Производная Грюнвальда – Летникова - Grünwald–Letnikov derivative
В математика, то Производная Грюнвальда – Летникова является базовым расширением производная в дробное исчисление что позволяет брать производную нецелое число раз. Он был представлен Антон Карл Грюнвальд (1838–1920) из Прага, в 1867 г. и Алексей Васильевич Летников (1837–1888) в Москва в 1868 г.
Построение производной Грюнвальда – Летникова.
Формула
![f '(x) = lim_ {h to 0} frac {f (x + h) -f (x)} {h}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/365388f33bd9aece1a578a9a1fb3021d1eddc7e4)
для производной может применяться рекурсивно для получения производных более высокого порядка. Например, производная второго порядка будет:
![{ displaystyle { begin {align} f '' (x) & = lim _ {h to 0} { frac {f '(x + h) -f' (x)} {h}} & = lim _ {h_ {1} to 0} { frac { lim limits _ {h_ {2} to 0} { dfrac {f (x + h_ {1} + h_ {2}) -f (x + h_ {1})} {h_ {2}}} - lim limits _ {h_ {2} to 0} { dfrac {f (x + h_ {2}) - f (x )} {h_ {2}}}} {h_ {1}}} end {align}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0f4f3ea1262e41c1b55b8de823208daba6254fe)
Предполагая, что час сходятся синхронно, это упрощает:
![{ displaystyle = lim _ {h to 0} { frac {f (x + 2h) -2f (x + h) + f (x)} {h ^ {2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5c78d4f893f9aa8f2b2020993f01683305a14dd)
что может быть строго обосновано теорема о среднем значении. В общем, имеем (см. биномиальный коэффициент ):
![{ displaystyle f ^ {(n)} (x) = lim _ {h to 0} { frac { sum limits _ {0 leq m leq n} (- 1) ^ {m} { n выбрать m} f (x + (nm) h)} {h ^ {n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d68386b6503c4e9a492aa2307ff39cb62b5213d)
Снятие ограничения, которое п быть положительным целым числом, разумно определить:
![mathbb {D} ^ qf (x) = lim_ {h to 0} frac {1} {h ^ q} sum_ {0 le m < infty} (- 1) ^ m {q choose m} f (x + (qm) h).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b1f7fadfc5d16f30a32dae6820255e803c86dba)
Это определяет производную Грюнвальда – Летникова.
Для упрощения обозначений мы устанавливаем:
![Delta ^ q_h f (x) = sum_ {0 le m < infty} (- 1) ^ m {q choose m} f (x + (q-m) h).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/397154644fc1ea16146e9a4f295d7c1c141359e5)
Таким образом, производная Грюнвальда – Летникова может быть кратко записана как:
![mathbb {D} ^ q f (x) = lim_ {h to 0} frac { Delta ^ q_h f (x)} {h ^ q}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c830822625a4d020342f51d0401dac1d8da70276)
Альтернативное определение
В предыдущем разделе было выведено общее уравнение первых принципов для производных целого порядка. Можно показать, что уравнение также можно записать как
![f ^ {(n)} (x) = lim_ {h to 0} frac {(- 1) ^ n} {h ^ n} sum_ {0 le m le n} (- 1) ^ m {n choose m} f (x + mh).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8393a88c38f8d5acaf2b6137ba8ac8f29a55a3b)
или сняв ограничение, которое п должно быть положительным целым числом:
![mathbb {D} ^ qf (x) = lim_ {h to 0} frac {(- 1) ^ q} {h ^ q} sum_ {0 le m < infty} (- 1) ^ m {q choose m} f (x + mh).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b85ad26969fdb1bc15ec82fbc724f685b9d29624)
Это уравнение называется обратной производной Грюнвальда – Летникова. Если замена час → −час полученное уравнение называется прямой производной Грюнвальда – Летникова:[1]
![mathbb {D} ^ qf (x) = lim_ {h to 0} frac {1} {h ^ q} sum_ {0 le m < infty} (- 1) ^ m {q choose m} f (x-mh).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9239fe343cf216c928ead4e8083e32c121e64f13)
Рекомендации
- Дробное исчисление, Oldham, K .; и Спаниер, Дж. Твердый переплет: 234 страницы. Издательство: Academic Press, 1974. ISBN 0-12-525550-0
- От отличий к производнымАвторы: Ortigueira, M. D. и F. Coito. Дробное исчисление и прикладной анализ 7 (4). (2004): 459-71.