ЧАС-теорема - H-theorem - Wikipedia

В классическом статистическая механика, то ЧАС-теорема, представлен Людвиг Больцманн в 1872 г. описывает тенденцию к уменьшению количества ЧАС (определено ниже) в почти-идеальный газ молекул.^[1] Поскольку это количество ЧАС должен был представлять энтропия термодинамики, ЧАС-теорема была ранней демонстрацией силы статистическая механика как утверждалось, чтобы получить второй закон термодинамики - утверждение о фундаментальном необратимые процессы - из обратимой микроскопической механики. Считается, чтобы доказать второй закон термодинамики,^[2]^[3]^[4] хотя и в предположении низкоэнтропийных начальных условий.^[5]

В ЧАС-теорема является естественным следствием кинетического уравнения, выведенного Больцманом и получившего название Уравнение Больцмана. В ЧАС-теорема вызвала серьезные дискуссии о ее фактических последствиях^{[куда? ]}, с основными темами:

Что такое энтропия? В каком смысле величина Больцмана ЧАС соответствуют термодинамической энтропии?
Предположения (особенно предположение молекулярный хаос ) за уравнением Больцмана слишком сильно? Когда эти предположения нарушаются?

Имя и произношение

Больцман в своей оригинальной публикации пишет символ E (как в энтропия ) для своей статистической функции.^[1] Спустя годы Сэмюэл Хоксли Бербери, один из критиков теоремы,^[6] написал функцию с символом ЧАС,^[7] обозначение, которое впоследствии было принято Больцманом при упоминании своего "ЧАС-Теорема ».^[8] Обозначения привели к некоторой путанице в отношении названия теоремы. Несмотря на то, что заявление обычно упоминается как "Aitch теорема", иногда его называют "Eta теорема », как заглавная Греческая буква Eta (Η) неотличима от заглавной версии Латинская буква час (ЧАС).^[9] Были подняты дискуссии о том, как следует понимать символ, но это остается неясным из-за отсутствия письменных источников со времени теоремы.^[9]^[10] Исследования типография и работа J.W. Гиббс^[11] похоже, поддерживает интерпретацию ЧАС в качестве Eta.^[12]

Определение и значение Больцмана ЧАС

В ЧАС значение определяется из функции ж(E, т) dE, которая является функцией распределения молекул по энергиям во время т. Значение ж(E, т) dE это количество молекул, кинетическая энергия которых находится между E и E + dE. ЧАС сам определяется как

{ displaystyle H (t) = int _ {0} ^ { infty} f (E, t) left ( ln { frac {f (E, t)} { sqrt {E}}} - 1 right) , dE.}

Для изолированного идеального газа (с фиксированной полной энергией и фиксированным общим числом частиц) функция ЧАС минимален, когда частицы имеют Распределение Максвелла – Больцмана; если молекулы идеального газа распределены как-то иначе (скажем, все имеют одинаковую кинетическую энергию), то значение ЧАС будет выше. Больцмана ЧАС-теорема, описанная в следующем разделе, показывает, что, когда столкновения между молекулами разрешены, такие распределения нестабильны и имеют тенденцию необратимо стремиться к минимальному значению ЧАС (в сторону распределения Максвелла – Больцмана).

(Примечание к обозначениям: Больцман первоначально использовал букву E для количества ЧАС; большая часть литературы после Больцмана использует букву ЧАС как здесь. Больцман также использовал символ Икс для обозначения кинетической энергии частицы.)

Больцмана ЧАС теорема

В этой механической модели газа движение молекул кажется очень беспорядочным. Больцман показал, что, если предположить, что каждая конфигурация столкновения в газе действительно случайна и независима, газ сходится к Распределение скорости Максвелла даже если это не началось.

Больцман рассмотрел, что происходит при столкновении двух частиц. Основной факт механики заключается в том, что при упругом столкновении двух частиц (например, твердых сфер) энергия, передаваемая между частицами, изменяется в зависимости от начальных условий (угла столкновения и т. Д.).

