Норма Гауэрса - Gowers norm

Сюда перенаправляется «норма единообразия». О норме функционального поля см. единая норма. По поводу единообразия топологии см. однородное пространство.

В математика, в области аддитивная комбинаторика, а Норма Гауэрса или же норма однородности это класс нормы на функции на конечном группа или групповой объект, который количественно определяет количество присутствующей структуры или, наоборот, количество случайность.^[1] Они используются при изучении арифметические прогрессии в группе. Он назван в честь Тимоти Гауэрс, который представил это в своей работе над Теорема Семереди.^[2]

Определение

Позволять ж быть сложный -значная функция на конечном абелева группа грамм и разреши J обозначать комплексное сопряжение. Гауэрс d-норма

${\displaystyle \Vert f\Vert _{U^{d}(G)}^{2^{d}}=\mathbf {E} _{x,h_{1},\ldots ,h_{d}\in G}\prod _{\omega _{1},\ldots ,\omega _{d}\in \{0,1\}}J^{\omega _{1}+\cdots +\omega _{d}}f\left({x+h_{1}\omega _{1}+\cdots +h_{d}\omega _{d}}\right)\ .}$

Нормы Гауэрса также определены для комплекснозначных функций ж на сегменте [N] = {0, 1, 2, ..., N - 1}, где N положительный целое число. В этом контексте норма однородности задается как ${\displaystyle \Vert f\Vert _{U^{d}[N]}=\Vert {\tilde {f}}\Vert _{U^{d}(\mathbb {Z} /{\tilde {N}}\mathbb {Z} )}/\Vert 1_{[N]}\Vert _{U^{d}(\mathbb {Z} /{\tilde {N}}\mathbb {Z} )}}$, куда ${\displaystyle {\tilde {N}}}$ - большое целое число, ${\displaystyle 1_{[N]}}$ обозначает индикаторная функция из [N], и ${\displaystyle {\tilde {f}}(x)}$ равно ${\displaystyle f(x)}$ за ${\displaystyle x\in [N]}$ и ${\displaystyle 0}$ для всех остальных ${\displaystyle x}$. Это определение не зависит от ${\displaystyle {\tilde {N}}}$, так долго как ${\displaystyle {\tilde {N}}>2^{d}N}$.

Обратные предположения

An обратная гипотеза для этих норм утверждение, утверждающее, что если ограниченная функция ж имеет большой Гауэрс d-Нормально тогда ж коррелирует с полиномиальной фазой степени d - 1 или другой объект с полиномиальным поведением (например, a (d - 1) -шаг нулевая последовательность ). Точное утверждение зависит от рассматриваемой нормы Гауэрса.

Обратная гипотеза для векторные пространства через конечное поле ${\displaystyle \mathbb {F} }$ утверждает, что для любого ${\displaystyle \delta >0}$ существует постоянная ${\displaystyle c>0}$ такой, что для любого конечномерный векторное пространство V над ${\displaystyle \mathbb {F} }$ и любая комплексная функция ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle V}$, ограниченная 1, такая, что ${\displaystyle \Vert f\Vert _{U^{d}[V]}\geq \delta }$, существует полиномиальная последовательность ${\displaystyle P\colon V\to \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$ такой, что

${\displaystyle \left|{\frac {1}{|V|}}\sum _{x\in V}f(x)e\left(-P(x)\right)\right|\geq c,}$

куда ${\displaystyle e(x):=e^{2\pi ix}}$. Это предположение было доказано Бергельсоном, Тао и Циглером.^[3][4][5]

Обратная гипотеза для Гауэрса ${\displaystyle U^{d}[N]}$ норма утверждает, что для любого ${\displaystyle \delta >0}$, конечный набор (d - 1) -шаг нильмногообразия ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\delta }}$ и константы ${\displaystyle c,C}$ можно найти, так что верно следующее. Если ${\displaystyle N}$ положительное целое число и ${\displaystyle f\colon [N]\to \mathbb {C} }$ ограничена по модулю единицей и ${\displaystyle \Vert f\Vert _{U^{d}[N]}\geq \delta }$, то существует нильмногообразие ${\displaystyle G/\Gamma \in {\mathcal {M}}_{\delta }}$ и нулевая последовательность ${\displaystyle F(g^{n}x)}$ куда ${\displaystyle g\in G,\ x\in G/\Gamma }$ и ${\displaystyle F\colon G/\Gamma \to \mathbb {C} }$ ограниченный единицей по модулю и с константой Липшица, ограниченной ${\displaystyle C}$ такой, что:

${\displaystyle \left|{\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}f(n){\overline {F(g^{n}x}})\right|\geq c.}$

Это предположение подтвердили Грин, Тао и Циглер.^[6][7] Следует подчеркнуть, что появление нулевых последовательностей в приведенном выше утверждении необходимо. Утверждение перестает быть верным, если мы рассматриваем только полиномиальные фазы.

Рекомендации

1. Хартнетт, Кевин. «Математики улавливают закономерность, выясняя, как ее избежать». Журнал Quanta. Получено 2019-11-26.
2. Гауэрс, Тимоти (2001). «Новое доказательство теоремы Семереди». Геом. Функц. Анальный. 11 (3): 465–588. Дои:10.1007 / s00039-001-0332-9. МИСТЕР  1844079.
3. Бергельсон, Виталий; Тао, Теренс; Циглер, Тамар (2010). "Обратная теорема для полунорм однородности, связанная с действием ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}^{\infty }}$". Геом. Функц. Анальный. 19 (6): 1539–1596. arXiv:0901.2602. Дои:10.1007 / s00039-010-0051-1. МИСТЕР  2594614.
4. Тао, Теренс; Циглер, Тамар (2010). «Обратная гипотеза для нормы Гауэрса над конечными полями через принцип соответствия». Анализ и PDE. 3 (1): 1–20. arXiv:0810.5527. Дои:10.2140 / apde.2010.3.1. МИСТЕР  2663409.
5. Тао, Теренс; Циглер, Тамар (2011). "Обратная гипотеза для нормы Гауэрса над конечными полями в низкой характеристике". Анналы комбинаторики. 16: 121–188. arXiv:1101.1469. Дои:10.1007 / s00026-011-0124-3. МИСТЕР  2948765.
6. Грин, Бен; Тао, Теренс; Циглер, Тамар (2011). "Обратная теорема для Гауэрсов ${\displaystyle U^{s+1}[N]}$-норма". Электрон. Res. Announc. Математика. Наука. 18: 69–90. arXiv:1006.0205. Дои:10.3934 / эра.2011.18.69. МИСТЕР  2817840.
7. Грин, Бен; Тао, Теренс; Циглер, Тамар (2012). "Обратная теорема для Гауэрсов ${\displaystyle U^{s+1}[N]}$-норма". Анналы математики. 176 (2): 1231–1372. arXiv:1009.3998. Дои:10.4007 / анналы.2012.176.2.11. МИСТЕР  2950773.

• Тао, Теренс (2012). Анализ Фурье высшего порядка. Аспирантура по математике. 142. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-8986-2. МИСТЕР  2931680. Zbl  1277.11010.