательной к сфере. Таким образом, поляризация претерпевает параллельный транспорт а фазовый сдвиг задается замкнутым телесным углом (умноженным на спин, который в случае света равен 1).

Эффект стохастической помпы

Стохастический насос - это классическая стохастическая система, которая реагирует ненулевым, в среднем, токами на периодические изменения параметров. Эффект стохастической накачки можно интерпретировать с точки зрения геометрической фазы в эволюции производящей функции момента стохастических токов.^[9]

Отжим ½

Геометрическую фазу можно точно оценить для частицы со спином 1/2 в магнитном поле.^[1]

Геометрическая фаза, заданная на аттракторах

Хотя формулировка Берри была первоначально определена для линейных гамильтоновых систем, вскоре она была реализована Нингом и Хакеном.^[10] что подобная геометрическая фаза может быть определена для совершенно разных систем, таких как нелинейные диссипативные системы, которые обладают определенными циклическими аттракторами. Они показали, что такие циклические аттракторы существуют в классе нелинейных диссипативных систем с определенными симметриями.^[11]

Воздействие на пересечения поверхностей молекулярного адиабатического потенциала

Существует несколько способов вычисления геометрической фазы в молекулах в рамках концепции Борна Оппенгеймера. Один из способов - неадиабатическая связь ${\displaystyle M\times M}$ матрица "определяется

${\displaystyle \tau _{ij}^{\mu }=\left\langle \psi _{i}|\partial ^{\mu }\psi _{j}\right\rangle }$

куда ${\displaystyle \psi _{i}}$ - адиабатическая волновая функция электронов, зависящая от ядерных параметров ${\displaystyle R_{\mu }}$. Неадиабатическая связь может использоваться для определения петлевого интеграла, аналогично Петля Вильсона (1974) в теории поля, независимо разработанной для молекулярной структуры М. Бэром (1975, 1980, 2000). Учитывая замкнутый цикл ${\displaystyle \Gamma }$, параметризованный ${\displaystyle R_{\mu }\left(t\right)}$ куда ${\displaystyle t\in \left[0,1\right]}$ параметр и ${\displaystyle R_{\mu }\left(t+1\right)=R_{\mu }\left(t\right)}$. D-матрица определяется как:

${\displaystyle D\left[\Gamma \right]={\hat {P}}e^{\oint _{\Gamma }{\tau ^{\mu }dR_{\mu }}}}$

(здесь, ${\displaystyle {\hat {P}}}$ символ упорядочивания путей). Можно показать, что однажды ${\displaystyle M}$ достаточно большая (т.е. учитывается достаточное количество электронных состояний) эта матрица диагональна с диагональными элементами, равными ${\displaystyle e^{i\beta _{j}}}$ куда ${\displaystyle \beta _{j}}$ геометрические фазы, связанные с петлей для ${\displaystyle j}$ адиабатическое электронное состояние.

Для симметричных электронных гамильтонианов с обращением времени геометрическая фаза отражает количество конических пересечений, окруженных петлей. Точнее:

${\displaystyle e^{i\beta _{j}}=\left(-1\right)^{N_{j}}}$

куда ${\displaystyle N_{j}}$ - количество конических пересечений, включающих адиабатическое состояние ${\displaystyle \psi _{j}}$ окруженный петлей ${\displaystyle \Gamma }$.

Альтернативой D-матричному подходу может быть прямой расчет фазы Панчаратнама. Это особенно полезно, если вас интересуют только геометрические фазы одного адиабатического состояния. В этом подходе берется число ${\displaystyle N+1}$ очков ${\displaystyle \left(n=0,...,N\right)}$ по петле ${\displaystyle R\left(t_{n}\right)}$ с ${\displaystyle t_{0}=0}$ и ${\displaystyle t_{N}=1}$ то используя только j-е адиабатические состояния ${\displaystyle \psi _{j}\left[R\left(t_{n}\right)\right]}$ вычисляет произведение перекрытий Панчаратнама:

${\displaystyle I_{j}\left(\Gamma ,N\right)=\prod \limits _{n=0}^{N-1}{\left\langle \psi _{j}\left[R\left(t_{n}\right)\right]|\psi _{j}\left[R\left(t_{n+1}\right)\right]\right\rangle }}$

В пределе ${\displaystyle N\to \infty }$ у одного есть (см. Ryb & Baer 2004 для объяснения и некоторых приложений):