Больцман сделал ключевое предположение, известное как Stosszahlansatz (молекулярный хаос предположение), что во время любого столкновения в газе две частицы, участвующие в столкновении, имеют 1) независимо выбранные кинетические энергии из распределения, 2) независимые направления скорости, 3) независимые начальные точки. При этих предположениях и с учетом механики передачи энергии энергии частиц после столкновения будут подчиняться определенному новому случайному распределению, которое можно вычислить.

Рассматривая повторяющиеся некоррелированные столкновения между любыми без исключения молекулами газа, Больцман построил свое кинетическое уравнение (Уравнение Больцмана ). Из этого кинетического уравнения естественным результатом является то, что непрерывный процесс столкновения вызывает величину ЧАС уменьшаться до минимума.

Влияние

Хотя Больцмана ЧАС- теорема не оказалась абсолютным доказательством второго закона термодинамики, как первоначально заявлено (см. Критические замечания ниже), ЧАС-теорема привела Больцмана в последние годы 19-го века к все более и более вероятностным аргументам о природе термодинамики. Вероятностный взгляд на термодинамику завершился в 1902 г. Джозайя Уиллард Гиббс статистической механики для полностью общих систем (не только газов), а также введение обобщенных статистические ансамбли.^[13]

Кинетическое уравнение и, в частности, предположение Больцмана о молекулярном хаосе вдохновили целую семью исследователей. Уравнения Больцмана которые до сих пор используются для моделирования движений частиц, таких как электроны в полупроводнике. Во многих случаях предположение о молекулярном хаосе является очень точным, а возможность отбросить сложные корреляции между частицами значительно упрощает вычисления.

Процесс термализация можно описать с помощью H-теоремы или теорема релаксации.^[14]

Критика и исключения

Ниже приводится несколько важных причин, по которым ЧАС-теорема, по крайней мере в ее первоначальной форме 1871 года, не является полностью строгой. Как со временем признал Больцман, стрела времени в ЧАС-теорема на самом деле не чисто механическая, а является следствием предположений о начальных условиях.^[13]^[15]

Парадокс лошмидта

Вскоре после того, как Больцман опубликовал свой ЧАС теорема Иоганн Йозеф Лошмидт возразил, что невозможно вывести необратимый процесс из симметричной во времени динамики и формализма, симметричного во времени. Если ЧАС уменьшается со временем в одном состоянии, тогда должно быть соответствующее обратное состояние, где ЧАС со временем увеличивается (Парадокс лошмидта ). Объяснение состоит в том, что уравнение Больцмана основано на предположении «молекулярный хаос ", то есть, что из лежащей в основе кинетической модели следует или, по крайней мере, согласуется с ней, что частицы следует считать независимыми и некоррелированными.^[13] Оказывается, это предположение в некотором смысле нарушает симметрию обращения времени, и поэтому напрашивается вопрос. Как только частицам позволено столкнуться, их скоростные направления и положения фактически будут делать становятся коррелированными (однако эти корреляции кодируются чрезвычайно сложным образом).^[13] Это показывает, что (текущее) предположение о независимости не согласуется с базовой моделью частиц.

Больцман ответил Лошмидту, что допустил возможность этих состояний, но отметил, что такие состояния были настолько редкими и необычными, что были невозможны на практике. Больцман продолжал уточнять это понятие «редкости» состояний, что привело к его знаменитому уравнению, формуле энтропии 1877 года (см. Формула энтропии Больцмана ).

Спин-эхо

В качестве демонстрации парадокса Лошмидта известный современный контрпример (не относящийся к первоначальному Больцману, связанному с газом). ЧАС-теорема, но с близким аналогом) является феноменом спин-эхо.^[16] В эффекте спинового эха физически возможно вызвать обращение времени во взаимодействующей системе спинов.

