Ягодное соединение и кривизна - Berry connection and curvature

В физике Ягодное соединение и Кривизна ягод являются взаимосвязанными понятиями, которые можно рассматривать, соответственно, как локальный калибровочный потенциал и калибровочное поле, связанное с Ягодная фаза или геометрическая фаза. Эти концепции были введены Майкл Берри в статье, опубликованной в 1984 г.^[1] подчеркивая, как геометрические фазы обеспечивают мощную объединяющую концепцию в нескольких ветвях классический и квантовая физика.

Фаза Берри и циклическая адиабатическая эволюция

В квантовой механике фаза Берри возникает в циклическом адиабатический эволюция. Квантовый адиабатическая теорема применяется к системе, чья Гамильтониан ${\displaystyle H(\mathbf {R} )}$ зависит от (векторного) параметра ${\displaystyle \mathbf {R} }$ это меняется со временем ${\displaystyle t}$. Если ${\displaystyle n}$й собственное значение ${\displaystyle \varepsilon _{n}(\mathbf {R} )}$ остается невырожденным всюду по пути, а изменение во времени т достаточно медленный, то система изначально в собственное состояние ${\displaystyle \,|n(\mathbf {R} (0))\rangle }$ останется в мгновенном собственном состоянии ${\displaystyle \,|n(\mathbf {R} (t))\rangle }$ гамильтониана ${\displaystyle \,H(\mathbf {R} (t))}$, вплоть до фазы, на протяжении всего процесса. Что касается фазы, состояние во времени т можно записать как^[2]

${\displaystyle |\Psi _{n}(t)\rangle =e^{i\gamma _{n}(t)}\,e^{-{i \over \hbar }\int _{0}^{t}dt'\varepsilon _{n}(\mathbf {R} (t'))}\,|n(\mathbf {R} (t))\rangle ,}$

где второй экспоненциальный член - это «динамический фазовый фактор». Первый экспоненциальный член - это геометрический член, причем ${\displaystyle \gamma _{n}}$ фаза Берри. Из требования, чтобы ${\displaystyle |\Psi _{n}(t)\rangle }$ удовлетворить нестационарное уравнение Шредингера, можно показать, что

${\displaystyle \gamma _{n}(t)=i\int _{0}^{t}dt'\,\langle n(\mathbf {R} (t'))|{d \over dt'}|n(\mathbf {R} (t'))\rangle =i\int _{\mathbf {R} (0)}^{\mathbf {R} (t)}d\mathbf {R} \,\langle n(\mathbf {R} )|\nabla _{\mathbf {R} }|n(\mathbf {R} )\rangle ,}$

это означает, что фаза Берри зависит только от пути в пространстве параметров, а не от скорости, с которой проходит путь.

В случае циклической эволюции по замкнутому пути ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ такой, что ${\displaystyle \mathbf {R} (T)=\mathbf {R} (0)}$, фаза Берри замкнутого пути есть

${\displaystyle \gamma _{n}=i\oint _{\mathcal {C}}d\mathbf {R} \,\langle n(\mathbf {R} )|\nabla _{\mathbf {R} }|n(\mathbf {R} )\rangle .}$

Примером физической системы, в которой электрон движется по замкнутой траектории, является циклотронное движение (подробности приведены на странице Ягодная фаза ). Необходимо учитывать фазу Берри, чтобы получить правильное условие квантования.

Преобразование датчика

А калибровочное преобразование может быть выполнено

${\displaystyle |{\tilde {n}}(\mathbf {R} )\rangle =e^{-i\beta (\mathbf {R} )}|n(\mathbf {R} )\rangle }$

к новому набору состояний, которые отличаются от исходных только на ${\displaystyle \mathbf {R} }$-зависимый фазовый коэффициент. Это изменяет фазу Берри открытого пути на ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}_{n}(t)=\gamma _{n}(t)+\beta (t)-\beta (0)}$. Для замкнутого пути непрерывность требует, чтобы ${\displaystyle \beta (T)-\beta (0)=2\pi m}$ (${\displaystyle m}$ целое число), и отсюда следует, что ${\displaystyle \gamma _{n}}$ инвариантен по модулю ${\displaystyle 2\pi }$при произвольном калибровочном преобразовании.