${\displaystyle I_{j}\left(\Gamma ,N\right)\to e^{i\beta _{j}}}$

Геометрическая фаза и квантование циклотронного движения

Электрон в магнитном поле ${\displaystyle B}$ движется по круговой (циклотронной) орбите.^[2] Классически любой циклотронный радиус ${\displaystyle R_{c}}$ приемлемо. Квантово-механически только дискретные уровни энергии (Уровни Ландау ) разрешены, и поскольку ${\displaystyle R_{c}}$ связано с энергией электрона, это соответствует квантованным значениям ${\displaystyle R_{c}}$. Условие квантования энергии, полученное путем решения уравнения Шредингера, читается, например, как ${\displaystyle E=(n+\alpha )\hbar \omega _{c},\alpha =1/2}$ для свободных электронов (в вакууме) или ${\displaystyle E=v{\sqrt {2(n+\alpha )eB\hbar }},\alpha =0}$ для электронов в графене, где ${\displaystyle n=0,1,2,\ldots }$.^[3] Хотя получение этих результатов несложно, существует альтернативный способ их получения, который предлагает в некотором отношении лучшее физическое понимание квантования уровней Ландау. Этот альтернативный способ основан на полуклассическом Условие квантования Бора-Зоммерфельда

${\displaystyle \hbar \oint d\mathbf {r} \cdot \mathbf {k} -e\oint d\mathbf {r} \cdot \mathbf {A} +\hbar \gamma =2\pi \hbar (n+1/2)}$

который включает геометрическую фазу ${\displaystyle \gamma }$ улавливается электроном, когда он совершает свое (в реальном пространстве) движение по замкнутому контуру циклотронной орбиты.^[12] Для свободных электронов ${\displaystyle \gamma =0}$ пока ${\displaystyle \gamma =\pi }$ для электронов в графене. Оказывается, геометрическая фаза напрямую связана с ${\displaystyle \alpha =1/2}$ свободных электронов и ${\displaystyle \alpha =0}$ электронов в графене.

Смотрите также

• Тензор кривизны Римана - для связи с математикой
• Ягодное соединение и кривизна
• Черн класс
• Оптическое вращение
• Номер обмотки

Примечания

^ Для простоты мы рассматриваем электроны, удерживаемые в плоскости, например 2DEG и магнитное поле, перпендикулярное плоскости.

^ ${\displaystyle \omega _{c}=eB/m}$ - циклотронная частота (для свободных электронов) и ${\displaystyle v}$ - скорость Ферми (электронов в графене).

Сноски

1. Solem, J.C .; Биденхарн, Л. С. (1993). «Понимание геометрических фаз в квантовой механике: элементарный пример». Основы физики. 23 (2): 185–195. Bibcode:1993ФоФ ... 23..185С. Дои:10.1007 / BF01883623.
2. С. Панчаратнам (1956). «Обобщенная теория помех и ее приложения. Часть I. Когерентные карандаши». Proc. Индийский акад. Sci. А. 44 (5): 247–262. Дои:10.1007 / BF03046050.
3. Х. К. Лонге Хиггинс; У. Эпик; М. Х. Л. Прайс; Р. А. Мешок (1958). «Исследования эффекта Яна-Теллера .II. Динамическая проблема». Proc. R. Soc. А. 244 (1236): 1–16. Bibcode:1958RSPSA.244 .... 1л. Дои:10.1098 / rspa.1958.0022.Страницу 12
4. М. В. Берри (1984). «Квантовые фазовые факторы, сопровождающие адиабатические изменения». Труды Королевского общества А. 392 (1802): 45–57. Bibcode:1984RSPSA.392 ... 45B. Дои:10.1098 / rspa.1984.0023.
5. Г. Герцберг; Х. К. Лонге-Хиггинс (1963). «Пересечение поверхностей потенциальной энергии в многоатомных молекулах». Обсуждать. Фарадей Соц. 35: 77–82. Дои:10.1039 / DF9633500077.
6. Молекулярная симметрия и спектроскопия, 2-е изд. Филип Р. Банкер и Пер Дженсен, NRC Research Press, Оттава (1998) [1] ISBN  9780660196282
7. Wilczek, F .; Шапере, А., ред. (1989). Геометрические фазы в физике. Сингапур: World Scientific. п.4.
8. Йенс фон Бергманн; СинЧи фон Бергманн (2007). «Маятник Фуко через основную геометрию». Являюсь. J. Phys. 75 (10): 888–892. Bibcode:2007AmJPh..75..888V. Дои:10.1119/1.2757623.
9. Н. А. Синицын; И. Неменман (2007). «Фаза Берри и поток накачки в стохастической химической кинетике». Письма еврофизики. 77 (5): 58001. arXiv:q-bio / 0612018. Bibcode:2007EL ..... 7758001S. Дои:10.1209/0295-5075/77/58001.
10. Ч. З. Нинг и Х. Хакен (1992). «Геометрические накопления фазы и амплитуды в диссипативных системах с циклическими аттракторами». Phys. Rev. Lett. 68 (14): 2109–2122. Bibcode:1992ПхРвЛ..68.2109Н. Дои:10.1103 / PhysRevLett.68.2109. PMID  10045311.
11. Ч. З. Нинг и Х. Хакен (1992). «Геометрическая фаза в нелинейных диссипативных системах». Мод. Phys. Lett. B. 6 (25): 1541–1568. Bibcode:1992MPLB .... 6.1541N. Дои:10.1142 / S0217984992001265.
12. Для руководства см. Цзямин Сюэ: "Фаза Берри и нетрадиционный квантовый эффект Холла в графене " (2013)