Аналог Больцмана ЧАС для спиновой системы можно определить в терминах распределения спиновых состояний в системе. В эксперименте сначала спиновая система переводится в неравновесное состояние (высокое ЧАС), и, как предсказывает ЧАС теорема количество ЧАС вскоре снижается до равновесного значения. В какой-то момент применяется тщательно продуманный электромагнитный импульс, который меняет движения всех спинов. Затем вращения отменяют временную эволюцию до импульса, а через некоторое время ЧАС фактически увеличивается вдали от равновесия (как только эволюция полностью развернется, ЧАС снова уменьшается до минимального значения). В каком-то смысле обращенные во времени состояния, отмеченные Лошмидтом, оказались не совсем непрактичными.

Повторение Пуанкаре

В 1896 г. Эрнст Цермело отметил еще одну проблему с ЧАС теорема, которая заключалась в том, что если система ЧАС в любое время не является минимумом, то по Повторение Пуанкаре, неминимальный ЧАС должен повториться (хотя и через очень долгое время). Больцман признал, что эти повторяющиеся подъемы ЧАС технически может произойти, но указал, что в течение длительного времени система проводит лишь крошечную часть своего времени в одном из этих повторяющихся состояний.

В второй закон термодинамики утверждает, что энтропия изолированная система всегда увеличивается до максимального равновесного значения. Это строго верно только в термодинамическом пределе бесконечного числа частиц. Для конечного числа частиц всегда будут флуктуации энтропии. Например, в фиксированном объеме изолированной системы максимальная энтропия достигается, когда половина частиц находится в одной половине объема, половина - в другой, но иногда на одной стороне временно будет больше частиц, чем на другой. , и это будет составлять очень небольшое уменьшение энтропии. Эти флуктуации энтропии таковы, что чем дольше вы ждете, тем большую флуктуацию энтропии вы, вероятно, увидите в течение этого времени, а время, которое нужно ждать для данной флуктуации энтропии, всегда конечно, даже для флуктуации до минимально возможного значения. Например, можно иметь условие крайне низкой энтропии, когда все частицы находятся в одной половине контейнера. Газ быстро достигнет своего равновесного значения энтропии, но по прошествии некоторого времени такая же ситуация повторится снова. Для практических систем, например газ в 1-литровом контейнере при комнатной температуре и атмосферном давлении, на этот раз поистине огромен, во много раз превышает возраст Вселенной, и, практически говоря, эту возможность можно игнорировать.

Колебания ЧАС в небольших системах

С ЧАС это механически определенная переменная, которая не сохраняется, то, как и любая другая такая переменная (давление и т. д.), она будет показывать тепловые колебания. Это означает, что ЧАС регулярно показывает самопроизвольные увеличения от минимального значения. Технически это не исключение ЧАС теорема, поскольку ЧАС Теорема предназначалась только для газа с очень большим числом частиц. Эти колебания заметны только тогда, когда система мала, а временной интервал, в течение которого она наблюдается, не слишком велик.

Если ЧАС интерпретируется как энтропия, как предполагал Больцман, то это можно рассматривать как проявление теорема о флуктуациях.

Связь с теорией информации

ЧАС является предшественником Шеннона информационная энтропия. Клод Шеннон обозначил его меру информационная энтропия ЧАС после H-теоремы.^[17] Статья о Шеннон информационная энтропия содержитобъяснение дискретного аналога количества ЧАС, известная как информационная энтропия или информационная неопределенность (со знаком минус). К расширение энтропии дискретной информации до энтропии непрерывной информации, также называемый дифференциальная энтропия, можно получить выражение в уравнении из раздела выше, Определение и значение H Больцмана, и, таким образом, лучше понять значение ЧАС.

В ЧАС- связь теоремы между информацией и энтропией играет центральную роль в недавнем споре, названном Информационный парадокс черной дыры.

Толмена ЧАС-теорема

Ричард К. Толмен книга 1938 года Принципы статистической механики посвящает целую главу изучению Больцмановского ЧАС теоремы, и ее распространение в обобщенной классической статистической механике Гиббс. Следующая глава посвящена квантово-механической версии теории ЧАС-теорема.