Ягодное соединение

Фаза Берри замкнутого пути, определенная выше, может быть выражена как

${\displaystyle \gamma _{n}=\int _{\mathcal {C}}d\mathbf {R} \cdot {\mathcal {A}}_{n}(\mathbf {R} )}$

куда

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}(\mathbf {R} )=i\langle n(\mathbf {R} )|\nabla _{\mathbf {R} }|n(\mathbf {R} )\rangle }$

- вектор-функция, известная как связность Берри (или потенциал Берри). Связь Берри зависит от калибра и преобразуется как${\displaystyle {\tilde {\mathcal {A}}}_{n}(\mathbf {R} )={\mathcal {A}}_{n}(\mathbf {R} )+\nabla _{\mathbf {R} \,}\beta (\mathbf {R} )}$. Следовательно, местная связь Берри ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}(\mathbf {R} )}$ никогда не может быть физически наблюдаемым. Однако его интеграл по замкнутому пути, фаза Берри ${\displaystyle \gamma _{n}}$, калибровочно-инвариантно с точностью до целого кратного ${\displaystyle 2\pi }$. Таким образом, ${\displaystyle e^{i\gamma _{n}}}$ абсолютно калибровочно-инвариантна и может быть связана с физическими наблюдаемыми.

Кривизна ягод

Кривизна Берри - это антисимметричный тензор второго ранга, полученный из связности Берри через

${\displaystyle \Omega _{n,\mu \nu }(\mathbf {R} )={\partial \over \partial R^{\mu }}{\mathcal {A}}_{n,\nu }(\mathbf {R} )-{\partial \over \partial R^{\nu }}{\mathcal {A}}_{n,\mu }(\mathbf {R} ).}$

В трехмерном пространстве параметров кривизну Берри можно записать в виде псевдовектор форма

${\displaystyle \mathbf {\Omega } _{n}(\mathbf {R} )=\nabla _{\mathbf {R} }\times {\mathcal {A}}_{n}(\mathbf {R} ).}$

Тензорная и псевдовекторная формы кривизны Берри связаны между собой соотношением Леви-Чивита антисимметричный тензор как${\displaystyle \Omega _{n,\mu \nu }=\epsilon _{\mu \nu \xi }\,\mathbf {\Omega } _{n,\xi }}$. В отличие от связи Берри, которая становится физической только после интегрирования по замкнутому пути, кривизна Берри является калибровочно-инвариантным локальным проявлением геометрических свойств волновых функций в пространстве параметров и оказалась важным физическим ингредиентом для понимание множества электронных свойств.^[3][4]

Для закрытого пути ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ который образует границу поверхности ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$, фаза Берри замкнутого пути может быть переписана с помощью Теорема Стокса в качестве

${\displaystyle \gamma _{n}=\int _{\mathcal {S}}d\mathbf {S} \cdot \mathbf {\Omega } _{n}(\mathbf {R} ).}$

Если поверхность является замкнутым многообразием, граничный член обращается в нуль, но неопределенность граничного члена по модулю ${\displaystyle 2\pi }$ проявляется в Теорема Черна, который утверждает, что интеграл кривизны Берри по замкнутому многообразию квантован в единицах ${\displaystyle 2\pi }$. Это так называемый номер Номер Черна, и необходим для понимания различных эффектов квантования.

Наконец, обратите внимание, что кривизна Берри также может быть записана как сумма по всем другим собственным состояниям в форме

${\displaystyle \Omega _{n,\mu \nu }(\mathbf {R} )=i\sum _{n'\neq n}{\langle n|(\partial H/\partial R_{\mu })|n'\rangle \langle n'|(\partial H/\partial R_{\nu })|n\rangle -(\nu \leftrightarrow \mu ) \over (\varepsilon _{n}-\varepsilon _{n'})^{2}}.}$

Пример: спинор в магнитном поле

Гамильтониан частицы со спином 1/2 в магнитное поле можно записать как^[2]

${\displaystyle H=\mu \mathbf {\sigma } \cdot \mathbf {B} ,}$

куда ${\displaystyle \mathbf {\sigma } }$ обозначить Матрицы Паули, ${\displaystyle \mu }$ это магнитный момент, и B - магнитное поле. В трех измерениях собственные состояния имеют энергии ${\displaystyle \pm \mu B}$ а их собственные векторы равны

${\displaystyle |u_{-}\rangle ={\begin{pmatrix}\sin {\theta \over 2}e^{-i\phi }\\-\cos {\theta \over 2}\end{pmatrix}},|u_{+}\rangle ={\begin{pmatrix}\cos {\theta \over 2}e^{-i\phi }\\\sin {\theta \over 2}\end{pmatrix}}.}$

Теперь рассмотрим ${\displaystyle |u_{-}\rangle }$ государственный. Его Берри-связь может быть вычислена как${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\theta }=\langle u|i\partial _{\theta }u\rangle =0,}$${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\phi }=\langle u|i\partial _{\phi }u\rangle =\sin ^{2}{\theta \over 2}}$, а кривизна Берри равна${\displaystyle \Omega _{\theta \phi }=\partial _{\theta }{\mathcal {A}}_{\phi }-\partial _{\phi }{\mathcal {A}}_{\theta }={1 \over 2}\sin \theta .}$Если мы выберем новый калибр, умножив ${\displaystyle |u_{-}\rangle }$ к ${\displaystyle e^{i\phi }}$, связи Берри${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\theta }=0}$ и ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\phi }=-\cos ^{2}{\theta \over 2}}$, а кривизна Берри остается прежней. Это согласуется с выводом о том, что связь Берри зависит от калибровки, а кривизна Берри - нет.