Источники

• Джива Анандан; Джой Кристиан; Казимир Ванелик (1997). «Информационное письмо ГПП-1: Геометрические фазы в физике». Являюсь. J. Phys. 65 (3): 180. arXiv:Quant-ph / 9702011. Bibcode:1997AmJPh..65..180A. Дои:10.1119/1.18570.
• Cantoni, V .; Мистранджоли, Л. (1992). «Трехточечная фаза, симплектическая мера и фаза Берри». Международный журнал теоретической физики. 31 (6): 937. Bibcode:1992IJTP ... 31..937C. Дои:10.1007 / BF00675086.
• Ричард Монтгомери (8 августа 2006 г.). Обзор субримановых геометрий, их геодезических и приложений. American Mathematical Soc. С. 11–. ISBN  978-0-8218-4165-5. (См. Главу 13 для математической обработки)
• Связь с другими физическими явлениями (такими как Эффект Яна – Теллера ) обсуждаются здесь: Геометрическая фаза Берри: обзор
• Доклад профессора Гальвеза из Колгейтского университета, описывающий геометрическую фазу в оптике: Приложения геометрической фазы в оптике
• Сурья Гангули, Связки волокон и калибровочные теории в классической физике: унифицированное описание падающих кошек, магнитных монополей и фазы Берри
• Роберт Баттерман, Падающие кошки, параллельная парковка и поляризованный свет
• Баер, М. (1975). «Адиабатические и диабатические представления для столкновений атомов и молекул: рассмотрение коллинеарного расположения». Письма по химической физике. 35 (1): 112–118. Bibcode:1975CPL .... 35..112B. Дои:10.1016/0009-2614(75)85599-0.
• М. Баер, Электронные неадиабатические переходы: вывод общей матрицы адиабатически-диабатического преобразования, Мол. Phys. 40, 1011 (1980);
• М. Баер, Существование диабетических потенциалов и квантование неадиабатической матрицы, J. Phys. Chem. А 104, 3181-3184 (2000).
• Рыб, I; Баер, Р. (2004). «Комбинаторные инварианты и коварианты как инструменты для конических пересечений». Журнал химической физики. 121 (21): 10370–5. Bibcode:2004ЖЧФ.12110370Р. Дои:10.1063/1.1808695. PMID  15549915.

• Вильчек, Франк; Шапере, А. (1989). Геометрические фазы в физике. World Scientific. ISBN  978-9971-5-0621-6.
• Джеррольд Э. Марсден; Ричард Монтгомери; Тюдор С. Ратиу (1990). Редукция, симметрия и фазы в механике. Книжный магазин AMS. п. 69. ISBN  978-0-8218-2498-6.
• К. Пизани (1994). Квантово-механический Ab-initio расчет свойств кристаллических материалов (Труды IV школы вычислительной химии Итальянского химического общества под ред.). Springer. п. 282. ISBN  978-3-540-61645-0.
• Л. Манджиаротти, Геннадий Александрович Сарданашвили (1998). Калибровочная механика. World Scientific. п. 281. ISBN  978-981-02-3603-8.
• Карин М Рабе; Жан-Марк Трискон; Чарльз Х. Ан (2007). Физика сегнетоэлектриков в современной перспективе. Springer. п. 43. ISBN  978-3-540-34590-9.
• Майкл Баер (2006). За пределами Борна Оппенгеймера. Вайли. ISBN  978-0-471-77891-2.
• Ч. З. Нинг и Х. Хакен (1992). «Геометрические накопления фазы и амплитуды в диссипативных системах с циклическими аттракторами». Phys. Rev. Lett. 68 (14): 2109–2122. Bibcode:1992ПхРвЛ..68.2109Н. Дои:10.1103 / PhysRevLett.68.2109. PMID  10045311.
• Ч. З. Нинг и Х. Хакен (1992). «Геометрическая фаза в нелинейных диссипативных системах». Мод. Phys. Lett. B. 6 (25): 1541–1568. Bibcode:1992MPLB .... 6.1541N. Дои:10.1142 / S0217984992001265.

дальнейшее чтение

• Майкл В. Берри; Геометрическая фаза, Scientific American 259 (6) (1988), 26-34 [4]