Классическая механика

Мы позволяем ${ displaystyle q_ {i}}$ и ${ displaystyle p_ {i}}$ будь нашим обобщенные координаты для набора ${ displaystyle r}$ частицы. Затем рассмотрим функцию ${ displaystyle f}$ который возвращает плотность вероятности частиц по состояниям в фазовое пространство. Обратите внимание, как это можно умножить на небольшую область в фазовом пространстве, обозначенную ${ displaystyle delta q_ {1} ... delta p_ {r}}$ , чтобы получить (среднее) ожидаемое количество частиц в этой области.

{ displaystyle delta n = f (q_ {1} ... p_ {r}, t) , delta q_ {1} delta p_ {1} ... delta q_ {r} delta p_ { р}.,}

Толмен предлагает следующие уравнения для определения величины ЧАС в оригинале Больцмана ЧАС теорема.

{ displaystyle H = sum _ {i} f_ {i} ln f_ {i} , delta q_ {1} cdots delta p_ {r}}

^[18]

Здесь мы суммируем области, на которые разделено фазовое пространство, индексированные ${ displaystyle i}$ . И в пределе для бесконечно малого объема фазового пространства ${ displaystyle delta q_ {i} rightarrow 0, delta p_ {i} rightarrow 0 ; forall , i}$ , мы можем записать сумму в виде интеграла.

{ displaystyle H = int cdots int f ln f , dq_ {1} cdots dp_ {r}}

^[19]

ЧАС также можно записать в виде числа молекул, присутствующих в каждой из ячеек.

{ Displaystyle { begin {align} H & = sum (n_ {i} ln n_ {i} -n_ {i} ln delta v _ { gamma}) & = sum n_ {i} ln n_ {i} + { text {constant}} end {align}}}

^[20]^{[требуется разъяснение ]}

Дополнительный способ расчета количества ЧАС является:

{ displaystyle H = - ln P + { text {constant}} ,}

^[21]

куда п вероятность найти систему, выбранную случайным образом из заданных микроканонический ансамбль. Окончательно это можно записать как:

{ displaystyle H = - ln G + { text {constant}} ,}

^[22]

куда грамм - количество классических состояний.^{[требуется разъяснение ]}

Количество ЧАС также можно определить как интеграл по пространству скоростей^{[нужна цитата ]} :

${ Displaystyle Displaystyle H { stackrel { mathrm {def}} {=}} int {P ({ ln P}) , d ^ {3} v} = left langle ln P right rangle}$

(1)

куда п(v) - распределение вероятностей.

Используя уравнение Больцмана, можно доказать, что ЧАС может только уменьшиться.

Для системы N статистически независимые частицы, ЧАС связана с термодинамической энтропией S через:^[23]

{ Displaystyle S { stackrel { mathrm {def}} {=}} -VkH + { text {constant}}}

Итак, согласно ЧАС-теорема, S может только увеличиваться.

Квантовая механика

В квантовой статистической механике (которая является квантовой версией классической статистической механики) H-функция - это функция:^[24]

{ displaystyle H = sum _ {i} p_ {i} ln p_ {i}, ,}

где суммирование проводится по всем возможным различным состояниям системы, и п_я вероятность того, что система может быть найдена в я-го состояние.

Это тесно связано с энтропийная формула Гиббса,

{ displaystyle S = -k sum _ {i} p_ {i} ln p_ {i} ;}

и мы будем (следуя, например, Waldram (1985), p. 39) использовать S скорее, чем ЧАС.

