Функция Гимеля - Gimel function

В аксиоматическая теория множеств, то функция Гимеля следующее отображение функций Количественные числительные по количеству:

${\displaystyle \gimel \colon \kappa \mapsto \kappa ^{\mathrm {cf} (\kappa )}}$

где cf обозначает конфинальность функция; функция gimel используется для изучения функция континуума и кардинальное возведение в степень функция. Символ ${\displaystyle \gimel }$ - это форма еврейского письма с засечками гимель.

В гипотеза Гимеля утверждает, что ${\displaystyle \gimel (\kappa )=\max(2^{{\text{cf}}(\kappa )},\kappa ^{+})}$

Значения функции Гимеля

Функция gimel обладает свойством ${\displaystyle \gimel (\kappa )>\kappa }$ для всех бесконечных кардиналов κ формулой Теорема Кенига.

Для обычных кардиналов ${\displaystyle \kappa }$, ${\displaystyle \gimel (\kappa )=2^{\kappa }}$, и Теорема истона говорит, что мы мало что знаем о значениях этой функции. Для единственного ${\displaystyle \kappa }$, оценки сверху для ${\displaystyle \gimel (\kappa )}$ можно найти из Шела с Теория ПКФ.

Сведение функции возведения в степень к функции гимела

Буковский (1965) показал, что все кардинальное возведение в степень определяется (рекурсивно) функцией gimel следующим образом.

• Если κ - бесконечный регулярный кардинал (в частности, любой бесконечный последователь), то ${\displaystyle 2^{\kappa }=\gimel (\kappa )}$
• Если κ бесконечно и сингулярно, а функция континуума в конечном итоге постоянна ниже κ, то ${\displaystyle 2^{\kappa }=2^{<\kappa }}$
• Если κ является пределом и функция континуума в конечном итоге не является постоянной ниже κ, то ${\displaystyle 2^{\kappa }=\gimel (2^{<\kappa })}$

Остальные правила выполняются, когда κ и λ бесконечны:

• Если ℵ₀ ≤ κ ≤ λ, то κ^λ = 2^λ
• Если μ^λ ≥ κ для некоторого μ <κ, то κ^λ = μ^λ
• Если κ> λ и μ^λ <κ для всех μ <κ и cf (κ) ≤ λ, то κ^λ = κ^{cf (κ)}
• Если κ> λ и μ^λ <κ для всех μ <κ и cf (κ)> λ, то κ^λ = κ

использованная литература

• Буковский, Л. (1965), "Проблема континуума и силы алефов", Комментарий. Математика. Univ. Каролины, 6: 181–197, HDL:10338.dmlcz / 105009, Г-Н  0183649
• Jech, Томас Дж. (1973), «Свойства функции Гимеля и классификация сингулярных кардиналов» (PDF), Фонд. Математика., Сборник статей, посвященных Анджею Мостовскому к его шестидесятилетию, И., 81 (1): 57–64, Дои:10.4064 / fm-81-1-57-64, Г-Н  0389593
• Томас Джеч, Теория множеств, 3-е изд. Тысячелетия, 2003 г., Springer Monographs in Mathematics, Springer, ISBN  3-540-44085-2.