Кривизна Берри на телесный угол определяется выражением ${\displaystyle {\overline {\Omega }}_{\theta \phi }=\Omega _{\theta \phi }/\sin \theta =1/2}$. В этом случае фаза Берри, соответствующая любому заданному пути на единичной сфере ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{2}}$ в пространстве с магнитным полем составляет лишь половину телесного угла, образуемого траекторией. Следовательно, интеграл кривизны Берри по всей сфере равен точно ${\displaystyle 2\pi }$, так что число Черна равно единице в соответствии с теоремой Черна.

Приложения в кристаллах

Фаза Берри играет важную роль в современных исследованиях электронных свойств кристаллических твердых тел.^[4] и в теории квантовый эффект холла.^[5]Периодичность кристаллического потенциала позволяет применять Теорема Блоха, который утверждает, что собственные состояния гамильтониана принимают вид

${\displaystyle \psi _{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} ),}$

куда ${\displaystyle n}$ - индекс полосы, ${\displaystyle \mathbf {k} }$ волновой вектор в взаимное пространство (Зона Бриллюэна ), и ${\displaystyle u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )}$ является периодической функцией ${\displaystyle \mathbf {r} }$. Затем, позволяя ${\displaystyle \mathbf {k} }$ играть роль параметра ${\displaystyle \mathbf {R} }$, можно определить фазы Берри, связи и кривизны в обратном пространстве. Например, связь Берри в обратном пространстве есть

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}(\mathbf {k} )=i\langle u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )|\nabla _{\mathbf {k} }|u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )\rangle .}$

Поскольку из теоремы Блоха также следует, что само обратное пространство замкнуто, а зона Бриллюэна имеет топологию 3-тора в трех измерениях, требования интегрирования по замкнутому контуру или многообразию могут быть легко выполнены. Таким образом, такие свойства, как электрическая поляризация, орбитальный намагничивание, аномальная холловская проводимость, а орбитальная магнитоэлектрическая связь может быть выражена через фазы Берри, связи и кривизны.^[4][6][7]

Рекомендации

1. Берри, М. В. (1984). «Квантовые фазовые факторы, сопровождающие адиабатические изменения». Труды Королевского общества А. 392 (1802): 45–57. Bibcode:1984RSPSA.392 ... 45B. Дои:10.1098 / rspa.1984.0023.
2. Сакураи, Дж. Дж. (2005). Современная квантовая механика. Исправленное издание. Аддисон-Уэсли.
3. Реста, Раффаэле (2000). «Проявления фазы Берри в молекулах и конденсированных средах». J. Phys .: Condens. Иметь значение. 12 (9): R107 – R143. Bibcode:2000JPCM ... 12R.107R. Дои:10.1088/0953-8984/12/9/201. S2CID  55261008.
4. Сяо, Ди; Чанг, Мин-Че; Ниу, Цянь (июль 2010 г.). «Влияние фазы Берри на электронные свойства». Ред. Мод. Phys. 82 (3): 1959–2007. arXiv:0907.2021. Bibcode:2010RvMP ... 82.1959X. Дои:10.1103 / RevModPhys.82.1959.
5. Таулесс, Д. Дж .; Кохмото, М .; Найтингейл, М. П .; den Nijs, M. (август 1982 г.). «Квантованная холловская проводимость в двумерном периодическом потенциале». Phys. Rev. Lett. Американское физическое общество. 49 (6): 405–408. Bibcode:1982ПхРвЛ..49..405Т. Дои:10.1103 / PhysRevLett.49.405.
6. Чанг, Мин-Че; Ню, Цянь (2008). «Кривизна Берри, орбитальный момент и эффективная квантовая теория электронов в электромагнитных полях». Журнал физики: конденсированное вещество. 20 (19): 193202. Bibcode:2008JPCM ... 20s3202C. Дои:10.1088/0953-8984/20/19/193202.
7. Реста, Раффаэле (2010). «Электрическая поляризация и орбитальная намагниченность: современные теории». J. Phys .: Condens. Иметь значение. 22 (12): 123201. Bibcode:2010JPCM ... 22l3201R. Дои:10.1088/0953-8984/22/12/123201. PMID  21389484. S2CID  18645988.

внешняя ссылка

• Квантовая фаза, пять лет спустя. М. Берри.
• Фазы Берри и кривизна в теории электронной структуры Выступление Д. Вандербильта.
• Берриология, орбитальные магнитоэлектрические эффекты и топологические изоляторы - Выступление Д. Вандербильта.