Во-первых, дифференцирование по времени дает

{ displaystyle { begin {align} { frac {dS} {dt}} & = - k sum _ {i} left ({ frac {dp_ {i}} {dt}} ln p_ {i } + { frac {dp_ {i}} {dt}} right) & = - k sum _ {i} { frac {dp_ {i}} {dt}} ln p_ {i} конец {выровнено}}}

(используя тот факт, что ∑дп_я/dt = 0, поскольку ∑п_я = 1, поэтому второй член обращается в нуль. Позже мы увидим, что будет полезно разбить это на две суммы.)

Сейчас же Золотое правило Ферми дает главное уравнение для средней скорости квантовых скачков из состояния α в β; и из состояния β в α. (Конечно, золотое правило Ферми само по себе дает определенные приближения, и введение этого правила вводит необратимость. По сути, это квантовая версия правила Больцмана Stosszahlansatz.) Для изолированной системы скачки будут давать вклады

{ displaystyle { begin {align} { frac {dp _ { alpha}} {dt}} & = sum _ { beta} nu _ { alpha beta} (p _ { beta} -p_ { alpha}) { frac {dp _ { beta}} {dt}} & = sum _ { alpha} nu _ { alpha beta} (p _ { alpha} -p _ { beta} ) конец {выровнено}}}

где обратимость динамики гарантирует, что та же постоянная перехода ν_αβ появляется в обоих выражениях.

Так

{ displaystyle { frac {dS} {dt}} = { frac {1} {2}} k sum _ { alpha, beta} nu _ { alpha beta} ( ln p _ { beta} - ln p _ { alpha}) (p _ { beta} -p _ { alpha}).}

Два разных члена при суммировании всегда имеют один и тот же знак. Например:

{ Displaystyle { begin {выровнено} ш _ { бета} <ш _ { альфа} конец {выровнено}}}

тогда

{ Displaystyle { begin {выровнено} ln ш _ { бета} < ln ш _ { альфа} конец {выровнено}}}

так что в целом два отрицательных знака аннулируются.

Следовательно,

{ Displaystyle Delta S geq 0 ,}

для изолированной системы.

Та же самая математика иногда используется, чтобы показать, что относительная энтропия Функция Ляпунова из Марковский процесс в подробный баланс, и другие контексты химии.

Гиббса ЧАС-теорема

Эволюция ансамбля классический системы в фазовое пространство (верх). Каждая система состоит из одной массивной частицы в одномерном потенциальная яма (красная кривая, нижний рисунок). Первоначально компактный ансамбль со временем закручивается.

Джозайя Уиллард Гиббс описал еще один способ увеличения энтропии микроскопической системы с течением времени.^[25] Позже писатели назвали это «Гиббс». ЧАС-теорема »своим выводом напоминает вывод Больцмана.^[26] Сам Гиббс никогда не называл это ЧАС-теорема, и на самом деле его определение энтропии - и механизма увеличения - сильно отличаются от Больцмана. Этот раздел включен для исторической полноты.

Установка теоремы Гиббса о производстве энтропии находится в ансамбль статистической механики, а величина энтропии - это Энтропия Гиббса (информационная энтропия), определяемая в терминах распределения вероятностей для всего состояния системы. Это в отличие от Больцмана. ЧАС определяется в терминах распределения состояний отдельных молекул в пределах определенного состояния системы.

Гиббс рассматривал движение ансамбля, которое изначально ограничивается небольшой областью фазового пространства, а это означает, что состояние системы известно с достаточной точностью, хотя и не совсем точно (низкая энтропия Гиббса). Развитие этого ансамбля во времени происходит по Уравнение Лиувилля. Практически для любой реалистичной системы эволюция Лиувилля имеет тенденцию «перемешивать» ансамбль в фазовом пространстве, процесс аналогичен смешиванию красителя в несжимаемой жидкости.^[25] Через некоторое время ансамбль кажется растянутым по фазовому пространству, хотя на самом деле это мелкополосный узор, при этом общий объем ансамбля (и его энтропия Гиббса) сохраняется. Уравнение Лиувилля гарантированно сохраняет энтропию Гиббса, поскольку в системе нет случайного процесса; в принципе, исходный ансамбль можно восстановить в любой момент, изменив направление движения.

Таким образом, критическая точка теоремы такова: если тонкая структура в возбужденном ансамбле по какой-либо причине очень слабо размыта, то энтропия Гиббса увеличивается, и ансамбль становится равновесным. Что касается того, почему такое размытие должно происходить на самом деле, существует множество предложенных механизмов. Например, один из предлагаемых механизмов состоит в том, что фазовое пространство по какой-то причине является крупнозернистым (аналогично пикселизации при моделировании фазового пространства, показанной на рисунке). Для любой требуемой конечной степени детализации ансамбль становится «разумно однородным» через конечное время. Или, если система испытывает крошечное неконтролируемое взаимодействие с окружающей средой, резкая когерентность ансамбля будет потеряна. Эдвин Томпсон Джейнс утверждал, что размытость носит субъективный характер и просто соответствует потере знаний о состоянии системы.^[27] В любом случае, как бы то ни было, увеличение энтропии Гиббса необратимо при условии, что размытие не может быть отменено.

Точно развивающаяся энтропия, которая не увеличивается, известна как мелкозернистая энтропия. Размытая энтропия известна как крупнозернистая энтропия.Леонард Сасскинд сравнивает это различие с понятием объема волокнистого хлопкового комка:^[28] С одной стороны, объем самих волокон постоянен, но с другой стороны, имеется больший крупнозернистый объем, соответствующий очертанию шара.

Механизм увеличения энтропии Гиббса решает некоторые технические трудности, обнаруженные в теории Больцмана. ЧАС-теорема: энтропия Гиббса не колеблется и не демонстрирует повторения Пуанкаре, и поэтому увеличение энтропии Гиббса, когда оно происходит, является необратимым, как ожидается из термодинамики. Механизм Гиббса также хорошо применим к системам с очень небольшим количеством степеней свободы, таким как одночастичная система, показанная на рисунке. Если согласиться с тем, что ансамбль размывается, то подход Гиббса является более четким доказательством второй закон термодинамики.^[27]

Воспроизвести медиа

Квантовая динамика фазового пространства в том же потенциале, визуализированная с помощью Распределение квазивероятностей Вигнера. На нижнем изображении показано уравновешенное (усредненное по времени) распределение с энтропией, равной +1,37.k выше.

К сожалению, как указывалось на ранних этапах разработки квантовая статистическая механика к Джон фон Нейман и другие, такого рода аргументы не переносятся на квантовую механику.^[29] В квантовой механике ансамбль не может поддерживать все более тонкий процесс перемешивания из-за конечномерности соответствующей части гильбертова пространства. Вместо того, чтобы сближаться все ближе и ближе к равновесному ансамблю (усредненному по времени ансамблю), как в классическом случае, матрица плотности квантовой системы будет постоянно демонстрировать эволюцию, даже показывая повторения. Разработка квантовой версии ЧАС-теорема без обращения к Stosszahlansatz таким образом значительно сложнее.^[29]

Смотрите также

Примечания

^ ^а ^б Л. Больцманн "Weitere Studien über das Wärmegleichgewicht unter Gasmolekülen. "Sitzungsberichte Akademie der Wissenschaften 66 (1872): 275-370.
Английский перевод: Больцманн, Л. (2003). «Дальнейшие исследования теплового равновесия молекул газа». Кинетическая теория газов. История современных физических наук. 1. С. 262–349. Bibcode:2003HMPS .... 1..262B. Дои:10.1142/9781848161337_0015. ISBN 978-1-86094-347-8.
^ Лесовик, Г. Б .; Лебедев, А. В .; Садовский, И. А .; Суслов, М. В .; Винокур, В. М. (12.09.2016). «H-теорема в квантовой физике». Научные отчеты. 6: 32815. arXiv:1407.4437. Bibcode:2016НатСР ... 632815Л. Дои:10.1038 / srep32815. ISSN 2045-2322. ЧВК 5018848. PMID 27616571.
^ «Возможно, мы нашли способ обмануть второй закон термодинамики». Популярная механика. 2016-10-31. Получено 2016-11-02.
^ Джа, Алок (01.12.2013). «Что такое второй закон термодинамики?». Хранитель. ISSN 0261-3077. Получено 2016-11-02.
^ Зех, Х. Д. и Пейдж, Д. Н. (1990). Физическая основа направления времени. Спрингер-Верлаг, Нью-Йорк
^ "С. Х. Бербери". Философ информации. Получено 2018-12-10.
^ Бербери, Сэмюэл Хоксли (1890). «О некоторых проблемах кинетической теории газов». Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и научный журнал. 30 (185): 298–317. Дои:10.1080/14786449008620029.
^ Больцман, Людвиг (1896). Vorlesungen Uber Gastheorie. Лейпциг: Я Тейл.
^ ^а ^б Чепмен, Сидней (май 1937 г.). "H-теорема Больцмана". Природа. 139 (3526): 931. Bibcode:1937 г., природа. 139..931C. Дои:10.1038 / 139931a0. ISSN 1476-4687.
^ Кисть, Стивен Г. (1967). «Эта теорема Больцмана: где доказательства?». Американский журнал физики. 35 (9): 892. Bibcode:1967AmJPh..35..892B. Дои:10.1119/1.1974281.
^ Гиббс, Дж. Уиллард (1902). Элементарные принципы статистической механики. Нью-Йорк: Шрибнер.
^ Хьялмарс, Стиг (1976). "Свидетельства Больцмана ЧАС как заглавная эта ". Американский журнал физики. 45 (2): 214–215. Дои:10.1119/1.10664.
^ ^а ^б ^c ^d Новый вид науки Примечание (б) к необратимости и второму закону термодинамики
^ Рид, Джеймс С .; Эванс, Денис Дж .; Сирлз, Дебра Дж. (11 января 2012 г.). «Коммуникация: за пределами H-теоремы Больцмана: демонстрация теоремы релаксации для немонотонного подхода к равновесию» (PDF). Журнал химической физики. 136 (2): 021101. Bibcode:2012ЖЧФ.136б1101Р. Дои:10.1063/1.3675847. HDL:1885/16927. ISSN 0021-9606. PMID 22260556.
^ Дж. Уффинк "Сборник основ классической статистической физики. " (2006)
^ Ротштейн, Дж. (1957). "Эксперименты с ядерным спиновым эхо и основы статистической механики". Американский журнал физики. 25 (8): 510–511. Bibcode:1957AmJPh..25..510R. Дои:10.1119/1.1934539.
^ Глейк 2011
^ Толман 1938 стр. 135 формула 47,5
^ Толман 1938 стр. 135 формула 47.6
^ Толман 1938 стр. 135 формула 47.7
^ Толман 1938 стр. 135 формула 47,8
^ Толман 1939 стр. 136 формула 47.9
^ Хуанг 1987 стр. 79 уравнение 4.33
^ Толмен 1938 pg 460 формула 104,7
^ ^а ^б Глава XII, из Гиббс, Джозия Уиллард (1902). Элементарные принципы статистической механики. Нью-Йорк: Сыновья Чарльза Скрибнера.
^ Толмен, Р.С. (1938). Принципы статистической механики. Dover Publications. ISBN 9780486638966.
^ ^а ^б E.T. Джейнс; Гиббс против энтропий Больцмана; Американский журнал физики, 391,1965
^ Леонард Сасскинд, Статистическая механика, лекция 7 (2013). видео в YouTube.
^ ^а ^б Goldstein, S .; Lebowitz, J. L .; Тумулка, Р .; Занхи, Н. (2010). «Долговременное поведение макроскопических квантовых систем». Европейский физический журнал H. 35 (2): 173–200. arXiv:1003.2129. Дои:10.1140 / epjh / e2010-00007-7. ISSN 2102-6459.